1、第一章第一章 函数与极限函数与极限主讲人：张少强主讲人：张少强计算机与信息工程学院计算机与信息工程学院第1页二二、收敛数列性质、收敛数列性质 三三、极限存在准则、极限存在准则 一、数列极限定义一、数列极限定义 第二节第二节 数列极限数列极限第2页数学语言描述数学语言描述:一一、数列极限定义、数列极限定义引例引例.设有半径为设有半径为 r 圆圆,迫近圆面积迫近圆面积 S.如图所表示如图所表示,可可知知当当 n 无限增大时无限增大时,无限迫近无限迫近 S (刘徽割圆术刘徽割圆术),当当 n N 时时,用其内接正用其内接正 n 边形面积边形面积总有总有第3页给定 ，从101项起，都有普通地，不论给定
2、正数 多么小，总存在一个正整数N，当nN时，总有不等式（距离要多小就会有多小，或说：要多近就有多近）（距离要多小就会有多小，或说：要多近就有多近）（假如？）第4页定义定义:自变量取正整数函数称为自变量取正整数函数称为数列数列,记作记作或或称为称为通项通项(普通项普通项).若数列若数列及常数及常数 a 有以下关系有以下关系:当当 n N 时时,总有总有记作记作此时也称数列此时也称数列收敛收敛,不然称数列不然称数列发散发散.几何解释几何解释:即即或或则称该数列则称该数列极限为极限为 a,第5页比如比如,趋势不定趋势不定收收 敛敛发发 散散演示演示第6页例例1.已知已知证实数列证实数列极限为极限为1
3、.证证:欲使欲使即即只要只要所以所以,取取则当则当时时,就有就有故故第7页例例2.已知已知证实证实证证:欲使欲使只要只要即即取取则当则当时时,就有就有故故故也可取故也可取也可由也可由N 与与 相关相关,但不唯一但不唯一.不一定取最小不一定取最小 N.说明说明:取取第8页例例3.设设证实等比数列证实等比数列证证:欲使欲使只要只要即即亦即亦即所以所以,取取,则当则当 n N 时时,就有就有故故极限为极限为 0.第9页二、收敛数列性质二、收敛数列性质证证:用反证法用反证法.及及且且取取因因故存在故存在 N1,从而从而同理同理,因因故存在故存在 N2,使当使当 n N2 时时,有有1.1.收敛数列极限
4、唯一收敛数列极限唯一收敛数列极限唯一收敛数列极限唯一.使当使当 n N1 时时,假设假设从而从而矛盾矛盾.所以收敛数列极限必唯一所以收敛数列极限必唯一.则当则当 n N 时时,故假设不真故假设不真!满足不等式满足不等式第10页例例4.证实数列证实数列是发散是发散.证证:用反证法用反证法.假设数列假设数列收敛收敛,则有唯一极限则有唯一极限 a 存在存在.取取则存在则存在 N,但因但因交替取值交替取值 1 与与1,内内,而此二数不可能同时落在而此二数不可能同时落在长度为长度为 1 开区间开区间 使当使当 n N 时时,有有所以该数列发散所以该数列发散.第11页2.2.收敛数列一定有界收敛数列一定有
5、界收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证:设设取取则则当当时时,从而有从而有取取 则有则有由此证实收敛数列必有界由此证实收敛数列必有界.说明说明:此性质反过来不一定成立此性质反过来不一定成立.比如比如,虽有界但不收敛虽有界但不收敛.有有数列数列第12页3.3.收敛数列保号性收敛数列保号性收敛数列保号性收敛数列保号性.若若且且时时,有有证证:对对 a 0,取取推论推论:若数列从某项起若数列从某项起(用反证法证实用反证法证实)第13页*4.4.收敛数列任一子数列收敛于同一极限收敛数列任一子数列收敛于同一极限收敛数列任一子数列收敛于同一极限收敛数列任一子数列收敛于同一极限.证证:设数列设数列是数列是数列任一子数列任一子数列.若若则则当当 时时,有有现取正整数现取正整数 K,使使于是当于是当时时,有有从而有从而有由此证实由此证实*第14页由此性质可知由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不一样极若数列有两个子数列收敛于不一样极限限,比如，比如，发散发散!则原数列一定发散则原数列一定发散.说明说明:第15页内容小结内容小结1.数列极限数列极限“N”定义及应定义及应用用2.收敛数列性质收敛数列性质:唯一性唯一性;有界性有界性;保号性保号性;任一子数列收敛于同一极限任一子数列收敛于同一极限第16页作业作业P30 3(2),(3),4 ,5，6第17页
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