1、一、一、不定积分不定积分五、平面曲线积分五、平面曲线积分四、重积分四、重积分积分学二、二、定积分定积分三、三、广义积分广义积分六、积分应用六、积分应用第1页一、一、不定积分不定积分1.直接积分法经过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分方法(要求记住基本积分公式）.2.换元积分法第2页第一类换元基本思绪第一类换元关键是凑微分，惯用凑微分结果有第3页第4页第5页第6页第二类换元解题思绪为使用该公式关键为第二类换元常见类型有 三角代换 倒代换 根式代换等第7页3.3.分部积分法分部积分法普通经验:按“反,对,幂,指,三”次序,排前者取为 u.(1)当被积函数为对数函数和反三角函数时,取被积
2、函数为 u(2)当被积函数为两种不一样类型函数乘积时第8页例例3 3 求积分求积分解解（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）第9页解解两边同时对两边同时对 求导求导,得得第10页2、定积分性质性质性质1性质性质2性质性质31、定积分定义：二、定积分二、定积分第11页性质性质5推论：推论：（1）（2）性质性质4第12页性质性质7(定积分中值定理定积分中值定理)性质性质6积分中值公式积分中值公式第13页3、积分上限函数导数第14页也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式4、牛顿莱布尼茨公式第15页5、定积分计算法换元公式换元公式（2）第二类换元法）第二类换元法（3）分部积分法）分部积
3、分法分部积分公式分部积分公式（1）凑微分法）凑微分法第16页6、主要结论为正偶数为正偶数为大于为大于1正奇数正奇数第17页第18页第19页三、广义积分三、广义积分(1)无穷限广义积分无穷限广义积分第20页(2)无界函数广义积分无界函数广义积分第21页1.二重积分性质(k 为常数)为D 面积,则 四、重积分（化为累次积分）四、重积分（化为累次积分）第22页尤其,因为则5.若在D上6.设D 面积为,则有第23页7.(二重积分中值定理)在闭区域D上 为D 面积,则最少存在一点使连续,第24页2.2.在直角坐标系下计算二重积分在直角坐标系下计算二重积分若D为 X 型区域 则若D为Y 型区域则第25页解
4、解第26页3.在极坐标系下计算二重积分第27页例例9.计算二重积分计算二重积分其中D 为圆周所围成闭区域.提醒提醒:因为积分区域关于X轴对称，被积函数为偶函数，考虑上半圆。再利用极坐标原式第28页例例10.10.交换以下积分次序交换以下积分次序交换以下积分次序交换以下积分次序解解:积分域由两部分组成:视为Y型区域,则第29页方法方法方法方法1.1.三次积分法三次积分法三次积分法三次积分法3.3.在直角坐标系下计算三重积分在直角坐标系下计算三重积分第30页方法方法方法方法2.2.截面法（先二后一）截面法（先二后一）截面法（先二后一）截面法（先二后一）记作在该区间内作第31页 2.在柱坐标系下计算
5、三重积分在柱坐标系下计算三重积分在柱坐标系下计算三重积分在柱坐标系下计算三重积分在柱坐标系下化三重积分为三次积分是将积分区域在某个坐标面上投影，将投影区域用极坐标表示，最终找出另一个坐标改变范围。第32页3.3.在球面坐标系下计算三重积分在球面坐标系下计算三重积分在球面坐标系下计算三重积分在球面坐标系下计算三重积分第33页五、平面曲线积分五、平面曲线积分计算定积分转 化且上连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分说明说明:积分限必须满足1.1.对弧长曲线积分计算对弧长曲线积分计算对弧长曲线积分计算对弧长曲线积分计算第34页假如曲线假如曲线假如曲线假如曲线 L L 方程为方程为方程为方程为则有第3
6、5页例例11.11.计算计算计算计算其中 L 是抛物线与点 B(1,1)之间一段弧.解解:上点 O(0,0)第36页2.2.对坐标曲线积分计算法对坐标曲线积分计算法在有向光滑弧 L 上有定义且L 参数方程为则曲线积分连续,存在,且有第37页尤其是,假如 L 方程为则第38页例例例例12.12.计算计算计算计算其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解解:(1)取L参数方程为(2)取 L 方程为则则第39页要求：封闭曲线沿逆时针方向为正方向设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有格林公式格林公式函数在 D
7、 上含有连续一阶偏导数,3.格林公式第40页例例13.13.计算计算计算计算其中L 为上半从 O(0,0)到 A(4,0).解解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L 所围原式圆周区域为D,则第41页1.1.平面图形面积平面图形面积设曲线与直线及 x 轴所围曲则边梯形面积为 A,右下列图所表示图形面积为 六、积分应用六、积分应用第42页例例例例14.14.计算两条抛物线计算两条抛物线计算两条抛物线计算两条抛物线在第一象限所围所围图形面积.解解:由得交点第43页例例例例15.15.求椭圆求椭圆求椭圆求椭圆解解:利用对称性,所围图形面积.有利用椭圆参数方程应用定积分换元法得当 a=b 时得圆面积公式第44页(1)(1)曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出:所求弧长2.平面曲线弧长第45页(2)(2)曲线弧由参数方程给出曲线弧由参数方程给出曲线弧由参数方程给出曲线弧由参数方程给出:所求弧长第46页连续曲线段连续曲线段轴旋转一周围成立体体积时,有当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成立体体积时,有3.旋转体体积第47页4.4.空间立体体积空间立体体积空间立体体积空间立体体积 曲顶柱体曲顶柱体顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域空间有界域 立体体积为第48页
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