0.1.6函数的连续性与间断点.doc

新编经济应用数学（微分学 积分学）第五版
课题
0.1.6函数的连续性与间断点（2学时）
时间
年 月 日
教
学
目
的
要
求
1、 理解和掌握连续函数的概念、性质。
2、 理解和掌握闭区间上连续函数的性质。
3、 会求函数的间断点并判断其类型。
重点
判断函数的连续性。
难点
会求函数的间断点。
教
学
方
法
手
段
讲授为主，数形结合。
主
要
内
容
时
间
分
配
一、 函数的连续性 15分钟
1、 函数的增量
2、 连续的定义
3、 左连续和右连续
4、连续函数和连续区间
二、函数的间断点 30分钟
1、函数的间断点
2、间断点的分类：
三、连续函数的性质与初等函数的连续性 25分钟
1、四则运算的连续性
2、复合函数的连续性
3、初等函数的连续性
四、 闭区间上连续函数的性质 20分钟
作业

备注

7
0.1.6函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
1． 函数的增量
设变量从它的初值变到终值，则终值与初值之差称作变量的增量（改变量），记作，即 。
注：（1）是一个完整的记号，不能看作是符号与变量的乘积。
（2）增量可以是正的，可以是负的，也可以是零。
（3）对函数，当自变量从变到，称叫自变量的增量，而叫函数的增量。
2、连续的定义
定义1设函数在点的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋于零时，对应的函数的增量也趋于零，即
那么就称函数在点连续，称为的连续点。
定义2设函数在点的某一邻域内有定义，如果函数当时的极限存在，且等于它在点处的函数值，即，那么就称函数在点连续，称为的连续点。
3、左连续和右连续
如果函数在点的某一邻域内有定义，且有或，则称函数在点处左连续或右连续。
定理 函数在点处连续函数在点处左、右连续。
小结：函数在点处连续要同时满足以下三个条件：
（1）函数在点处有定义
（2）函数的极限存在
（3）

“连续”和“极限”的区别：
① 极限在处可以没有定义
连续在处必须有定义
②时，极限
连续

【例1】 证明函数在处连续。
证明

且
所以存在，且，
即在处连续。
4、连续函数和连续区间
若函数在开区间内的每一点都连续，则称函数在开区间内连续。若函数在开区间内连续，在处右连续且在处左连续，则称函数在闭区间上连续。
注：连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。
二、函数的间断点
1、函数的间断点
设函数在点的空心邻域内有定义。如果函数有下列三种情形之一：
（1）在没有定义；
（2）在有定义，但不存在；
（3）在有定义，且存在，但；
则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点。
2、间断点的分类：
若点为函数的间断点，且和都存在，则称为函数的第一类间断点。

例 讨论函数在处的连续性。
解
右连续但不左连续
故函数在处不连续

（1）跳跃间断点（左右极限不相等）

①

在间断，左极限为2，右极限为1。
（2）可去间断点（左右极限相等）
②

在间断，极限为2。
注：可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义，则可使其变为连续点。
不是第一类间断点的任何间断点称为第二类间断点。（即左右极限至少有一个不存在）
（3）无穷间断点

在 间断

③

（4）振荡间断点
④

在间断，极限不存在。
注：函数的间断点有时是多个。
三、连续函数的性质与初等函数的连续性
1、四则运算的连续性
定理 若函数和在点处均连续，则、、（）在点处也连续。
2、复合函数的连续性
设函数在点连续，函数在点连续，且，则复合函数在点连续。
意义：这个定理说明了连续函数的复合函数仍是连续函数。则
。
这表示对连续函数来说，极限符号与函数符号可以交换次序。
【例2】求函数的连续区间。
解 定义域为
连续区间为
【例3】求
解
【例4】求
解

例 讨论函数的间断点。
解 ，
在处无定义
因此，是可去间断点

因此，
是无穷间断点
因此，
是可去间断点

3、初等函数的连续性
基本初等函数在其定义域内都是连续的。一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
注：（1）定义区间是指包含在定义域内的区间。
（2）初等函数仅在其定义区间内连续，在其定义域内不一定连续。
【例5】定义域
在的邻域内无定义，不连续
在上连续
例如定义域
这些孤立的点的领域内没有定义
五、 闭区间上连续函数的性质
定理1（最大值和最小值定理） 闭区间上的连续函数在该区间上一定有最大值和最小值。
注：若区间是开区间或有间断点，定理不一定成立。
【例6】在上有
【例7】在上有点断点
所以在上既无最大值又无最小值。
定理2（有界性定理） 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。
定理3（零点定理） 设函数在闭区间上连续，且与异号（即）,那么在开区间内至少存在一点，使得。或方程在内至少存在一个实根。
几何意义：连续曲线弧的两个端点位于轴的不同侧，则曲线弧与轴至少有一个交点。
定理4（介值定理） 设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值及，那么，对于与之间的任意一个数，在开区间内至少有一点，使得。

几何意义：连续曲线弧与水平曲线至少有一个交点。
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。
【例8】证明方程在内至少有一个实根。
证明 设，则
在上连续，且
由零点定理可知，至少存在一点，使得
这说明方程在内至少有一个实根。