抽样定理及应用.doc

抽样定理及应用
一． 课程设计的目的
1. 掌握利用MATLAB分析系统频率响应的方法，增加对仿真软件MATLAB的感性认识，学会该软件的操作和使用方法。
2. 掌握利用MATLAB实现连续信号采用与重构的方法，加深理解采样与重构的概念。
3 . 初步掌握线性系统的设计方法，培养独立工作能力。
4. 学习MATLAB中信号表示的基本方法及绘图函数的调用，实现对常用连续时间信号的可视化表示，加深对各种电信号的理解。
5. 加深理解采样对信号的时域和频域特性的影响；验证信号与系统的基本概念、基本理论，掌握信号与系统的分析方法。
6. 加深对采样定理的理解和掌握，以及对信号恢复的必要性；掌握对连续信号在时域的采样与重构的方法。
二． 课程设计的内容及要求
1.课程设计的内容
离散正弦序列的MATLAB表示与连续信号类似，只不过是用stem函数而不是用plot函数来画出序列波形。命令窗口没打开时，从“Desktop”菜单中选择“Command Window”选项可以打开它。“>>”符号是输入函数的提示符，在提示符后面输入数据和运行函数。
退出MATLAB时，工作空间中的内容随之清除。可以将当前工作中的部分或全部变量保存在一个MAT文件中，它是一种二进制文件，扩展名为.mat。然后可在以后使用它时载入它。
用MATLAB的当前目录浏览器搜索、查看、打开、查找和改变MATLAB路径和文件。在MATLAB桌面上，从“Desktop”菜单中选择“Current Directory”选项，或者在命令窗口键入“filebrowser”，打开当前目录浏览器。使用当前目录浏览器可以完成下面的主要任务：查看和改变路径；创建、重命名、复制和删除路径和文件；打开、运行和查看文件的内容；
由于函数不是严格的带限信号，其带宽可根据一定的精度要求做一近似。根据以下三种情况用MATLAB实现采样信号及重构并求出两者误差，分析三种情况下的结果。
（1）的临界采样及重构：，，；
（2）的过采样及重构：，，；
（3）的欠采样及重构：，，。
2.课程设计的方案
2.1课程设计的原理
2.1.1连续信号的采样定理
模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs，重复出现一次。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。时域采样定理从采样信号恢复原信号必需满足两个条件：
(1) 必须是带限信号，其频谱函数在 ＞ 各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号才能适用采样定理。）
 (2) 取样频率不能过低，必须 ＞2 （或 ＞2）。（对取样频率的要求，即取样频率要足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号。）如果采样频率大于或等于，即（为连续信号的有限频谱），则采样离散信号能无失真地恢复到原来的连续信号 。一个频谱在区间（- ，）以外为零的频带有限信号，可唯一地由其在均匀间隔 （ ＜ ）上的样点值所确定。根据时域与频域的对称性，可以由时域采样定理直接推出频域采样定理。一个时间受限信号，它集中在（）的时间范围内，则该信号的频谱在频域中以间隔为的冲激序列进行采样，采样后的频谱可以惟一表示原信号的条件为重复周期，或频域间隔（其中）。采样信号 的频谱是原信号频谱 的周期性重复，它每隔 重复出现一次。当＞2 时，不会出现混叠现象，原信号的频谱的形状不会发生变化，从而能从采样信号 中恢复原信号 。（注：＞2 的含义是：采样频率大于等于信号最高频率的2倍；这里的“不混叠”意味着信号频谱没有被破坏，也就为后面恢复原信号提供了可能！）

(a)
(b)
(c)
图* 抽样定理
a) 等抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）
b) 高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）
c) 低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）
2.1.2信号采样
如图1所示，给出了信号采样原理图
信号采样原理图（a）
由图1可见，，其中，冲激采样信号的表达式为：

其傅立叶变换为，其中。设，分别为，的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得

若设是带限信号，带宽为， 经过采样后的频谱就是将在频率轴上搬移至处（幅度为原频谱的倍）。因此，当时，频谱不发生混叠；而当时，频谱发生混叠。
一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列的幅值调制器，即理想采样器的输出信号，是连续输入信号调制在载波上的结果，如图2所示。

图2 信号的采样
用数学表达式描述上述调制过程，则有

理想单位脉冲序列可以表示为

其中是出现在时刻，强度为1的单位脉冲。由于的
数值仅在采样瞬时才有意义，同时，假设

所以又可表示为

2.1.3信号重构
设信号被采样后形成的采样信号为，信号的重构是指由经过内插处理后，恢复出原来信号的过程。又称为信号恢复。
若设是带限信号，带宽为，经采样后的频谱为。设采样频率，则由式（9）知是以为周期的谱线。现选取一个频率特性（其中截止频率满足）的理想低通滤波器与相乘，得到的频谱即为原信号的频谱。
显然，，与之对应的时域表达式为
（10）
而

将及代入式（10）得
（11）
式（11）即为用求解的表达式，是利用MATLAB实现信号重构的基本关系式，抽样函数在此起着内插函数的作用。
例：设，其为：

即的带宽为，为了由的采样信号不失真地重构，由时域采样定理知采样间隔，取（过采样）。利用MATLAB的抽样函数来表示，有。据此可知：

通过以上分析，得到如下的时域采样定理：一个带宽为wm的带限信号f(t)，可唯一地由它的均匀取样信号fs(nTs)确定，其中，取样间隔Ts<π/wm, 该取样间隔又称为奈奎斯特间隔。 根据时域卷积定理，求出信号重构的数学表达式为：

式中的抽样函数Sa(wct)起着内插函数的作用，信号的恢复可以视为将抽样函数进行不同时刻移位后加权求和的结果，其加权的权值为采样信号在相应时刻的定义值。利用MATLAB中的抽样函数来表示Sa(t)，有，，于是，信号重构的内插公式也可表示为：

2.2设计的思路
连续信号是指自变量的取值范围是连续的，且对于一切自变量的取值，除了有若干个不连续点以外，信号都有确定的值与之对应。严格来说，MATLAB并不能处理连续信号，而是用等时间间隔点的样值来近似表示连续信号。当取样时间间隔足够小时，这些离散的样值就能较好地近似连续信号。时域对连续时间信号进行采样，是给它乘以一个采样脉冲序列，就可以得到采样点上的样本值，信号被采样前后在频域的变化，可以通过时域频域的对应关系分别求得了采样信号的频谱。
在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值来表示，并且可以用这些样本值把信号完全恢复过来。这样，抽样定理为连续时间信号与离散时间信号的相互转换提供了理论依据。通过观察采样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱，在时域是否也能恢复原信号时，利用频域时域的对称关系，得到了信号。
2.3详细设计过程
2.3.1的临界采样及重构
1实现程序代码
当采样频率小于一个连续的同信号最大频率的2倍，即时，称为临界采样. 修改门信号宽度、采样周期等参数，重新运行程序，观察得到的采样信号时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。
Sa(t)的临界采样及重构程序代码；
wm=1; %升余弦脉冲信号带宽
wc=wm; 频率
Ts=pi/wm; %周期
ws=2.4*pi/Ts; %理想低通截止频率
n=-100:100; %定义序列的长度是201
nTs=n*Ts %采样点
f=sinc(nTs/pi); %抽样信号
Dt=0.005;t=-20:Dt:20;
fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t)))); %信号重建
t1=-20:0.5:20;
f1=sinc(t1/pi);
subplot(211);
stem(t1,f1);
xlabel('kTs');
ylabel('f(kTs)');
title('sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号');
subplot(212);
plot(t,fa)
xlabel('t');
ylabel('fa(t)');
title('由sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号重构sa(t)');
grid;
2程序运行运行结果图与分析

图3 的临界采样及重构图
运行结果分析：为了比较由采样信号恢复后的信号与原信号的误差，可以计算出两信号的绝对误差。当t选取的数据越大，起止的宽度越大。
2.3.2的过采样及重构
1实现程序代码
当采样频率大于一个连续的同信号最大频率的2倍，即时，称为过采样.
在不同采样频率的条件下，观察对应采样信号的时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。
Sa(t)的过采样及重构程序代码；
wm=1;
wc=1.1*wm;
Ts=1.1*pi/wm;
ws=2*pi/Ts;
n=-100:100;
nTs=n*Ts
f=sinc(nTs/pi);
Dt=0.005;t=-10:Dt:10;
fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));
error=abs(fa-sinc(t/pi));
t1=-10:0.5:10;
f1=sinc(t1/pi);
subplot(311);
stem(t1,f1);
xlabel('kTs');
ylabel('f(kTs)');
title('sa(t)=sinc(t/pi)的采样信号');
subplot(312);
plot(t,fa)
xlabel('t');
ylabel('fa(t)');
title('由sa(t)=sinc(t/pi)的过采样信号重构sa(t)');
grid;
subplot(313);
plot(t,error);
xlabel't');
ylabel('error(t)');
title('过采样信号与原信号的误差error(t)');
2程序运行运行结果图与分析。

图4 的过采样信号、重构信号及两信号的绝对误差图
运行分析：将原始信号分别修改为抽样函数Sa(t)、正弦信号sin(20*pi*t)+cos(20*pi*t)、指数信号e-2tu(t)时，在不同采样频率的条件下，可以观察到对应采样信号的时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。
2.3.3Sa(t)的欠采样及重构
1实现程序代码
当采样频率小于一个连续的同信号最大频率的2倍，即时，称为过采样。利用频域滤波的方法修改实验中的部分程序，完成对采样信号的重构。
Sa(t)的欠采样及重构程序代码；
wm=1;
wc=wm;
Ts=2.5 *pi/wm;
ws=2*pi/Ts;
n=-100:100;
nTs=n*Ts
f=sinc(nTs/pi);
Dt=0.005;t=-20:Dt:20;
fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));
error=abs(fa-sinc(t/pi));
t1=-20:0.5:20
f1=sinc(t1/pi);
subplot(311);
stem(t1,f1);
xlabel('kTs');
ylabel('f(kTs)');
title('sa(t)=sinc(t/pi)的采样信号sa(t)');
subplot(312);
plot(t,fa)
xlabel('t');
ylabel('fa(t)');
title('由sa(t)=sinc(t/pi)的欠采样信号重构sa(t)');
grid;
subplot(313);
plot(t,error);
xlabel('t');
ylabel('error(t)');
title('欠采样信号与原信号的误差error(t)');
2程序运行运行结果图与分析

图5的欠采样信号、重构信号及两信号的绝对误差图
误差分析：绝对误差error已大为增加，其原因是因采样信号的频谱混叠，使得在区域内的频谱相互“干扰”所致。
2.4设计方案优缺点
优点：MATLAB在绘图方面提供了相当高级的函数序及程序界面，即使用户没有丰富的程序设计经验，也能够快速地得到自己想要的结果，熟练的使用MATLAB的程序员或研究人员能缩短研究开发时间，从而提高竞争力，MATLAB和其他高级语言有良好的接口，可以方便地实现与其他语言的混合编程，从而进一步扩宽MATLAB的应用潜力。
缺点：MATLAB占用内存空间很大，并且会因硬盘分区是NTFS格式还是FAT格式而有差异。
3.程序中的常见函数和功能
程序中的常见函数和功能:abs( )求绝对值;sinc( ) Sa(t)函数;ones( )全1矩阵;plot( )绘图;subplot( ) 绘制子图;stem( ) 绘制离散序列数据图 .
三．收获和体会
该课程设计使我对采样定理的一些基本公式得到了进一步巩固。在整个实验过程中，我查阅了很多相关知识，从这些书籍中我受益良多。也使我上机操作顺利完成。虽然刚开始对采样过程和恢复过程认识不深，但是通过这次实验对采样过程和恢复过程有了进一步掌握。
通过实验的设计使我对采样定理和信号的重构有了深一步的掌握，从而在上机的过程中没有出现太多的问题。虽然在实验过程中出现很多错误，但是在老师的帮助下，不断的修正错误，同时也学会了MATLAB中信号表示的基本方法及绘图函数的调用。虽然刚开始我对MATLAB的基本使用方法没有太深刻的认识。但是该实验使我对MATLAB函数程序的基本结构有所了解，也提高了我独立完成实验的能力和理论联系实际的应用能力。进而了解了采样的方法。实验通过测量系统的频率特性，加深了我对系统频率特性的理解。
四．参考文献
[1]董长虹. Matlab信号处理与应用[M].北京：国防工业出版社，2005.01：28-47.
[2]路林吉，袁华. 信号与系统[M].北京：机械工业出版社，2007.01：124-127.
[3]甘俊英，胡异丁. 基于MATLAB的信号与系统实验指导[M].北京：清华大学出版社，2007.08：64-72.
[4]吴大正. 信号与线性系统分析[M].北京：高等教育出版社，2005.08：182-188.
[5]楼顺天，刘小东，李博菡.基于MATLAB7.X的系统分析与设计——信号处理[M].西安：西安电子科技大学出版社，2005.05：268-273.