章节函数与极限市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第一章第一章 函数与极限函数与极限第一节第一节 映射与函数映射与函数第二节第二节 数列极限数列极限第三节第三节 函数极限函数极限第四节第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大第五节第五节 极限运算法则极限运算法则第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个主要极限两个主要极限第1页第七节第七节 无穷小比较无穷小比较第八节第八节 函数连续性与间断点函数连续性与间断点第九节第九节 连续函数运算与初等函数连续性连续函数运算与初等函数连续性第十节第十节 闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数性质第2页第一节第一节 映射与函数映射与函数一、一、集合集合二、二、映射映射三、三、函数函数返回返回第3页 一、集合一、集合 集合与元素之间关系集合与元素之间关系aM：若：若x是集合元素；是集合元素；1.1.集合概念集合概念(1)(1)集合：集合：含有某种特定性质事物总体，含有某种特定性质事物总体，集合元素通惯用集合元素通惯用A，B，S，T 等表示等表示.元素元素:组成这个集合事物组成这个集合事物 集合元素通惯用集合元素通惯用a，b，x，y等表示等表示.集合分为有限集和无限集集合分为有限集和无限集.a M:若若x不是集合元素不是集合元素.(2)集合表示法集合表示法列举法列举法:将集合元素一一列举出来将集合元素一一列举出来,描述法描述法:如如:第4页N=全体自然数全体自然数，Z=全体整数全体整数，Q=全体有理数全体有理数，R=全体实数全体实数.(3)惯用集合记号惯用集合记号 假如假如 ，必有，必有 ,则称则称A是是B子集，记为子集，记为 不含任何元素集合，不含任何元素集合，则称为则称为空集空集记为记为.是任何集合是任何集合 子集子集.(4)集合关系集合关系集合集合:集合集合A内排除内排除0集集.集合集合:集合集合B内排除内排除0与负数集与负数集.若若 ，且，且 ,则称则称A是是B真子集真子集,记为记为 .若若 ，且，且 ,则称则称A与与B相等相等,记为记为 .第5页2、集合运算、集合运算是二个集合，定义是二个集合，定义设设A、B(A与与B并集并集)(A与与B交集交集)(A与与B差集差集)设设I表示我们研究某个问题全体表示我们研究某个问题全体,则其它集合则其它集合A都是都是I子集子集,称称I为全集或基本集为全集或基本集.A余集或补集记为余集或补集记为:比如比如:在实数集在实数集R中中则有则有第6页设设A、B、C为任意三个集合，则有以下法则成立：为任意三个集合，则有以下法则成立：（1）交换律）交换律（2）结合律）结合律（3）分配律）分配律（4）对偶律）对偶律以上这些法则都能够依据集合相等定义验证以上这些法则都能够依据集合相等定义验证.第7页证实证实:两个集合并集余集等于它们余集交集两个集合并集余集等于它们余集交集.证实证实:且且且且反之反之,且且注注:在以后证实中在以后证实中,“”表示表示“推出推出”(或或“蕴含蕴含”),“”表示表示“等价等价”.且且于是于是第8页直积或笛卡儿乘积直积或笛卡儿乘积比如：比如：为为xOy面上全体点集合，记为面上全体点集合，记为第9页3 3、区间和邻域、区间和邻域设设a,bR,且且a b,开区间开区间闭区间闭区间半开区间半开区间和和称称a,b为区间端点，为区间端点，称称ba为这些区间长度为这些区间长度.以上这些区间都称为有限区间以上这些区间都称为有限区间.第10页无限区间无限区间用数轴能够表示区间用数轴能够表示区间,区间惯用区间惯用I表示表示.引进记号：引进记号：+（读作（读作正无穷大正无穷大）(读作读作负无穷大负无穷大）（读作（读作无穷大无穷大）第11页(2)(2)点点a去心邻域：去心邻域：注注 若不强调若不强调大小，点大小，点a去心邻域记为去心邻域记为U(a)邻域邻域点点a左左邻域邻域:开区间开区间(a-,-,a)点点a右右邻域邻域:开区间开区间(a,a+)+)(1)(1)设设是任一正数，称开区间是任一正数，称开区间(a-,-,a+)+)为点为点a邻邻域域，记为，记为U(a,),)，即，即点点a称为该邻域称为该邻域中心中心，称，称为该邻域为该邻域半径半径.a返回返回第12页二、映射二、映射1、映射概念、映射概念定义定义 设设X、Y是二个非空集合，假如存在一个法则是二个非空集合，假如存在一个法则 ,使得使得对对X中每个元素中每个元素x,按法则按法则 ,在在Y中有唯一确定元素中有唯一确定元素 y与之对与之对应应,则称则称 为从为从X到到Y映射映射,记为记为 其中其中y称为元素称为元素x(在映射在映射 下下)像像,记作记作 ,即即 ,元素元素x称为元素称为元素y(在映射在映射 下下)一个原像一个原像;集合集合X称为映射称为映射 定义域定义域,记作记作 ,即即X中全部元素像所组成集合称为映射中全部元素像所组成集合称为映射 值域值域,记作记作 或或 ,即即第13页注意注意:(1)一个映射必须具备以下三个要一个映射必须具备以下三个要素素:集合集合X,即定义域即定义域集合集合Y,即值域范围即值域范围:对应法则对应法则使对每个使对每个 有唯一确定有唯一确定 与之对应与之对应.(2)对每个对每个 ,元素元素x像像y是唯一是唯一;对每个对每个 ,元素元素y原像不一定是唯一原像不一定是唯一;映射映射 值域值域 是是Y一个子集一个子集,即即 ,不一定不一定 .第14页例例1 设设 ,对每个对每个 ,.显然显然,是一个映射是一个映射,定义域定义域 ,值域值域 它是它是R一个真子集一个真子集.对于对于 中元素中元素y,除除y=0外外,它原它原像不是唯一像不是唯一.如如y=4原像就有原像就有x=2和和x=-2两个两个.例例2 设设对每个对每个 ,有唯一确定有唯一确定 与之对应与之对应.显然显然,是一个映射是一个映射,定义域定义域 ,值域值域Oxy-11这个映射表示将平面上一个圆心在原这个映射表示将平面上一个圆心在原点单位圆周上点投影到点单位圆周上点投影到x轴区间轴区间-1,1上上.第15页例例3 设设对每个对每个 ,这这 是一个映射是一个映射,其定义域其定义域 ,值域值域 为为X到到Y上映射（或上映射（或满射满射）：）：为为X到到Y上上单射单射：是从集合是从集合X到集合到集合Y映射，映射，若若都是都是X中某元素像中某元素像.即即Y中任一元素中任一元素y若对若对X中任意两个不一样元素中任意两个不一样元素它们像它们像为一一映射（或为一一映射（或双射双射）：）：若映射若映射 既是单射，又是满射既是单射，又是满射.如如:例例1 既非单射既非单射,又非满射又非满射;例例2 不是单射不是单射,是满射是满射;例例3 既是单射既是单射,又是满射又是满射,所以是一一映射所以是一一映射.第16页映射又称为映射又称为算子算子.依据集合依据集合X、Y不一样情形不一样情形,在不一样数学分支中在不一样数学分支中,映射映射又有不一样惯用名称又有不一样惯用名称.如如:从非空集合从非空集合X到数集到数集Y映射又称为映射又称为X上上泛函泛函.从非空集合从非空集合X到它本身映射又称为到它本身映射又称为X上上变换变换.从实数集从实数集(或其子集或其子集)X到实数集到实数集Y映射称为定义在映射称为定义在X上上函数函数.第17页2.逆映射与复合映射逆映射与复合映射是是X到到Y上单射上单射,设设即即于是于是,能够定义一个从能够定义一个从到到X新映射新映射g,对每个对每个要求要求这这x满足满足这个映射这个映射g称为称为f 逆映射逆映射,记作记作其定义域其定义域值域值域注意注意:只有单射才存在逆映射只有单射才存在逆映射.例例1,2,3中中,只有例只有例3有逆映射有逆映射:第18页设有两个映射设有两个映射其中其中则能够确定一个从则能够确定一个从X 到到Z 映射映射,称为复合映射称为复合映射,记作记作即即注意注意:映射映射g 和和f 组成复合映射条件组成复合映射条件:二者也不一样时有意义二者也不一样时有意义.第19页例例4 设有映射设有映射对每个对每个映射映射对每个对每个返回返回第20页三、函数三、函数1.1.函数概念函数概念因变量因变量自变量自变量定义定义 设数集设数集 ，则称映射，则称映射 为定义为定义D上函数，上函数，通常简记为通常简记为 D称为定义域称为定义域,记作记作 ,即即 .对每个对每个 ,按对应法则按对应法则 f ,总有唯一确定值总有唯一确定值y与之对应与之对应,这个值称为函数这个值称为函数f 在在x处函数值处函数值,记作记作f(x),即即y=f(x).函数值函数值f(x)全体所组成集合称为函数全体所组成集合称为函数f 值域值域,记作记作或或 f(D),即即第21页函数是从实数集到实数集映射函数是从实数集到实数集映射,其值域总在其值域总在R内内.函数函数两要素两要素:定义域定义域 与对应法则与对应法则f.假如两个函数定义域相同假如两个函数定义域相同,对应法则也相同对应法则也相同,那么这两那么这两个函数就是相同个函数就是相同,不然就是不一样不然就是不一样.约定约定:定义域是自变量所能取使算式有定义域是自变量所能取使算式有(实际实际)意义一意义一切实数值切实数值.假如自变量在定义域内任取一个数值时，对应函数假如自变量在定义域内任取一个数值时，对应函数值总是只有一个，这种函数叫做值总是只有一个，这种函数叫做单值函数单值函数，不然叫，不然叫与与多值函数多值函数比如比如:第22页对于多值函数对于多值函数,往往只要附加一些条件往往只要附加一些条件,就能够将它化为就能够将它化为单值函数单值函数,这么得到单值函数称为多值函数单值分支这么得到单值函数称为多值函数单值分支.比如比如,在由方程在由方程给出对应法则中给出对应法则中,附加附加“”条件条件,就可得到一个单值分支就可得到一个单值分支表示函数主要方法有三种表示函数主要方法有三种:表格法、图形法、解析法（公表格法、图形法、解析法（公式法）式法）.定义定义:点集点集称为函数称为函数图形图形.第23页常见几个函数常见几个函数例例5 函数函数y=2它定义域它定义域值域值域它图形是一条平行它图形是一条平行于于x轴直线轴直线.Oxyy=2例例6 函数函数定义域定义域 D=(=(,+),+),值域值域 =0,+).=0,+).这个函数称为绝对值函数这个函数称为绝对值函数.Oxy第24页1-1xyo例例7 函数函数称为符号函数称为符号函数,定义域定义域 D=(=(,+),+),值域值域 =1,0,=1,0,1.1.第25页 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x表示不超出表示不超出 最大整数最大整数例例8 取整函数取整函数 y=x如如-3.4=-4,-3.4=-4,1=1=1,1,定义域定义域 D=(=(,+),+),值域值域 =Z Z.第26页例例9 函数函数是一个分段函数是一个分段函数.它定义域它定义域 D=0,+).=0,+).如如:yxO1第27页2.函数几个特征函数几个特征(1)函数函数有界性有界性:oyxM-My=f(x)X有界有界M-MyxoX无界无界则称函数则称函数若若有有 成立，成立，f(x)在在X上有界上有界.不然称为无界不然称为无界.(2)(2)有界是否是和有界是否是和X相关相关.(1)(1)当一个函数有界时，它界是不唯一当一个函数有界时，它界是不唯一.注意注意:使使(3)证实无界方法证实无界方法:对于任意正数对于任意正数 M,总存在总存在第28页(2)函数函数单调性单调性:xyo及及设函数设函数f(x)定义域为定义域为D,区间区间假如对于区间假如对于区间I上任意两点上任意两点当当 时时,恒有恒有则称函数则称函数f(x)在区间在区间I上是单调增加上是单调增加;第29页xyo及及设函数设函数f(x)定义域为定义域为D,区间区间则称函数则称函数f(x)在区间在区间I上是单调降低上是单调降低;假如对于区间假如对于区间I上任意两点上任意两点当当 时时,恒有恒有第30页(3)函数函数奇偶性奇偶性:偶函数偶函数yxox-x设函数设函数f(x)定义域为定义域为D关于原点对称关于原点对称,对于对于有有f(-x)=f(x)恒成立恒成立,则称则称f(x)为偶函数为偶函数;偶函数图形关于偶函数图形关于y轴对称轴对称.函数函数 y=cosx是偶函数是偶函数.第31页奇函数奇函数yxox-x设函数设函数f(x)定义域为定义域为D关于原点对称关于原点对称,对于对于有有f(-x)=-f(x)恒成立恒成立,则称则称f(x)为奇函数为奇函数.奇函数图形关于原点对称奇函数图形关于原点对称.函数函数 y=sinx是偶函数是偶函数.函数函数 y=sinx+cosx既非奇函数既非奇函数,又非偶函数又非偶函数.第32页(4)函数函数周期性周期性:函数函数sinx,cosx周期是周期是函数函数tanx周期是周期是（通常说周期函数周期是指其最小正（通常说周期函数周期是指其最小正周期周期）.则称则称f(x)为周期函数为周期函数,l 称为称为f(x)周期周期.一一有有且且恒成立恒成立,设函数设函数f(x)定义域为定义域为D,假如存在一个正数假如存在一个正数l,使得对于任使得对于任第33页有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo例例10 狄利克雷函数狄利克雷函数它是一个周期函数它是一个周期函数,任何有理数都是它周期任何有理数都是它周期,但它没有最小正周期但它没有最小正周期.第34页3.3.反函数与复合函数反函数与复合函数反函数反函数定义定义:设函数设函数是单射是单射,则它存在逆函则它存在逆函数数称此映射称此映射为函数为函数f 反函数反函数.如如:函数函数是单射是单射,其反函数为其反函数为若函数若函数f(x)在在D上是单调函数上是单调函数,则则也是也是f(D)上单调函数上单调函数.DD)(xfy=函数函数第35页 直接函数与反函数图形关于直线直接函数与反函数图形关于直线 对称对称.相对于反函数相对于反函数原来函数原来函数y=f(x)称为直接函数称为直接函数.第36页复合函数复合函数定义定义:设函数设函数 定义域为定义域为函数函数u=g(x)在在D上有上有定义定义,且且则由下式确定函数则由下式确定函数称为由函数称为由函数u=g(x)和函数和函数 组成复合函数组成复合函数,它定它定义域为义域为D,变量变量u称为中间变量称为中间变量.函数函数g与函数与函数f 组成复合函数通常记为组成复合函数通常记为函数函数g与函数与函数f 组成复合函数组成复合函数条件是条件是:函数函数g在在D上值域上值域g(D)必须含在必须含在f 定义域定义域内内,即即第37页注意注意:1.不是任何两个函数都能够复合成一个复合函不是任何两个函数都能够复合成一个复合函数数;2.复合函数能够由两个以上函数经过复合组成复合函数能够由两个以上函数经过复合组成.如如:如如:第38页4.函数运算函数运算设函数设函数f(x),g(x)定义域依次为定义域依次为则能够定义这两个函数以下运算：则能够定义这两个函数以下运算：和和(差差)积积商商第39页例例11 设函数设函数f(x)定义域为定义域为(-l,l),证实必存在证实必存在(-l,l)上偶函数上偶函数g(x)和奇函数和奇函数h(x),使得使得证证 先分析以下先分析以下:假若这么假若这么g(x)、h(x)存在存在,使得使得(1)且且于是有于是有(2)利用利用(1)、(2)式式,就可作出就可作出g(x),h(x).作作则则证毕证毕.第40页5.初等函数初等函数(1)幂函数幂函数(是常数是常数)第41页(2)指数函数指数函数第42页(3)对数函数对数函数第43页(4)三角函数三角函数正弦函数正弦函数第44页余弦函数余弦函数第45页正切函数正切函数第46页(5)反三角函数反三角函数反正弦函数反正弦函数第47页反余弦函数反余弦函数第48页反正切函数反正切函数幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数统三角函数和反三角函数统称为称为基本初等函数基本初等函数.第49页(2)初等函数初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所组成并可用数复合步骤所组成并可用一个式子表示一个式子表示函数函数,称为称为初等函初等函数数.奇函数奇函数.偶函数偶函数.双曲函数双曲函数双曲正弦双曲正弦双曲余弦双曲余弦第50页奇函数奇函数,有界函数有界函数,双曲正切双曲正切第51页双曲函数惯用公式双曲函数惯用公式第52页反双曲函数反双曲函数反双曲正弦反双曲正弦奇函数奇函数,在在 内单调增加内单调增加.第53页反双曲余弦反双曲余弦第54页奇函数奇函数,返回返回第55页