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微讲座：
以分数加减法为例谈运用“数形结合”理解算理
　　　　　　　　　　　　　　杜蒙县腰新乡中心学校　　李晓野
一、计算教学的地位及学生计算能力现状
计算是数学知识中的重要内容之一。计算能力是一项基本的数学能力，是学生学习数学和其他学科的重要基础。在小学数学教材中计算所占的比重很大，计算课在小学数学课程中所占的课时居于首位，纯粹的计算教学贯穿了整个小学数学教材。另外空间与图形、统计与概率、综合与实践这三大领域，也都与计算密不可分。不难看出，离开了计算，数学活动便成了空穴来风，无本之木。同时，计算课教学还关系着学生观察，记忆，思维等智力因素的发展，关系着学生的学习习惯，情感，意志等非智力因素的培养，这些足以说明计算课在小学阶段的重要性。
小学阶段计算教学的目标是“使学生具有进行整数、小数、分数四则计算的能力，对于其中一些基本的计算要达到一定的熟练程度。逐步做到计算方法合理、灵活”。
在实际教学中，很多教师忽视学生计算能力的培养，过高估计学生，认为这是“死知识”一点就会，停留在算对、算快的层面上。但是，学生在计算方面所反映出来的情况却恰好相反，大多数学生普遍存在计算正确率低和计算速度慢的情况。我想造成学生计算正确率低和计算速度慢的原因大致可以归纳为知识性错误和非知识性错误两方面。知识性错误是指学生对计算方法、运算定律或运算顺序的不理解,或者没有很好地掌握这些知识所导致的错误。非知识性的错误是指学生由于不良的学习习惯所导致的错误,如抄错数字,不认真审题,注意力不集中,易受负迁移干扰等。            
二、解决计算时知识性错误的策略
计算正确率低，抛开学生的非知识性错误忽略不计，那么我想最主要的原因就是学生掌握不好计算方法。掌握不好计算方法，归根结底就是：学生没有充分地理解“算理”。什么是“算理”？简单地说就是计算方法的道理。学生不明白计算的道理又怎么能更好地掌握计算方法呢？所以在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然又知其所以然”，会在很大程度上降低学生计算的错误率。
根据计算课教学内容的不同，引导学生理解算理的策略也是不同的。我认为“数形结合”就是帮助学生理解算理的一种很好的方式。
提起“数形结合”，我们不能不想到一位数学家——那就是华罗庚先生。“数形结合”一词正式出现是在华罗庚先生于1964年１月撰写的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的科普小册子中，书中有这样一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离”。这里的“数无形时少直觉，形少数时难入微”形象生动地指明了“数形结合”思想的价值，也揭示了“数形结合”思想的本质。“数形结合”的方法就是把数学问题中的运算、数量关系等与几何图形与图象结合起来进行思考，也就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使抽象的逻辑思维与直观的形象思维完美的统一起来。
三、以分数加减法为例谈运用“数形结合”理解算理
例如，北师大版三下《吃西瓜》，也就是同分母分数加减法一课时的教学片断：
１.探究同分母分数加法的计算方法。（它们一共吃了这个西瓜的几分之几？）
师：同学们，我们先来研究这个问题，这个问题你是怎样列式的？
（2/8+3/8=，师板书）
（1）猜想结果：
师：这个算式是我们以前没有接触过的，你猜猜，结果可能是多少？
生：5/8　生：5/16
师：你是怎么想的？说说看
学生回答问题时没有解释清楚结果是5/8或是5/16的理由。也就是对于算理的表述是含糊不清的。
师：老师给大家提供了不同形状的纸片，同桌之间可以合作折一折，涂一涂，动动脑筋想一想，试着想办法证明2/8+3/8的结果。（生合作折，涂，观察，结合图形思考2/8+3/8的结果）
学生展示怎么分的，怎么涂的，结果是多少。教师再动态演示过程，让学生结合图形说一说为什么2/8+3/8的结果是5/8而不是5/16，学生表述的就很清楚明白了。
在接下来探究同分母分数减法的计算方法的时候，也采用了“数形结合”的方式，通过折、涂、擦的方法，学生很容易就得出了计算方法。
学生刚开始接触分数加减法计算，容易受到整数加减法计算方法的负迁移影响，同时，学生对于抽象的算理的理解，也离不开用直观图形演示的依赖。这个教学片断，通过学生动手折、涂、擦的活动，用“图例+算式”的形式，使“数形结合”策略在这节计算课中得到了有效的利用，解决了学生形象思维和数学知识抽象的矛盾。学生在操作过程中，不仅知道了计算方法，也深入理解了算法背后的道理，达到了对算法的切实把握。
再例如，北师版五下《折纸》——异分母分数加减法的教学片断：
计算1/2+1/4为什么要先通分？老师讲解并在黑板上板书：
因为1/2相当于２个1/4，所以是2/4。2/4+1/4结果就是3/4。
这样处理小部分学生会明白，但有很多学生仍然不理解。
老师进行了如下的引导：
师：拿出课前准备好的正方形纸片，折一折、涂一涂，分别表示出它的1/2和1/4。
师：根据你的操作，说一说1/2+1/4的得数是多少。
再提问：你是怎样看出得数是3/4的？把涂色部分看作是3/4时,原来的1/2被看作几分之几？
这里通过折、涂正方形纸片，学生明白了要计算出这个分数加法的结果，就必须先将分数的单位转化成相同的单位才能进行计算，即通分。接着教师再利用电子白板将上述的抽象思维过程形象化、视觉化，即教师充分利用分数的直观图，将数与形结合起来，引导学生体会“只有平均分得的份数相同，也就是分数单位相同，分子才能相加”的道理，直观地理解通分的必要性及异分母分数加法的算理。
异分母分数的减法，同样也可以用数与形结合的方法来阐明算理。
由于计算过程中的算理是极其抽象的，学生不易理解。倘若教师能够有意识，并能够自觉利用“数形结合”的方法，就能够帮助学生建立清晰的表象，这样学生对于计算的过程就会记忆深刻，对计算的算理理解的也会透彻。计算教学中如果没有图形的帮助，这样的教学理解也是不可能达到的。“数形结合”方法，事实上也是形象思维与抽象思维协同运用的一种过程，其教学效果是显而易见的。
四、由运用“数形结合”理解算理再想开去
在小学数学教学中如何运用“数形结合”的方法呢？具体做好“以形助数”和“以数辅形”两方面，就可以使许多数学问题变得简易化。
（一）以“形”助“数”
1.数学概念的建立要借助“形”的直观。比如在数小棒、搭多边
形中认识整数，在等分图形中认识分数、小数；利用交集图理解公因数与公倍数等等。运算的概念、（如除法、余数）数学术语（如平均分、大于）等等都需要“形”的参与。
2.数学性质的探索依赖“形”的操作。比如分数的基本性质、小数的性质可以让学生在对图形的等分中理解。
3.数学规则的形成需要“形”作材料。比如“20以内进位加法”可以通过实物操作体会“凑十”的过程；分数乘法法则在折纸过程中归纳算法；长方形面积计算方法在“摆（面积单位）→数（小正方形个数）→想（个数与长宽关系）”等过程中获得。
4.解题思路的获得可用“形”来帮助。比如在解比较复杂的文字题、应用题（如“行程问题”、“分数应用题”等）时，恰当选用线段图、示意图、集合图等，可以有效寻找到解题途径。
（二）以“数”辅“形”
1.对图形的认识要用数学语言的描述才能深化。比如“直线”的教学，生活中无法找到“直线”的原型，也画不出来，而辅之以数学语言“直”“无限”、“延伸”等，就能较好地建立相应的表象。又如“长方形”，学生从图形中感知获得的只是“长长的”、“方方的”，只有用数学语言提示其特征（有４个角，都是直角；有４条边，对边相等），对长方形的认识才是深刻的。
2.几何图形的周长、面积、体积计算公式的归纳是对形体直观知觉的深化。比如长方形面积大小观念的建立从定性到定量，从直观比较到数方格，从摆小正方形（面积单位）到发现面积与长宽的关系，最终获得面积计算公式，使学生从更深层面上认识了长方形。
3.几何图形性质的判断有时需要通过计算才能获得正确结论。如：“周长相同的三角形、正方形和圆，哪个面积大？哪个最小？”由于作图困难，凭图形直观难以判断，而通过具体计算，结论就不辨自明了。
所以在教学中，教师应从具体的教学过程着手，不仅把数形结合作为重要的解题方法，更应该将它作为重要的学科思想和思维方式，有意识地培养学生的见数想形、因形思数、数形结合的意识，使数学结合思想能始终贯穿在学习数学知识的过程中。