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线性代数笔记
第一章 行列式 1
第二章 矩阵 2
第三章 向量空间 3
第四章 线性方程组 5
第五章 特征值与特征向量 5
第一章 行列式
1.3.1　行列式的性质
　　给定行列式,将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。
　　性质1 转置的行列式与原行列式相等。即
　　(这个性质表明:行列式对行成立的性质,对列也成立,反之亦然)
　　性质2 用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。
　　推论1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。
　　推论2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。
可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。
　　性质3 行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。
　　以二阶为例
　　推论3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。
　　性质4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。
　　性质5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和，
　　注意 性质中是指某一行（列）而不是每一行。
　　性质6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以 加到另一行（列），所得的行列式的值不变。

范德蒙德行列式
例10 范德蒙行列式……

　　.
=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)

1.4　克莱姆法则
　　　定理1.4.1 对于n阶行列式

　　　定理1.4.2 如果n个未知数，n个方程的线性方程组的系数行列式D≠0,则方程组有惟一的解:

定理1.4.3 如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式D≠0，则该方程组只有零解，没有非零解。
推论　如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式D=0。

第二章 矩阵
一、矩阵的运算
1、矩阵的加法
设A=（aij）m×n  ，B=（bij）m×n  ，则
A+B=（aij+bij）m×n 
矩阵的加法适合下列运算规则：
（1）交换律：A+B=B+A
（2）结合律：（A+B）+C=A+（B+C）
（3）A+0=0+A=A
此处0表示与A同型的零矩阵，即A=（aij）m×n ，0=0m×n 
（4）矩阵A=（aij）m×n，规定-A=（-aij）m×n，（称之为A的负矩阵），则有A+（-A）=（-A）+A=0
2、矩阵的数乘
设A=（aij）m×n，K为数，则
KA=（Kaij）m×n
矩阵的数乘适合下列运算规则：
（1）K（A+B）=KA+KB
（2）（K+L）A=KA+LA
（3）（KL）A=K（LA）
（4）1*A=A
（5）0*A=0（左端的零是指数0，而右端的“0”表示一个与A行数列数相同的零矩阵。）
3、矩阵的乘法
设A=（aij）m×n，B=（bjk）n×l，则
A*B=C=（cik）m×l
其中C=Σaijbjk（j=1，n）
注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA；矩阵乘法有零因子，即A≠0（零矩阵），B≠0（零矩阵），但有可能A*B=0（零矩阵）
矩阵的乘法适合以下法则：
（1）结合律：（AB）C=A（BC）
（2）分配律（A+B）C=AC+BC
                     C（A+B）=CA+CB
（3）k（AB）=（kA）B=A（kB），此处k是一个数。
由于矩阵乘法的结合律，故对于方阵A来说，A的方幂是有意义的，即Ak=A*A…A共k个A相乘，从而有
（1）AkAl=Ak+l
（2）（Ak）l=Akl
（3）InA=AIn=A
4、矩阵的转置
将矩阵A的行变成列，列变成行得到的矩阵称为A的转置矩阵，记作AT或A/
注意A是m×n矩阵，则AT为n×m矩阵
矩阵的转置适合下列运算法则：
（1）（AT）T=A
（2）（A+B）T=AT+BT
（3）（kA）T=kAT
（4）（AB）T=BTAT
5、方阵的逆矩阵
　　设A，B为同阶可逆矩阵。常数k≠0。则
　　1.可逆，且。 AA-1=A-1A=E
　　2.AB可逆，。

　　3. 也可逆，且。 （A-1）k=（Ak）-1
　　4.kA也可逆，且。（注：K不能为0）
　　5.消去律 设P是与A，B同阶的可逆矩阵，若PA=PB，则A=B。
　　若a≠0，ab=ac则b=c。
　　6.设A是n阶可逆方阵。定义 ，并定义。则有，其中k，l是任意整数。
　　7.设A 是 n阶可逆方阵，则。
2.3.1　逆矩阵的定义
　　定义2.3.1 设A是一个n阶方阵。若存在一个n阶方阵B使得。
　　则称A是可逆矩阵，也称非奇异阵并称。
　　若这样的B不存在，则称A不可逆。
　　定理2.3.1 可逆矩阵A的逆矩阵是惟一的。
　　定理2.3.2 n阶方阵A可逆的充分必要条件是，且当时，。
　　推论 设A，B均为n阶方阵，并且满足AB=E，则A,B都可逆，且。

2.4.1　分块矩阵的概念
　　　对于行数列数较高的矩阵A，为运算方便，经常采用分块法处理。 即可以用若干条横线和竖线将其分成若干个小矩阵。每个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

　　2.4.3　几个特殊的分快矩阵的运算

　　（1）准对角矩阵
　　方阵的特殊分块矩阵
　　形如
　　的分块矩阵称为分块对角阵或准对角阵，其中，均为方阵。
　　（2）两个准对角（分块对角）矩阵的乘积

　　则
　　（3）准对角矩阵的逆矩阵 若均为可逆阵。
　　可逆，且。

　　（4）准上（下）三角矩阵的行列式
　　。
　　可以证明

※（1）用初等行变换方法求逆矩阵时，不能同时用初等列变换！
（2）在求矩阵的秩时，可以只用初等行变换，但也允许用初等列变换，而且不必化成简化行阶梯形矩阵
定义2.5.1（线性方程组的初等变换）
　　称下列三种变换为线性方程组的初等变换。
　　（1）两个方程互换位置；
　　（2）用一个非零的数乘某一个方程；
　　（3）把一个方程的倍数加到另一个方程上。
　　显然，线性方程组经初等变换后所得的新方程组与原方程组同解。
　　事实上，上述解线性方程组的过程，只要对该方程组的增广矩阵做相应的行变换即可。

　　二、矩阵初等变换的定义
　　定义2.5.2 分别称下列三种变换为矩阵的第一、第二、第三种行（列）初等变
　　（1）对调矩阵中任意两行（列）的位置；
　　（2）用一非零常数乘矩阵的某一行（列）；
　　（3）将矩阵的某一行（列）乘以数k后加到另一行（列）上去。
　　把行初等变换和列初等变换统称为初等变换。
　　定义2.5.3如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记为A~B。
　　等价具有反身性 即对任意矩阵A，有A与A等价；
　　对称性 若A与B等价，则B与A等价
　　传递性 若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。

　　三、矩阵的行最简形式和等价标准形
　　简单地说，就是经过行初等变换可以把矩阵化成阶梯型，进而化成行最简形，而经过初等变换（包括行和列的）可以把矩阵化成等价标准形。
　　　阶梯形矩阵的定义：满足
　　（1）全零行（若有）都在矩阵非零行的下方；
　　（2）各非零行中从左边数起的第一个非零元（称为主元）的列指标j随着行
　　指标的增加而单调地严格增加的矩阵称为阶梯形矩阵。（每个阶梯只有一行）
　　行最简形式
　　以称满足（1）它是阶梯形；（2）各行的第一个非零元都是1；（3）第一个非零元所在列的其它元素均为零的矩阵为行最简形式。

　　若允许再作初等列变换可继续得
　　这最后的式子就是A的等价标准形。一般，任何一个矩阵的等价标准形都是分块对角阵，也可能为或。

　　　　2.5.2　初等方阵
　　定义2.5.4 对单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵称为初等方阵。
　　以三阶方阵为例
　　第一种：
　　第二种：
　　第三种:
　　显然，初等阵都是非奇异阵。　　
　　2.5.3　用初等变换法求逆矩阵
　　因为任意非奇异阵只经行初等变换就可化成单位阵，即
　　则
　　这表明，当对A作初等行变换将A变成单位矩阵E时，若对单位矩阵做完全相同的初等变换则单位矩阵E将变成。于是有求逆矩阵的初等变换法:
　　写出分块矩阵作初等行变换，当A化成单位阵时，E就化成为。

　　2.5.4　用初等变换法求解矩阵方程　
　　 　　一元一次方程的标准形 ax=b（a≠0）
　　矩阵方程的三种标准形
　　AX=BXA=B
　　（3）AXB=C则解法：对第一类
　　作分块矩阵对A作初等行变换，当A变成单位阵时，由于B做的是同样的初等行变换，则得到的是。
　　　对于第二类的可先转化为第一类的 ，即由两边转置得
　　按上例的方法求出进而求出X

二.初等变换的性质
　　定理2.5.1 设线性方程组的增广矩阵经有限次的初等行变换化为，则以与为增广矩阵的方程组同解。
　　定理2.5.2任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换（包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无关。
　　定理2.5.3设A是一个m×n阶的矩阵，则
　　（1） 对A做一次初等行变换，就相当于用一个与这个初等变换相应的m阶初等矩阵左乘A；
　　（2） 对A做一次初等列变换，就相当于用一个与这个初等变换相应的n阶初等矩阵右乘A；
　　推论1 方阵经初等变换其奇异性不变。
　　定理2.5.4对于任意的m×n阶矩阵A，总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得
　　推论2　n阶可逆阵（非奇异阵）必等价于单位阵。
　　因为否则，其等价标准形不可逆。
　　定理2.5.5　n阶方阵A可逆的充分必要条件是A能表示成若干个初等阵的乘积。
　　证 充分性是显然的。下面证必要性。
　　“”已知A为n阶可逆阵，则A与等价，故存在有限个n阶初等阵，即 ，亦即A能表示成有限个初等矩阵的乘积。必要性得证。
　　推论3　任意可逆阵A（非奇异阵）只经过有限次的初等行（列）变换就能化成单位阵。
　　　对n阶方阵A，初等变换不改变其奇异性。
　定义2.6.1 矩阵A的最高阶非零子式的阶数称为该矩阵的秩。记为r（A），有时也记为 秩（A）。
　　事实上，如果A有一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式都等于零，则r（A）

第三章 向量空间
一、n维向量线性运算的定义和性质;
　　定义：设是一组n维向量构成的向量组。如果存在一组不全为零的数使得则称向量组线性相关。否则，称向量组线性无关。

向量线性运算的性质：向量的运算满足下列8条运算律：设α，β，γ都是n维向量，k，l是数，则
（1）α+β=β+α；（加法交换律）
（2）（α+β）+γ=α+（β+γ）；（加法结合律）
（3）α+0=α；
（4）α+（-α）=0
（5）1×α=α
（6）K（α+β）=kα+kβ；（数乘分配律）
（7）（k+lα=kα+lα；（数乘分配律）
（8）（kl）α=k（lα）；（数乘向量结合律）

　　二、n维向量组的线性相关性
　　1.向量组的线性相关性的定义和关于线性相关的几个定理;
　　（1）m个n维向量线性相关的充分必要条件是至少存在某个是其余向量的线性组合.
　　线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.
　　（2） 如果向量组线性无关,而线性相关,则β可由线性表示,且表示法唯一.
　　（3） 线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关.（部分相关，则整体相关；或整体无关，则部分无关）
　　（4） 若向量组线性无关,则接长向量组
　　必线性无关.
　　2.判断向量组的线性相关性的方法
　　（1）一个向量α线性相关；
　　（2）含有零向量的向量组必线性相关；
　　（3）向量个数＝向量维数时，n维向量组线性相关
　　；
　　（4）向量个数 >向量维数时, 向量组必线性相关；
　　（5） 若向量组的一个部分组线性相关，则向量组必线性相关；
　　（6）若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；
　　（7）向量组线性无关向量组的秩＝所含向量的个数 ，
　　向量组线性相关向量组的秩<所含向量的个数；
　　（8）向量组线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组

　　有（没有）非零解.
　　※向量组的秩

    一个向量组α1，α2，…αm的部分组αi1，αi2，…，αir满足如下条件：
（1）αi1，αi2，…，αir线性无关
（2）该向量组任意一个向量添加到这个部分组后得到的向量组线性相关
则称αi1，αi2，…，αir为向量组α1，α2，…αm的极大线性无关部分组。
     性质：
（1）一个向量组的任意向量可由极大无关组线性表示且表示式系数唯一；
（2）一个向量组的两个极大无关组所含向量个数相等。
   一个向量组α1，α2，…αm的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩，记作
r（α1，α2，…αm）。
     一个m×n矩阵A，其行向量组的秩称为矩阵A的行秩；列向量组的秩称为矩阵A的列秩。
   性质：
   （1）一个m×n矩阵A的行秩等于列秩等于矩阵A的秩。
    （2）对m×n矩阵进行初等变换不改变列向量之间的线性关系，进行初等列变换不改变行向量之间的线性关系，因此可以用初等行变换求一组列向量的极大无关组并将其余向量用极大无关组线性表示。
　　三、向量组的极大无关组及秩
　　1.极大无关组的定义
　　2.向量组的秩 求向量组的秩和极大无关组，并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法

　　四、子空间的定义，基、维数、向量在一组基下的坐标
3.4.1　向量空间的概念
　　定义3.4.1 n维实向量的全体构成的集合称为实n维向量空间，记作。
　　定义3.4.2 设V是的一个非空子集，且满足
　　（1）若则；
　　（1）若，则
　　则称V是的子空间。
定义3.4.3对任意的一组n维向量，由它们的全体线性组合组成的集合
　　生成的子空间，记为
3.4.3　基，维数，坐标

　　定义3.4.4设V是的一个向量空间（子空间）。若V中的向量组；
　　（1）线性无关；
　　（2）V中的任意一个向量α，都能由线性表出（α,线性相关，且表示法惟一），即存在惟一一组数，使得。
　　则称向量组为V的一个基，称r为向量空间V的维数，称为向量α在这个基下的坐标。 没有基，定义为0维。
第四章 线性方程组
一、线性方程组的三种表示方法

　　二、齐次线性方程组
　　1.齐次方程组解的性质
　　设α,β都是Ax＝0的解，则C1α＋C2β也是Ax＝0的解（C1，C2为任意常数）
　　2.齐次方程组有非零解的条件
　　1）齐次方程组AX＝0有非零解的充分必要条件是r（A）＜未知数的个数（即矩阵A的列数）.
　　2）n个未知数n个方程的齐次方程组AX＝0有非零解的充分必要条件是|A|＝0.
　　3）设A是m×n阶矩阵.若m＜n，则齐次方程组AX＝0必有非零解.（这是齐次方程组有非零解的充分条件但不必要）
　　3.齐次方程组解的结构
　　1）齐次方程组AX＝0的基础解系的概念
　　重要结论:齐次方程组AX＝0的任意n－r（A）个线性无关的解都构成该齐次方程组的基础解系；
　　2）齐次方程组AX＝0的基础解系的求法
　　3）齐次方程组AX＝0的通解公式

　　三、非齐次方程组
　　1.非齐次方程组解的性质
　　（1）设η1,η2都是Ax＝b的解，则η1－η2是它的导出组Ax＝0的解.
　　（2）设η1,η2都是Ax＝b的解，则当k1＋k2＝1时，k1η1＋k2η2也是Ax＝b的解.
　　（3）设η是Ax＝b的一个解，是它的导出组Ax＝0的解,则是Ax＝b的解.
　　2.关于非齐次方程组解的讨论
　　定理：n个未知数，m个方程的线性方程组AX＝β中，（系数矩阵A是m×n阶矩阵）是增广矩阵.则
　　1）当且仅当（未知数的个数）时，方程组AX＝β有惟一解；
　　2）当且仅当（未知数的个数）时，方程组AX＝β有无穷多解；
　　3）当且仅当时，方程组AX＝β无解.
　　从以上定理可见
　　1）线性方程组AX＝β有解的充分必要条件是.
　　2）当线性方程组AX＝β方程的个数＝未知数的个数时，该方程组有惟一解的充分必要条件是系数行列式|A|≠0.
　　3.非齐次方程组AX＝β的通解的结构

　　其中是方程AX＝β的一个特解，r＝r（A）为系数矩阵的秩，为它的导出组（与它对应的）齐次方程组AX＝0的基础解系；
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