光的衍射习题(附答案).doc

光的衍射（附答案）

一． 填空题
1. 波长λ = 500 nm（1 nm = 10−9 m）的单色光垂直照射到宽度a = 0.25 mm的单缝上，单缝后面放置一凸透镜，在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观测衍射条纹．今测得屏幕上中央明条纹之间的距离为d = 12 mm，则凸透镜的焦距 f 为1 m．
2. 在单缝夫琅禾费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小，若钠黄光（λ1 ≈ 589 nm）中央明纹宽度为 4.0 mm，则λ2 ≈ 442 nm（1 nm = 10−9 m）的蓝紫色光的中央明纹宽度为3.0 mm．
3. 平行单色光垂直入射在缝宽为a = 0.15 mm的单缝上缝后有焦距为f = 400 mm的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕．现测得屏幕上中央明纹两侧的两个第三级暗纹之间的距离为8 mm，则入射光的波长为500 nm（或5×10−4mm）．
4. 当一衍射光栅的不透光部分的宽度b与透光缝宽度a满足关系 b = 3a 时，衍射光谱中第±4, ±8, …级谱线缺级．
5. 一毫米内有500条刻痕的平面透射光栅，用平行钠光束与光栅平面法线成30°角入射，在屏幕上最多能看到第5级光谱．
6. 用波长为λ的单色平行红光垂直照射在光栅常数d = 2 μm（1 μm = 10−6 m）的光栅上，用焦距f = 0.500 m的透镜将光聚在屏上，测得第一级谱线与透镜主焦点的距离l = 0.1667 m，则可知该入射的红光波长λ=632.6或633nm．
7. 一会聚透镜，直径为3 cm，焦距为20 cm．照射光波长550nm．为了可以分辨，两个远处的点状物体对透镜中心的张角必须不小于2.24×10−5rad．这时在透镜焦平面上两个衍射图样中心间的距离不小于4.47μm．
8. 钠黄光双线的两个波长分别是589.00 nm和589.59 nm（1 nm = 10−9 m），若平面衍射光栅能够在第二级光谱中分辨这两条谱线，光栅的缝数至少是500．
9. 用平行的白光垂直入射在平面透射光栅上，波长为λ1 = 440 nm的第3级光谱线将与波长为λ2 =660 nm的第2级光谱线重叠（1 nm = 10−9 m）．
10. X射线入射到晶格常数为d的晶体中，可能发生布拉格衍射的最大波长为2d．
二． 计算题
11. 在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长λ1和λ2，垂直入射于单缝上．假如λ1的第一级衍射极小与λ2的第二级衍射极小相重合，试问：(1) 这两种波长之间有何关系？(2) 在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其它极小相重合？
解：(1) 由单缝衍射暗纹公式得
a sinθ1 = 1 λ1 a sinθ2 = 2 λ2
由题意可知 θ1 = θ2, sinθ1 = sinθ2
代入上式可得 λ1 = 2 λ2
(2) a sinθ1 = k1 λ1 =2 k1 λ2 (k1=1, 2, …)
sinθ1 = 2 k1 λ2 / a
a sinθ2 = k2 λ2 (k2=1, 2, …)
sinθ2 = 2 k2 λ2 / a
若k2 = 2 k1，则θ1 = θ2，即λ1的任一k1级极小都有λ2的2 k1级极小与之重合．
12. 在单缝的夫琅禾费衍射中，缝宽a = 0.100 mm，平行光垂直如射在单缝上，波长λ= 500 nm，会聚透镜的焦距f = 1.00 m．求中央亮纹旁的第一个亮纹的宽度Δx．
解：单缝衍射第1个暗纹条件和位置坐标x1为
a sinθ1 = λ
x1 = f tanθ1 ≈ f sinθ1 ≈ f λ / a (∵θ1很小)
单缝衍射第2个暗纹条件和位置坐标x2为
a sinθ2 = 2 λ
x2 = f tanθ2 ≈ f sinθ2 ≈ 2 f λ / a (∵θ2很小)
单缝衍射中央亮纹旁第一个亮纹的宽度
Δx1 = x2 − x1 ≈ f (2 λ / a − λ / a) = f λ / a=1.00×5.00×10−7/(1.00×10−4) m
=5.00mm．
13. 在单缝夫琅禾费衍射中，垂直入射的光有两种波长，λ1 = 400 nm，λ2 760 nm（1 nm = 10−9 m）．已知单缝宽度a = 1.0×10−2 cm，透镜焦距f = 50 cm．
(1) 求两种光第一级衍射明纹中心间的距离．
(2) 若用光栅常数a = 1.0×10-3 cm的光栅替换单缝，其它条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之间的距离．
解：(1) 由单缝衍射明纹公式可知
a sinφ1 = (2 k + 1) λ1 = λ1 （取k = 1）
a sinφ2 = (2 k + 1) λ2 = λ2
tanφ1 = x1 / f，tanφ2 = x1 / f
由于 sinφ1 ≈ tanφ1，sinφ2 ≈ tanφ2
所以 x1 = f λ1 / a
x2 = f λ2 / a
则两个第一级明纹之间距为
Δx1 = x2 − x1 = f Δλ / a = 0.27 cm
(2) 由光栅衍射主极大的公式
d sinφ1 = k λ1 = 1 λ1
d sinφ2 = k λ2 = 1 λ2
且有sinφ = tanφ = x / f
所以Δx1 = x2 − x1 = fΔλ / a = 1.8 cm
14. 一双缝缝距d = 0.40 mm，两缝宽度都是a = 0.080 mm，用波长为λ = 480 nm（1 nm = 10−9 m）的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f = 2.0 m的透镜．求：(1) 在透镜焦平面的屏上，双缝干涉条纹的间距l；(2) 在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉数目N和相应的级数．
解：双缝干涉条纹
(1) 第k级亮纹条件：d sinθ = k λ
第k级亮条纹位置：x1 = f tanθ1 ≈ f sinθ1 ≈ k f λ / d
相邻两亮纹的间距：
Δx = xk +1 − xk = (k + 1) f λ / d − k λ / d = f λ / d = 2.4×10−3 m = 2.4 mm
(2) 单缝衍射第一暗纹：a sinθ1 = λ
单缝衍射中央亮纹半宽度：Δx0 = f tanθ1 ≈ f sinθ1 ≈ k f λ / d = 12 mm
Δx0 / Δx = 5
∴ 双缝干涉第 ±5级主极大缺级．
∴ 在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目N = 9
分别为k = 0, ±1, ±2, ±3, ±4级亮纹
或根据d / a = 5指出双缝干涉缺第 ±5 级主极大，同样可得出结论。
15. 用钠光（λ = 589.3 nm）垂直照射到某光栅上，测得第三级光谱的衍射角为60°．
(1) 若换用另一光源测得其第二级光谱的衍射角为30°，求后一光源发光的波长．
(2) 若以白光（400 nm ~ 760n m）照射在该光栅上，求其第二级光谱的张角．
解：(1) (a+b) sinφ =3λ
a+b = 3λ / sinφ，φ = 60°
a+b = 2λ' / sinφ'，φ' = 30°
3λ / sinφ = 2λ' / sinφ'
λ' = 510.3 nm
(2) a+b = 3λ / sinφ=2041.4 nm
φ2' = arcsin (2×400 / 2041.4) nm (λ = 400 nm)
φ2'' = arcsin (2×760 / 2041.4) nm (λ = 760 nm)
白光第二级光谱的张角Δφ = φ2'' − φ2' = 25°
16. 一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光栅有两种波长的光，λ1 = 440 nm，λ2 = 660 nm．实验发现，两种波长的谱线（不计中央明纹）第二次重合于衍射角φ = 60° 的方向上，求此光栅的光栅常数d．
解：由光栅衍射主极大公式得d sinφ1 = k λ1
d sinφ2 = k λ2
= = =
当两谱线重合时有φ1 = φ2
即 = = = = ∙∙∙
两谱线第二次重合即是 = ，k1 = 6， k2 = 4
由光栅公式可知d sin60° = 6 λ1
∴ d = = 3.05×10−3 mm
17. 将一束波长λ = 589 nm（1 nm = 10−9 m的平行钠光垂直入射在1厘米内有5000条刻痕的平面衍射光栅上，光栅的透光缝宽度a与其间距b相等，求：
(1) 光线垂直入射时，能看到几条谱线？是哪几级？
(2) 若光线以与光栅平面法线的夹角θ = 60° 的方向入射时，能看到几条谱线？是哪几条？
解：(1) (a+b) sinϕ = k λ
当ϕ = π/2时，k = (a+b) / λ = 3.39，kmax = 3
又∵ a = b，(a+b) sinϕ = 2a sinϕ = k λ
有谱线a sinϕ = k λ / 2
但当k = ±2, ±4, ±6, …时缺级．
∴ 能看到5条谱线，为0, ±1, ±3级．
2) (a+b) (sinθ + sinϕ) = k λ，
θ = 30°，ϕ = ±90°
ϕ = ，k = (a+b) (sin30° + sin90°) / λ = 5.09．取kmax = 5
ϕ = −，k = (a+b) (sin30° − sin90°) / λ = −1.7．取k'max = −1
∵ a = b
∴ 第2, 4, … 级缺级．
∴ 能看到5条谱线，为 +5, +3, +1, 0, −1级．
18. 波长λ = 600 nm（1 nm = 10−9 m）的单色光垂直入射到一光栅上，测得第二级主极大的衍射角为30°，且第三级是缺级．
(1) 光栅常数 (a + b) 等于多少？
(2) 透光缝可能的最小宽度a等于多少？
(3) 在选定了上述 (a + b) 和a之后，求在衍射角 – < φ < 范围内可能观察到的全部主极大的级次．
解：(1) 由光栅衍射的主极大公式得a + b = = 2.4×10−4 cm
(2) 若第三级不缺级，则由光栅公式得 (a+b) sinφ' = 3 λ
由于第三级缺级，则对应于最小可能的a，φ'方向应是单缝衍射第一级暗纹：两式比较，得a sinφ' = λ
a = = 8.0×10−3 cm
(3) (a+b) sinφ = k λ（主极大）
a sinφ = k' λ（单缝衍射极小）k' = 1, 2, 3, …)
因此k = 3, 6, 9, …缺级；
又∵ kmax = = 4，
∴ 实际呈现出的是k = 0, ±1, ±2级明纹（k = ±4在π/2处不可见）．
19. 在通常亮度下，人眼瞳孔直径约为，若视觉感受最灵敏的光波长为λ = 480 nm（1 nm = 10−9 m），试问：
(1) 人眼最小分辨角是多大？
(2) 在教室的黑板上，画的等号两横线相距2 mm，坐在距黑板10 m 处的同学能否看清？（要有计算过程）
解：(1) 已知得d = 3 mm，λ= 550 nm，人眼的最小分辨角为：
θ = 1.22 λ / d = 2.24×10−4 rad
(2) 设等号两横线相距Δx = 2 mm时，人距黑板刚好看清，则
l = Δx / θ = 8.9 m
所以距黑板10m处的同学看不清楚．
20. 一平面透射多缝光栅，当用波长λ1 = 600 nm（1 nm = 10−9 m）的单色平行光垂直入射时，在衍射角θ = 30° 的方向上可以看到第2级主极大，并且在该处恰能分辨波长差Δλ = 5×10−3 nm的两条谱线．当用波长λ2 = 400 nm的单色平行光垂直入射时，在衍射角θ = 30°的方向上却看不到本应出现的第3级主极大．求光栅常数d和总缝数N，再求可能的缝宽a．
解：根据光栅公式d sinθ = k λ1

得d == = 2.4×10−3 nm = 2.4 μm
据光栅分辨本领公式R = λ1 /Δλ = kN
得N = = 60000
在θ = 30° 的方向上，波长λ2 = 400 nm的第3级主极大缺级，因而此处一定恰好是波长为λ2入射光单缝衍射的一个极小出现的位置。故有：
d sin30° = 3 λ2，a sin30° = k' λ2
∴ a = k' d / 3, k' =1或2
缝宽a有下列两种可能：
当k' =1时，a = d = ×2.4 μm = 0.8 μm
当k' =2时，a = d = ×2.4 μm = 1.6 μm
21. 某单色X射线以30° 角掠射晶体表面时，在反射方向出现第一级极大；而另一单色X射线，波长为0.097 nm，它在与晶体表面掠射角为60° 时，出现第三级极大．试求第一束X射线的波长．
解：设晶面间距为d，第一束X射线波长为λ1，掠射角θ1 = 30°，级次k1 = 1；
另一束射线波长为λ2 = 0.097 nm，掠射角θ2 = 60°，级次k2 = 3．
根据布拉格公式：
第一束2d sinθ1 = k1 λ1
第二束2d sinθ2 = k2 λ2
两式相除得λ1 = = 0.168 nm．