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对策问题之必胜策略
知识点总结： 一 取余制胜（取棋子，报数游戏） 1．每次取 1~n 个棋子，总数，取最后一个赢 策略：总数÷（1+n） 有余则先，拿掉余数，之后总与对手凑成 1+n 即可 无余则后，总与对手凑成 1+n 即可 2. 每次取 1~n 个棋子，总数，取最后一个输 策略：最狠的做法就是留给对方一枚棋子，对方不取也得取。所以想 赢的关键就在于能不能取到倒数第二枚棋子。 问题转化为：每次取 1~n 个棋子，总数，取倒数第二枚棋子赢。 （总数-1）÷（1+n） ，之后同 1 中做法。 二．抢占制胜点（倒推法） 1. 能一步到棋子的位置均是不能走的地方即负位 2. 处处为别人着想。
2、自己不能走的地方逼别人走进去即可，即确定 制胜点。 三．对称法 1. 同等情况下，模仿对方步骤可以达到制胜目的。 2. 不同等情况下，创造对等局面方可制胜。
1. 桌子上放着 100 根火柴，甲、乙二人轮流每次取走 1～5 根。规定 谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取， 那么谁将获胜？ 分析：100÷（1+5）=16„„4 有余数，先拿必胜，甲必胜。 （1）甲先拿 4 个； （2）乙拿 a 个，甲就拿 6-a 个
2. 甲乙两人轮流报数，报出的数只能是 1～7 的自然数。同时把所报 数一一累加起来，谁先使这个累加和达到 80，谁就获胜。请问必 胜的策略是什么？ 分
3、析： 80÷（1+7）=10 无余数，后拿必胜。 甲拿 a 个，乙就拿 8-a 个必胜
3. 1000 个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮 流向右移动棋子，每次移动 1～7 格。规定将棋子移到最后一格者 谁赢。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？ 分析： （1000-1）÷（1+7）=124„„7 有余，先走必胜。 （1）甲先走 7 格 （2）乙走 a 格，甲就拿 8-a 个必胜
4. 5 张扑克牌，每人每次只能拿 1 张到 4 张。谁取最后一张谁输。必 胜的策略是什么？ 分析：先拿 4 张，留给别人 1 张就行。
5. 现有 1000 根火柴，甲乙两人轮流去
4、拿，每人每次最少拿 1 根，最 多拿 7 根，谁取最后一根谁输。试问：先拿获胜，还是后那获胜? 怎么拿法？ 分析： （1000-1）÷（1+7）=124„„7 有余数，先拿必胜。 （1）甲先拿 7 个； （2）乙拿 a 个，甲就拿 8-a 个
6. 有两堆火柴， 每堆都有 36 根。 两人轮流从两对里的其中一堆里拿， 拿的根数不限。谁拿到最后的部分谁获胜。那么谁将必胜？获胜 的策略是什么？ 分析：后拿者必胜 先拿的人从一堆中拿几根，后拿的人就从另外一堆中拿几根
7. 有两堆火柴，其中一堆都有 25 根，另一堆有 38 根火柴。两人轮 流从两对里的其中一堆里拿，拿的根数不限。谁拿到最后
5、的部分 谁获胜。那么谁将必胜？获胜的策略是什么？ 分析：先拿者必胜 甲先从 38 根的一堆中拿出 13 根，留给对方相同的两堆火柴。接 着乙从一堆中拿几根，甲就从另外一堆中拿几根。
8. 桌上有 30 根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取 1～3 根，且取最后一根者为 赢。问：先取者如何拿才能保证获胜？ 答： （30÷4=7…..2,先取 2 根，与对手凑 4 即可）
9. 甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报 1～4 个数，谁报到第 888 个数谁胜。谁 将获胜？怎样获胜？ 答： （甲胜。甲先报 3 个数，以后每次与乙合报 5 个数即可获胜。 ）
10. 1111 个空格排
6、成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次 移动 1～7 格。 规定将棋子移到最后一格者输。 甲为了获胜， 第一步必须向右移多少格？ 答： （1111-1）÷（1＋7）＝138„„6，所以甲第一步必须移 5 格，还剩下 1105 格，1105 是 8 的倍数加 1。以后无论乙移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是 8，甲就必胜。 因为甲移完后，给乙留下的空格数永远是 8 的倍数加 1。
11. （1）有两对火柴，每堆都有 97 根。两人轮流从两对里的其中一堆里拿，拿的根数不限。 谁拿到最后的部分谁获胜。那么谁将必胜？获胜的策略是什么？ （2）分别装有 63,108
7、个球的两个箱子，两人轮流从任一箱中取球，取得球数不限。规 定取得最后球者胜，谁有必胜的策略？怎么获胜？ 答： （1）后拿必胜。策略是先拿的人从一堆中拿几根，后拿的人就从另外一堆中拿几根。 （2）先拿必胜。策略是后拿的人从 108 个球中拿走 45 个球，留给对方相同的两堆球。 接下来策略同上。
12. 黑板上写着一排相连的自然数 1，2，3，…，51。甲、乙两人轮流划掉连续的 3 个数。 规定在谁划过之后另一人再也划不成了， 谁就算取胜。 问： 甲有必胜的策略吗？ 答：甲先划，把中间 25，26，27 这三个数划去，就将 1 到 51 这 51 个数分成了两组，每 组有 24 个数。这样，只要乙在某一组里有数字可划，那么甲在另一组里相对称的位置上 就总有数字可划。因此，若甲先划，且按上述策略去进行，则甲必能获胜。
13. 在纸上写有一行或若干行 “—” 号， 甲乙两人轮流将其中一个或相邻的两个 “—” 号改成“+”号，谁能修改到最后一个“—”号，谁就获胜。如果开始时： （1）有 11 个“—”号 （2）有 10 个“—”号 规定甲先修改，请问谁有必胜的策略。
答： （1）甲必胜。甲先将最中间的一个—变成+，以后乙在哪里改成+，甲在对称的位置改 成+即可。 （2）甲必胜。甲先将最中间的两个—变成+，以后乙在哪里改成+，甲在对称的位置改 成+即可。
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