SARS模型.doc

一、问题的重述
SARS作为21世纪第一个在世界范围内传播的传染病，它的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来很大影响，同时也给人们许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。现在的问题是针对SARS 的传播建立数学模型，要求如下：
（1）对题目中所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。
（2）建立自己的模型，并比较它与题目提供模型的优劣；对建立一个真正能够预测且能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，提出建议，并指出难点所在；另外对卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。

问题二要求建立SARS传播模型。一个健康人被传染过程为：
健康人潜伏类人病人退出者（包括死亡者和治愈者）

通过分析各类人之间的转化关系，建立微分方程模型。在SARS传播过程中，政府的干预起较大作用，以政府采取措施控制疫情的时刻作为分割点，分别考虑前后两阶段，称之为控制前阶段和控制后阶段。疫情发展规律主要由日接触率制约，在不同的阶段的影响因素不同。控制前，因按自然传播规律传播，故可视为常量；同时，在疫情初期，人们的防范意识比较弱,再加上非典自身的传播特点,在许多地区出现一个病人传染很多人的现象,即“超级传染事件”(SSE事件)[1]；随着人们防范意识的增强, SSE事件发生的概率减小,因此SSE事件在非典的发展早期起着重要作用。而SSE事件作为超级传染事件，特性在于在较短的时间内，即可使传染者数目增幅较大。因此可将SSE事件对疫情的影响看作一个脉冲的瞬时行为，使用脉冲微分方程描述。控制后，受人们防范意识的影响，而引起人们防范意识变化的原因主要有两方面，一方面来自因对疫情的恐慌而迫使人们自身加强防范意识，用警惕指标来刻划，另一方面由于政府政策，法律法规的颁布等而加强的防范意识，用政府措施力度来刻划。而与又分别为疫情指标的函数，先定性分析确定各因素之间的函数关系，再在求解过程中利用参数辨识确定其中的参数。

3．1 模型的假设

⑴ 由于SRAS的传播时间不是很长，故假设不考虑这段时间内的人口出生率和自然死亡率
⑵ 平均潜伏期为6天[2]
⑶ 处于潜伏期的SARS病人不具有传染性[2]
⑷ 提供的北京统计数据真实可信

3．2 符号说明
从最初发现非典患者到政府采取防御措施的时间间隔
总人口数
t时刻健康人数占总人数的比例
t时刻感染人数占总人数的比例
t时刻潜伏期的人数占总人数的比例
t时刻退出类的人数占总人数的比例
日发病率
系统退出率
日接触率，表示每个病人平均每天有效接触的人数
疫情指标
政府措施力度
警惕指标
防范意识

问题二 SARS传播模型

4．1 模型建立：
由问题的分析，将人群分为健康人类，潜伏类，病人类，退出类四类，
之间的转化关系为：
健康人类
潜伏类
病人类

退出类

l 健康人类与潜伏类的转化：
健康人和病人有效接触成为潜伏类，因每个病人平均每天有效接触的健康人数为，个病人平均每天共能使个健康人成为潜伏类。所以即
l 潜伏类与病人类的转化：
表示潜伏期日传染率，潜伏类人的变化等于健康人的变化减去病人的变化,

即：

由假设2，每一位处于潜伏期的人每天将以的概率转化为病人类[4]，即
l 病人类与退出类的转化：
表示退出系统的比率，单位时间内退出人的增加等于病人的减少，即:

综上，我们建立了这个系统的转化过程，以下我们从将疫情传播过程分为控前阶段和控后阶段建立模型。

4．1．2 控前阶段：按自然传播规律传播
l 参数确定：
在传播的初期，SARS按自然传播规律传播，保持不变，记此常量为，具体取值在模型求解中通过参数辨识得到
由资料[5]
l 超级传染事件（SSE）的处理：
定义脉冲函数：
函数：
由问题的分析，将SSE事件对疫情的影响看作一个瞬时的脉冲行为，且仅会对

其中，为所加函数的个数，在实际中为SSE事件的个数；为第个函数的强度，据资料[1]显示，每例SSE事件的平均感染人数为20人。
综上我们建立了控前阶段的模型：

其中，，，为系统中各类的初始值。

4．1．3 控后阶段：
l 疫情指标的确定
影响疫情指标因素主要是每日新增死亡人数、新增确诊人数、新增疑似病例数。对这三个因素归一后求加权和得到：

其中，为离散数据 ；依次为,,对疫情指标的相对影响权重，且。考虑到人们对三类新增人数的敏感程度，。由于统计得到的数据均为离散的,为得到关于时间的连续变化,采用最小二乘法拟合,得到的表达式。从离散点看出，其大致呈韦伯分布函数的形状，故用进行拟合，由题目提供的北京市数据可得：

图二 疫情指标的拟和曲线与实际数据比较图
其离散的与拟合后的的图像见图二
图二

由图象可以看出二者由较好的拟合度，则拟合后的可用来定量描述疫情指标随时间的变化关系。

l 政府措施力度的确定

疫情的发展对经济、社会造成一定的影响，政府必会采取措施削弱其影响；同时，政府须根据以往的疫情采取相应的措施，所以，政府力度为以往疫情的平均值的函数（），分析实际情况应满足以下性状：
1) 时，有一个初始值，即为潜在的政府力度；

2) 随的增长而增长，开始增长较为缓慢，因为开始疫情的蔓延不足以使政府的重视程度提高很快；但疫情发展到一定阶段后政府对疫情的蔓延变得敏感起来；后期，政府力度已较高，随疫情指标的增长变化较慢；
3) 当趋近于1时趋于1。
综合性质1）2）3），随变化的曲线，形态如图三所示（横坐标为，纵坐标为，刻度没有意义，仅表示形态），故使用
图三

图三

来刻画政府措施力度
根据北京实际，取；计算得到时，取，可计算出

l 警惕指标的确定
人们对SARS的警惕程度随疫情的变化而变化。政府公布疫情初期，疫情的变化引起人们很大的关注，警惕程度随疫情的微小变动波动很大；中后期，波动逐渐变缓直至平稳。
与的关系定量为：
其中根据时，（0.2为人们固有的警惕指标）；当时，。可得。
l 防范意识的确定
由问题分析，防范意识受政府措施力度和警惕指标的影响，随的增大而增大，随的增大而增大，且,对的影响作用大致相当，取。

l 防范意识与日接触率的关系
表示每个病人平均每天有效接触的人数，由问题的分析知，传染系数是防范意识的函数，且应满足以下性质：
（1） 当防范意识为零时，取最大值---控制前日接触率；
（2） 随的增大，传染系数减小。不强时，对的变化所起的作用较小；超过一定值时，对的影响效果较明显；
（3） 当趋近于1（不可能为1）时，趋近于0
由上三点确定的随 变化关系的曲线形态，采用函数刻画此形态。其中，待定。
综上，控后阶段建立的模型为：

4．2 模型求解：
由于模型无法得到解析解,所以将连续模型离散化再求解。在求解过程中,利用参数辨识的方法,即确保达到最小，进行求解并确定模型中待定的参数，其中表示时刻实际的北京市新增确诊人数,表示由模型计算得到的时刻北京市新增确诊人数。
初始状态：北京人口总数N＝12,000,000人，3月31日北京市12例非典患者作为疫情初发，（求解程序见附录一）
与的关系如图四

图四 新增确诊人数的实际值于计算值的比较图

由图象可以看出与的走势大致相同，且值相差不大（注：开始的小高峰是SSE事件造成的）。
另外，由参数辨识可以得到模型中未确定的两个待定参数
5．1 问题二的结果分析（对卫生部门采取措施的评价）
l 采取严格隔离措施早晚的影响
卫生部采取严格隔离措施，是在4月20日左右，我们对早5天或晚5天做了如图的对比图（图十）：
图十 每日新增确诊人数随天数的关系

从图中可看出，政府延后五天采取严格隔离措施时，日新增病例峰值为376例，提前五天时，日新增病例峰值为55例，可见日新增病例的峰值对政府采取严格隔离措施的早晚十分敏感，采取的措施越晚，疫情峰值越高，疫情周期越长。这对于指导非典工作具有重要意义，政府部门应该在实际工作中“早发现早隔离”，采取有效的隔离预防措施。

l 政府采取措施的力度对疫情的影响
政府措施力度反映了政府针对疫情所采取的力度，我们分别取，代入模型重新计算，得对比图如图十一

图十一 每日新增确诊人数占总人口中的比例随天数的关系

从图中可看出，政府措施力度越弱曲线的拖尾越长，甚至会再次出现疫情小高峰的现象。当时，曲线出现了第二次峰值，这表示如果政府（卫生部）在疫情刚有所下降时，就过度的减小力度，将会使疫情发生反弹，引起第二次疫情峰值的到来。因此政府措施力度一定要持续，不能看到疫情有所缓和就放松警惕。北京的实际情况是所对应的曲线，可见卫生部实际上所采取的力度是比较危险的，很容易引起第二次峰值，因此卫生部的措施应该在加强一些。

l 人们警惕程度对疫情的影响
对突发性事件人们有个固有的警惕程度，对该固有警惕程度取0.1,0.2,0.3，代入模型重新求解，得对比图如图十二
图十二 每日新增确诊人数占总人口中的比例随天数的关系
图十一
从图象中可看出，固有警惕程度越小，疫情曲线拖尾越长，甚至会发生二次高峰现象，图中给出了当警惕程度为0.1时，就出现了二次疫情高峰现象. 卫生部号召我们要戒除陋习，改变生活
习惯，就是为了使固有警惕程度增加，这样不仅可以使疫情不出现二次峰值，而且可以使疫情周期缩短，因此卫生部加强该项措施对减缓疫情是非常有效的。