《概率论》第二章习题.doc

第二章 事件与概率1、字母M，A，X，A，M分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM的概率是多少？解：这五个字母自左往右数，排第i个字母的事件为Ai，则，。利用乘法公式，所求的概率为 2、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。解：有三个孩子的家庭总共有23=8个类型。设A=三个孩子中有一女，B=三个孩子中至少有一男，A的有利场合数为7，AB的有利场合为6，依题意所求概率为P（B|A），则.3、若M件产品中包含m件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。3、解：（1）M件产品中有m件废品，件正品。设A=两件有一件是废品，B=两件都是废品，显然，则 ， 题中欲求的概率为.（2）设A=两件中有一件不是废品，B=两件中恰有一件废品，显然，则 .题中欲求的概率为.（3）P取出的两件中至少有一件废品=.4、袋中有a只黑球，b只白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后不放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（）。解：A=甲取出一球为白球，B=甲取出一球后，乙取出一球为白球，C=甲，乙各取出一球后，丙取出一球为白球。则 甲取出的球可为白球或黑球，利用全概率公式得甲， 乙 取球的情况共有四种，由全概率公式得.5、从0，1，2，9中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。解：设B=两数之和大于10，Ai=第一个数取到i，。则，;。由全概率公式得欲求的概率为.6、甲袋中有a只白球，b只黑球，乙袋中有只白球，只黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？解：设A1=从甲袋中取出2只白球，A2=从甲袋中取出一只白球一只黑球，A3=从甲袋中取出2只黑球，B=从乙袋中取出2只白球。则由全概率公式得.7、设的N个袋子，每个袋子中将有a只黑球，b只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？解：A1=从第一袋中取出一球是黑球，Ai=从第一袋中取一球放入第二袋中，再从第袋中取一球放入第i袋中，最后从第i袋中取一球是黑球，。则.一般设，则，得.由数学归纳法得 8、飞机有三个不同的部分遭到射击，在第一部分被击中一弹，或第二部分被击中两弹，或第三部分被击中三弹时，飞机才能被击落，其命中率与每一部分的面积成正比，设三个部分的面积的百分比为0.1，0.2，0.7，若已击中两弹，求击落飞机的概率。解：设A1=飞机第一部分中两弹，A2=飞机第二部分中两弹，A3=飞机第一部分仅中一弹，A4=其它情况，则A3=第一弹中第一部分且第二弹中第二部分，或第一弹中第一部分且第二弹中第三部分，或第一弹中第二部分且第二弹中第一部分，或第一弹中第三部分且第二弹中第一部分，设B=飞机被击落，则 由全概率公式得错误算法：，设B=飞机被击落，则 由全概率公式得原因是忽略了飞机中弹的次序。9、投硬币n回，第一回出正面的概率为c，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p，求第n回时出正面的概率，并讨论当时的情况。解：设Ai=第i 回出正面，记，则由题意利用全概率公式得 。已知，依次令可得递推关系式 解得当时利用等比数列求和公式得 （*）（1）若，则；（2）若，则当时，；当时，。若，则若，则不存在。（3）若，则由（*）式可得10、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。以pn，qn，rn分别记在第n次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn，qn，rn表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当时的情况。解：令分别表示第i次交换后，甲袋中有两只白球，一白一黑，两黑球的事件，则由全概率公式得，.这里有，又，所以，同理有，再由得。所以可得递推关系式为，初始条件是甲袋一白一黑，乙袋一白一黑，即，由递推关系式得，.11、设一个家庭中有n个小孩的概率为 这里。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有个男孩的概率为。解：设An=家庭中有n个孩子，n=0,1,2,，B=家庭中有k个男孩。注意到生男孩与生女孩是等可能的，由二项分布得由全概率公式得（其中）12、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率；（2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。解：（1）设A=至少有一男孩，B=至少有2个男孩。，由得 ,.（2）C=家中无女孩=家中无小孩，或家中有n个小孩且都是男孩，n是任意正整数，则 A1=家中正好有一个男孩=家中只有一个小孩且是男孩，则，且，所以在家中没有女孩的条件下，正好有一个男孩的条件概率为.13、已知产品中96%是合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求在简化方法检查下，合格品的一个产品确实是合格品的概率。解：设A=产品确为合格品，B=检查后判为合格品。已知，求。由贝叶斯公式得14、炮战中，在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1，0.7，0.2，而在各该处射击时命中目标的概率分别为0.05，0.1，0.2，现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由250米处射击的概率。解：设分别为自250米，200米，150米处射击的事件，B为“命中目标”事件，则，求。间互不相容，B能且只能与中之一同时发生，由贝叶斯公式得.15、在通讯渠道中，可传送字符AAAA，BBBB，CCCC三者之一，假定传送这三者的概率分别为0.3，0.4，0.3，由于通道噪音的干扰，正确接收到被传送字母的概率为0.6，而接受到其它字母的概率为0.2，假定前后字母是否被歪曲互不影响，若接受到的是ABCA，问被传送是AAAA的概率。解：记事件“发AAAA”为A4，事件“发BBBB”为B4，事件“发CCCC”为C4，事件“收ABCA”为D，则为求，考虑到发AAAA，而收到ABCD，有两个字母被准确收到，另两个字母被误收，故。同理可求得，欲求的概率是，而事件间两两互不相容，又D能且只能与之一同时发生，由贝叶斯公式得欲求的概率为16、设A，B，C三事件相互独立，求证皆与C独立。证：（1）， 与C独立。 （2） AB与C独立。（3） ，与C独立。17、若A，B，C相互独立，则亦相互独立。证： ，同理可证 ,.又有 ，所以相互独立。18、证明：事件相互独立的充要条件是下列2n个等式成立：，其中取或。证：必要性。事件相互独立，用归纳法证。不失为一般性，假设总是前连续m个集取的形式。当时，。设当时有,则当时从而有下列2n式成立：,其中取或。 充分性。设题中条件成立，则, (1). (2) , . (1)+(2)得 。 (3)同理有,两式相加得. （4）(3)+(4)得。同类似方法可证得独立性定义中个式子， 相互独立。19、若A与B独立，证明中任何一个事件与中任何一个事件是相互独立的。证： （见本章第17题）， ，同理可得 。证毕。20、对同一目标进行三次独立射击，第一，二，三次射击的命中概率分别为0.4，0.5，0.7，试求（1）在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率；（2）至少有一次命中目标的概率。解：P三次射击恰击中目标一次= P至少有一次命中=1-P未击中一次 21、设相互独立，而，试求：（1）所有事件全不发生的概率；（2）诸事件中至少发生其一的概率；（3）恰好发生其一的概率。解：（1）P所有的事件全不发生 。 （2）P至少发生其一 。（3）P恰好发生其一 。22、当元件k或元件或都发生故障时电路断开，元件k发生故障的概率等于0.3，而元件k1，k2发生故障的概率各为.2，求电路断开的概率。解：本题中认为各元件发生故障是相互独立的。记=元件发生故障，=元件发生故障，=元件发生故障。则 P电路断开 。23、说明“重复独立试验中，小概率事件必然发生”的确切意思。解：以表事件“A于第k次试验中出现”，由试验的独立性得，前n次试验中A都不出现的概率为。于是前n次试验中，A至少发生一次的概率为。这说明当重复试验的次数无限增加时，小概率事件A至少发生一次的概率可以无限地向1靠近，从而可看成是必然要发生的。24、在第一台车床上制造一级品零件的概率等于0.7，而在第二台车床上制造此种零件的概率等于0.8，第一台车床制造了两个零件，第二台制造了三个零件，求所有零件均为一级品的概率。解：我们认为各车床或同一车床制造的各个零件的好坏是相互独立的，由此可得。25、实验室器皿中产生甲类细菌与乙类细菌的机会是相同的，若某次发现产生了2n个细菌，求（1）至少有一个甲类细菌的概率；（2）甲，乙两类细菌各占其半的概率。解：利用的二项分布可得。26、掷硬币出现正面的概率为p，掷了n次，求下列概率：（1）至少出现一次正面；（2）至少出现两次正面。解：利用二项分布得。27、甲，乙，丙三人进行某项比赛，设三个胜每局的概率相等，比赛规定先胜三局者为整场比赛的优胜者，若甲胜了第一，三局，乙胜了第二局，问丙成为整场比赛优胜者的概率是多少？解：（1）设A，B，C分别表示每局比赛中甲，乙、丙获胜的事件，故的多项分布。欲丙成为整场比赛的优胜者，则需在未来的三次中，丙获胜三次；或在前三次中，丙获胜两次乙胜一次，而第四次为丙获胜。故本题欲求的概率为。28、甲，乙均有n个硬币，全部掷完后分别计算掷出的正面数相等的概率。解：利用两个的二项分布，得欲求的概率为。29、在贝努里试验中，事件A出现的概率为p，求在n次独立试验中事件A出现奇数次的概率。解：事件A出现奇数次的概率记为b，出现偶数次的概率记为a，则，。利用，可解得事件A出现奇数次的概率为。顺便得到，事件A出现偶数次的概率为。30、在贝努里试验中，若A出现的概率为p，求在出现m次A之前出现k次A的概率。解：事件“在出现m次之前出现k次A”，相当于事件“在前次试验中出现k次A，次，而第次出现”，故所求的概率为注：对事件“在出现m次之前出现k次A”，若允许在出现m次之前也可以出现次A，次A等，这就说不通。所以，事件“在出现m次之前出现k次A”的等价事件，是“在出现m次之前恰出现k次A”。而对事件“在出现m次之前出现k次A之前”（记为B）就不一样，即使在出现m次之前出现了次A，次A等，也可以说事件B发生，所以事件B是如下诸事件的并事件：“在出现m次之前恰出现i次A”，。31、甲袋中有只白球和一只黑球，乙袋中有N只白球，每次从甲，乙两袋中分别取出一只球并交换放入另一袋中去，这样经过了n次，问黑球出现在甲袋中的概率是多少？并讨论时的情况。解：设经n次试验后，黑球出现在甲袋中，经n次试验后，黑球出现在乙袋中，第n次从黑球所在的袋中取出一个白球。记 。当时，由全概率公式可得递推关系式：,即 。初始条件，由递推关系式并利用等比级数求和公式得。若，则时，当时。若，则对任何n有。若，则（N越大，收敛速度越慢）。32、一个工厂出产的产品中废品率为.005，任意取来1000件，试计算下面概率：（1）其中至少有两件废品；（2）其中不超过5件废品；（3）能以90%的概率希望废品件数不超过多少？解：利用普阿松逼近定理，查表计算得，。设以90%的概率希望废品件数不超过k，则，解得。33、某交往式计算机有20个终端，这些终端被各单位独立操作，使用率各为0.7，求有10个或更多个终端同时操作的概率。解：P=有10个或更多个终端同时操作=P有10个或不足10个终端不在操作。34、设每次射击打中目标的概率等于0.001，如果射击5000次，试求打中两弹或两弹以上的概率。解：利用普阿松逼近定理计算，则打中两弹或两终以上的概率为35、某个厂有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的百分比为.6，现为某事可行与否而个别征求顾问意见，并按多数人的意见作出决策，求作出正确决策的概率。解：设A表事件“某事实际上是可行的”，表事件“某事实际上是不可行的”，B表“多数人说可行”，表“多数人说不可行“，利用二项分布得所以作出正确决策的概率为。36、实验室器皿中产生甲，乙两类细菌的机会是相等的，且产生k个细菌的概率为 。试求：（1）产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率；（2）在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率。解：（1）由题意得，产生了k个细菌，且这k个细菌全部是甲类细菌的概率为，所以产生了甲类细菌而无乙类细菌的概率为。 （2）产生乙类细菌而无甲类细菌的概率与（1）中概率相同，所以欲求的条件概率为P有2个乙类细菌|产生的细菌中无甲类。37、假定人在一年365日中的任一日出生的概率是一样的，在50个人的单位中有两个以上的人生于元旦的概率是多少？解：事件“有两个以上的人生于元旦”的对立事件是“生于元旦的人不多于两个”利用的二项分布得欲求的概率为。38、一本500页的书，共有500个错字，每个字等可能地出现在每一页上，试求在给定的一页上至少有三个错字的概率。解：每个错字出现在每页上的概率为，500个错字可看成做500次努里试验，利用普阿松逼近定理计算，得P某页上至少有三个错字=1-P某页上至多有两个错字.39、某商店中出售某种商品，据历史纪录分析，每月销售量服从普阿松分布，参数为7，问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以0.999的概率充分满足顾客的需要。解：设月初库存k件，则应有.当时，；时，。所以在月初进货时要库存件才行。40、螺丝钉生产中废品率为0.015，问一盒应装多少只，才能保证每盒中有100只以上的好螺丝钉的概率不小于80%（提示：用普阿松逼近，设应装100+k只）。解：设每盒装100+k只，为使每盒有100只以上的好钉，每盒次品数应当，则应有 .由于k值不大，有利用普阿松逼近定理计算，上式可以写成.查表得当时，；当时，。取，。所以一盒应装103只，才能保证每盒中有100只以上好钉的概率小于80%。41、某疫苗中所含细菌数服从普阿松分布，每1毫升中平均含有一个细菌，把这种疫苗放入5只试管中，每试管放2毫升，试求：（1）5只试管中都有细菌的概率；（2）至少有3只试管中有细菌的概率。解：每一毫升平均含一个细菌，每2毫升含2个，所以每只试管中含有细菌数服从的普阿松分布。由此可得P5个试管中都有细菌；P至少有三个试管中有细菌.计算时利用了的二项分布。42、通过某交叉路口的汽车可看作普阿松过程，若在一分钟内没有车的概率为0.2，求在2分钟内有多于一车的概率。解：设一分钟内通过某交叉路口的汽车数服从的普阿松分布，则P1分钟内无车由此得，2分钟内通过的汽车数服从的普阿松分布，从而2分钟内多于一车的概率为.43、若每蚕产n个卵的概率服从普阿松分布，参数为，而每个卵变为成虫的概率为p，且各卵是否变为成虫彼此间没有关系，求每蚕养出k只小蚕的概率。解：若蚕产i个卵，则这i个卵变为成虫数服从概率为的二项分布，所以P蚕养出n只小蚕 44、若已知时，某分子与另一分子碰撞，又知对任何和，若不管该分子在时刻以前是否遭受碰撞，在中遭到碰撞的概率等于，试求该分子在时刻还没有再受到碰撞的概率。解：设s=该分子在时刻s还没有再受到碰撞，则，令得 ，积分得 .当时，所以，从而 .45、利用概率论的想法证明下面恒等式：。证：可利用巴纳赫氏问题证明。某数学家带着两盒火柴，每次用时他在两盒中任意抓一盒，从中取出一根，因此连续地抽取构成了一串的贝努里试验。假定最初每盒火柴恰巧包含N根，我们考虑：数学家第一次发现空盒子地时刻。在这一时刻，另一盒火柴可能还有r为0，1，N根火柴。设从第一盒中选取为“成功”。“当发现第一盒火柴空时，第二盒中尚有r根火柴“这一事件，等价于”恰有次失败发生在第N+1次成功之前“，这个事件的概率为（见巴斯卡分布）。考虑到两盒火柴所处的地位相同，可得事件”发现一盒空，另一盒中尚有r根火柴“（记为）的概率为.r取0到N的诸事件之和显然是必然事件，由此可得，两边同乘以并利用组合性质变形得，令，并注意到对应r从0变到N，而k是从N变到0，即得要证的等式.46、通过构造适当的概率模型证明：从正整数中随机地选取两数，此两数互素的概率等于。证：任何一个非1的自然数，皆可唯一地（不计次序时）分解为素数的乘积，要证两数互素，只需验证这两数没有公共素因子就行了。为此，把素数排列为，对任何（自然数）定义事件中独立地取两整数，与不含公因子。把所要求的“事件”的概率定义为。为计算，定义自1,2,N中独立地取两整数，它们有公因子。则由事件容许的和的概率公式得 （1）显然有，因而 （2）（2）式左端的的来由是，而和式中一共有项。由（1），（2）得 （3）在（3）中令得，再令，并利用黎曼函数（参看华罗庚著“数论导引”P236，225）得，欲求的概率为47、某车间宣称自己产品的合格率超过99%，检验售货员从该车间的10000件产品中抽查了100件，发现有两件次品，能否据此断定该车间谎报合格率？解：假设产品合格率，不妨设。现从10000件中抽100件，可视为放回抽样。而100件产品中次品件数服从二项分布，利用普阿松逼近定理得，次品件数不小于两件的概率为此非小概率事件，所以不能据此断定该车间谎报合格率。（注意，这并不代表可据此断定，该车间没有谎报合格率。） （注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）