概率论与数理统计总结之第三章.doc

第三章 多维随机变量及其分布
第一节二维随机变量的概念
1.二维随机变量
定义：设(X,Y)是二维随机变量，记为:

称为X与Y的分布函数，或称X与Y的联合分布函数

分布函数性质:
1）是变量x和变量y的不减函数，(分别关于x和y有单调不减性)
2），任意一边趋于-∞＝０.F(∞，∞)=1（用来确定未知参数）.
3），即分别关于x右连续，关于y也右连续,
4）对于任意下述不等式成立(可用于判定二元函数是不是某二维随机变量的分布函数):
2.二维离散型随机变量:
定义:如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量
其概率…为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X和Y是联合分布律
性质:1.
2.
满足以上两条，即为二维离散型随机变量的分布律.
注；步骤:定取值,求概率,验证1.
离散型随机变量X和Y的联合分布函数为，其中和式是对一切满足的i,j来求和的边缘分布
定义:对于离散型随机变量(X,Y)，分量X和Y的分布律
，
联合确定边缘，但一般情况，边缘不能确定的联合，除非相互独立.
比如；有放回的摸球，就是X，Y相互独立.
不放回地摸球，是条件分布.

3.二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度.
对比一维的:
概率密度:，分布律: 分布函数:

二维:
定义:设二维随机变量(X,Y)的分布函数为，若存在非负可积函数，使得对于任意实数x,y有，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，称为(X,Y)的概率密度，或联合概率密度.
概率密度的性质:
1. ≥0
2.
只要具有以下两条性质，必可作为某二维随机变量的概率密度.
3. 已知(X,Y)的概率密度，则(X,Y)在平面区域D内取值的概率为:
(作二重积分)
(随机点(X,Y)落在平面区域D上的概率等于以平面区域D为底，以曲面顶的典顶的体积)
4. 若在点(x,y)连续，则有
(连续就能根据分布律求概率密度)
1） 当求时，它只是一条线，所以：
2） 一个方程有无实根：，即求
均匀分布：
定义:设D为平面上的有界区域，其面积为S，且,如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为
，则称(X,Y)服从区域D上的均匀分布(或叫(X,Y)在D上服从均匀分布，记作.
两种特殊情形:
1） D为矩形，时，

D为圆形，如(X,Y)在以原点为圆心，R为半径的圆域上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为:
定义:对连续型随机变量(X,Y),分量X,Y的概率密度称为(X,Y)关于X或Y的边缘概率密度,记作
X的分布函数:（让Ｙ趋于正无穷）
Y的分布函数: （让Ｘ趋于正无穷）
X的概率密度:
Y的概率密度:
（二维的边缘概率密度是直接以联合概率密度在负无穷到正无穷对对应元素积分，其间需要对划分区间的作分别积分）
(X,Y)的概率密度:
二维正态分布：
二维正态分布函数的性质:
1.,边缘服从一维正态分布
2.独立（相关系数为Ｏ，则两个随机变量独立）
3.(线性组合按一维正态处理)
4. 服从二维正态（如：）
条件分布:
设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若，则称
｜…
为在条件下随机变量X的条件分布律
同样地，若则称｜…
为条件下随机变量Y的条件分布律
变形，即得求联合分布律的方法.
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y的边缘概率密度为.若对于固定的y,则称

为在Y=y的条件下X的条件概率密度，记为
称为在Y=y的条件下，X的条件分布函数，记为P{X≤x|Y=y}或，即
设F(x,y)及分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y有P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y},即，则称随机变量X和Y是相互独立的
设(X,Y)是连续型随机变量，分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，则X和Y相互独立的条件等价于在平面上几乎处处成立(除去面积为0的集合以外，处处成立)
第二节随机变量的独立性
1. 两个随机变量的独立性
定义:
设分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数有

，则称X与Y相互独立.
可用于判断独立性(随机变量独立,对任意实数x,y,事件相互独立)
以上公式等价于:
可类推至多个函数的情况.
1)如果X,Y随机变量独立，，(通过函数作用)则也独立.(可类推至多个随机变量的情况)
例:X,Y独立，则独立.
2)如果相互独立，也相互独立。
如；相互独立（没有相同项）
放回抽样：样本总数为，样本点为：正有几种选法，次有几种取法。
不放回抽样：样本总数为，样本点为：正有多少种取法，次有多少种取法
第三节两个随机变量的函数的分布
1. 离散弄随机变量的函数分布
2. 两个连续型随机变量之和的概率
Z=X+Y的分布
设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为

这里的积分区域:x+y≤z是直线x+y=z及其左下方的半平面

公式法：令x=z-y(y =z-x)，得分布函数:

如果两个变量独立:

对分布函数求导得Z的概率密度为

适用用两个变量的线性组合:
注:结论:假于X,Y都服从正态分布,并Ｘ,Ｙ相互独立,那，有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布

联合密度函数已知，二维连续性随机变量在一个区域上取值的概率我们转换成对联合密度函数作一个二重积分.

（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）