统计物理省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

系综理论参考书：v汪志诚，“热力学统计物理”（第三版），第九章，高教出版社。vR.K.Pathria，“StatisticalMechanics”（第二版），第一章第四章，世界图书出版企业。vF.Schwabl，“StatisticalMechanics”（第二版），第一章第三章，科学出版社。vLandau，“StatisticalPhysics”（Part1），第一章第三章，世界图书出版企业。第1页相空间相空间&刘维尔定理刘维尔定理 在第六、七、八章最概然分布方法只能处理近独立粒子系统，系综理论能够研究有相互作用粒子系统，是平衡态统计物理普遍理论。宏观系统是由大量微观粒子组成，微观粒子能够用经典方式描写，也能够用量子力学方法。我们先看系统微观状态系统微观状态经典描述经典描述。假设系统有N个粒子，每一个粒子自由度为r，那么宏观物质系统总自由度为：f=Nr。系统在任意时刻微观运动状态，用f个广义坐标（正则坐标）以及和它共轭f个广义动量（正则动量）在该时刻数值确定，以这2f个变量为直角坐标，组成一个2f维空间，称为相空间相空间。系统在某一时刻运动状态，对应于想空间中一点，这点称为系统微观运动状态代表点。第2页v经过相空间中任意点，只能有一条轨道。v系统从任意一初态出发，代表点在相空间中轨道或者是一条封闭曲线，或者是一条本身永不相交曲线。v系统从不一样初态出发，代表点沿着相空间中不一样轨道运时，不一样轨道互不相交。正则坐标和正则动量演化满足哈密顿正则方程，当系统代表点在相空间中移动时，它轨道由正则方程确定，利用微分方程理论，轨道有以下特点：第3页刘维尔定理构想有N 个结构完全相同系统，各自从其初态出发，独立沿着正则方程所要求轨道运动，这些系统代表点将在相空间形成一个分布。相空间一个体积元为：则t 时刻，运动状态在这个体积元内代表点数：第4页v刘维尔定理意义在于：假如我们沿着一个代表点在相空间中走正则轨道，则我们周围代表点密度是常数。v刘维尔方程是可逆，所以完全是力学规律结果。v量子力学中引入密度矩阵密度矩阵后，能够得到量子刘维尔方程量子刘维尔方程。第5页微正则分布微正则分布一、能否确定系统微观状态？不能！一、能否确定系统微观状态？不能！热力学和统计物理学都是研究由大量微观粒子组成宏观系统，统计物理学从微观出发。假设系统有N个粒子，每一个粒子自由度为r，那么宏观物质系统总自由度为：f=Nr。系统在任意时刻微观运动状态，用f个广义坐标（正则坐标）以及和它共轭f个广义动量（正则动量）在该时刻数值确定。只要给定了初始条件，正则坐标和正则动量数值由哈密顿正则方程确定。系统能量以及其它物理量是正则坐标和正则动量函数。所以，求解2f 个哈密顿正则方程是根本问题，不过，这是个不可能任务。因为普通情况下，fNA第6页 愈加主要是，我们研究系统，总能量E 并没有确定数值，经过其表面分子不可防止和外界发生作用，使得在能量E 附近有一个狭长范围，即对宏观系统，表面分子远小于总分子数，故系统和外界作用很弱，故有：第7页系统和外界微弱作用影响v系统从初态出发沿着正则方程所确定轨道运动，经过一定时间（可能很短）之后，外界作用使得系统跃迁到另外一个状态，从而沿着另外一条正则轨道运动，所以，系统微观状态发生极其复杂改变。v在给定宏观条件下，我们不能必定系统在某一时刻处于或者是不处于某一微观状态。v统计物理学基本想法是：退一步，试图找到系统处于某个微观状态概率。而宏观量是对应微观量在一切可能微观状态上平均值。第8页二、各态历经假说二、各态历经假说 作为研究宏观系统物理性质统计力学，其最初目标实际上是作为热力学一个扩展，这种扩展来自于下面两个原因：（1）热力学是一个宏观方法，这种方法和牛顿力学不一样。（2）宏观系统是有大量微观粒子组成。当初已经有原子思想，而且积累了各种各样间接数据（尤其是化学、电磁学等）。从微观角度研究宏观物体性质，实际上是热力学理论牛顿回归！第9页 不过，数学上巨大困难，使得我们没有方法求解正则方程，更因为系统和环境交换能量，使得这种求解没有任何意义。怎样建立微观量和宏观量关系呢？或者说，怎样从微观角度建立宏观观察量呢？很自然想法是，实际上宏观察量，我们测量都是物理量对时间平均，即：测量时间应该是远远大于系统微观粒子碰撞特征时间，也就是说使用测量仪器完成时系统已经完成了很屡次碰撞过程，经历了很多个可能微观状态。由此，玻耳兹曼在1871年提出了“各态历经假说”。第10页各态历经假说（各态历经假说（ergodic hypothesis）v一个孤立系统从任一初态出发，经过足够长时间后将经历一切可能微观状态。v1884年，玻耳兹曼首次用“各态历经”这个名称。v企图把统计规律还原为力学规律一个假设。v数学上能够证实，各态历经假说不成立，比如：对孤立系统，力学系统代表点轨道不可能经过能量曲面上每一个点。19，P.厄任费斯脱夫妇证实了严格各态历经不存在，于是又提出了准各态历经假说，把上述假说中“历经”修改为“能够无限靠近”。v各态历经假说或准各态历经假说基本思想是，认为系统处于平衡态宏观性质是微观量在足够长时间平均值，企图用力学理论证实统计物理学基本假设。v当研究对象从少许个体(如分子、原子)变为由大量个体组成群体时，后者所遵照统计规律与前者所遵照力学规律本质上是不一样，统计规律不是力学规律结果，不能由力学规律推导出来。所以，这类假说不能代替统计规律作为统计物理学基础。第11页三、系综概念引入以及统计物理学诞生三、系综概念引入以及统计物理学诞生 实际上，1871年，玻耳兹曼就首次引入相空间概念，而且把含有相同结构且相互独立质点系在相空间分布作为研究课题，这是系综思想最初萌芽。19，吉布斯在系综基础上建立了统计力学理论体系。当代统计物理学（又称统计力学），将物理量测量值直接用物理量系统平均值来代替，不需要各态历经这个假设。也就是说，统计物理学需要统计假设和力学假设。第12页 在经典理论中，可能微观状态在相空间组成一个连续分布，那么在t 时刻，系统微观状态处于相空间一个体积元中概率为：当微观状态处于d范围内时，微观量B数值为B（q,p），微观量B在一切可能微观状态上平均值为：就是与微观量B相对应宏观物理量。第13页 以上讨论直接能够换成系综语言。构想有N 个结构完全相同、独立系统（这N 个思维复本mentalcopies，就称为系综ensemble），各自从其初态出发，独立沿着正则方程所要求轨道运动，这N 个系统代表点将在相空间形成一个分布。相空间一个体积元为：t 时刻，系统处于这个体积元内概率为：则t 时刻，运动状态在这个体积元内代表点数：第14页当微观状态处于d范围内时，微观量B数值为B（q,p），微观量B在一切可能微观状态上平均值，称为系综平均值系综平均值：要依据上述式子求宏观量，必须知道分布函数 ，这么，确定分布函数成为最根本问题。就是与微观量B相对应宏观物理量。第15页四、孤立系统分布函数：等概率原理（微正则分布）四、孤立系统分布函数：等概率原理（微正则分布）对于孤立系统，总能量E为常数。不过，即使对于孤立系统，可能因为涨落，会使得E发生改变，或者因为真正孤立系统并不存在，总是和外界发生微小作用，使得E 发生改变，所以，考虑能量在一个小范围内愈加方便，显然，在这个能量范围内，微观状态数依然是大量，我们需要确定系统在这些微观状态上概率分布。刘维尔定理说明：在同一条正则轨道上，系统出现概率是一样，也不随时间改变。不一样轨道概率密度是否相同？刘维尔定理无法回答。第16页等概率原理：对全部轨道，概率密度都相等，且不随时间改变。换句话说，对于孤立系统，系统全部可能微观状态出现概率是相等。数学表示式为：第17页五、量子统计力学五、量子统计力学 量子力学中，在给定宏观条件下，系统可能微观状态是大量，用s=1,2,标识系统各个可能微观状态，用 表示t 时刻系统处于状态s 概率，满足归一化条件：以Bs 表示微观量B 在量子态s 上数值，则B在一切可能微观状态上平均值（即和B相对应宏观物理量）为：第18页六、全同粒子微观状态数六、全同粒子微观状态数 假如把经典统计了解为量子统计经典极限，对于含有N个自由度为r 全同粒子系统，在能量 范围内系统微观状态数为 假如有N 种不一样粒子，第i 种粒子自由度为ri,粒子数为Ni，则有：第19页七、最概然法和系综方法关系七、最概然法和系综方法关系 最概然法：认为宏观量是微观量在最概然分布下数值。系综法：认为宏观量是微观量在给定宏观条件下一切可能微观状态上系综平均值。假如相对涨落很小，即：概率分布必定含有非常陡极大值分布函数，所以最概然值和平均值是相等。普通宏观系统，相对涨落比较小，所以两种方法统计平均值是相同。第20页微正则分布热力学公式微正则分布热力学公式 对于孤立系统，因为不和外界交换物质，粒子数确定，外界不做功，所以体积确定（假设只有体积改变功），所以有：第21页一、微观状态数和热力学量关系一、微观状态数和热力学量关系A1A2第22页 依据等概率原理，平衡态下孤立系统一切可能微观状态出现概率都相等，所以，当A1能量取某一个值时，孤立系统总微观状态数取极大值，这意味着对应E1和E2是最概然能量分配。对于宏观系统，最概然微观状态数实际上能够看成是总微观状态数，所以其它能量分配出现概率远远小于最概然能量分配出现概率，由此能够认为最概然微观状态数对应E1和E2就是A1和A2到达热平衡时内能。第23页热力学中，两个系统到达热平衡条件为：第24页第25页第26页二、理想气体和玻耳兹曼常数二、理想气体和玻耳兹曼常数 对于经典理想气体，一个分子出现在空间中某一个位置概率和其它分子位置无关；一个分子出现在容器内，可能微观状态数和容器体积成正比，所以N 个分子出现在容器V 中可能微观状态数为:第27页三、微正则分布求热力学函数程序三、微正则分布求热力学函数程序 实际上，这种计算方法相当复杂。有一个例子：单原子经典理想气体。这个计算更详细分析参考Pathria书。第28页正则分布以及热力学公式正则分布以及热力学公式 微正则分布考虑是孤立系统分布函数。现在考虑正则分布，即含有确定粒子数N，体积V和温度T系统分布函数，（N,V,T）确定系统相当于一个和大热源接触而到达平衡系统。系统和大热源组成一个复合孤立系统。假设系统和热源作用很弱，热源很大。第29页系统处于能量为Es状态s 上概率：上式中，T 为热源温度，因为热源很大，交换能量不会改变热源温度。T 当然也是系统温度。利用等概率原理，上式中右边第一项是常数，所以有：第30页这就是含有确定N,V,T 系统处于能量为Es微观状态s 上概率，式中，Z 称为配分函数。第31页正则分布热力学公式正则分布热力学公式v内能是在给定N,V,T条件下，系统能量在一切可能微观状态上平均值；v广义力是在给定N,V,T条件下，统计平均值；第32页第33页能量涨落能量涨落 在给定N,V,T条件下，系统内能为能量在一切可能微观状态上平均值：我们将能量偏差平方平均值定义为能量涨落：第34页实际气体物态方程实际气体物态方程&经典集团展开介绍经典集团展开介绍 气体在低密度下能够忽略分子间相互作用，高密度下应该考虑分子间相互作用。系综理论能够处理相互作用粒子体系，为了简单，我们现在只考虑单原子分子经典气体。第一项代表分子之间动能，第二项代表分子之间相互作用势能，此处已经假设：相互作用能量能够表示为各分子正确相互作用能量之和，而且，分子之间相互作用只和分子之间距离相关系。第35页定义函数（梅逸函数）：第36页 实际上，分子之间相互作用力为短程力，力程约为分子直径三四倍，所以梅逸函数仅仅在极小空间范围内不为零。第37页第38页对于低密度气体有:第39页也就是说，稀薄实际气体物态方程为 称为第二维称为第二维里系数里系数 第40页分子力半经验公式及其图象f (10-10 N)r(10-10 m)r0rao0.5-0.5引力引力斥力斥力rm第41页 列纳德列纳德琼斯琼斯用以下半经验公式（1924年）表示两分子间相互作用势：0和r0是两个参量，当两分子之间距离为r0时，相互作用势能取极小值-0。第42页刚球模型第43页，所以有：在普通情况下，上面得到a、b和温度无关，实际气体和温度相关。第44页 上面方法适合用于稀薄实际气体，上面只是推出了物态方程。普通地，将系统各种物理量写成级数展开形式，级数主要项表示对应理想系统结果，而后面各项则表示由粒子间相互作用引发修正。这种方法称为集团展开法。梅逸等人在20世纪30年代完成了对经典系统进行级数展开系统方法，以后由Kahn，Uhlenbeck，李政道和杨振宁等将这方法推广到量子系统。经典集团展开能够深入详细参看：张先蔚，“量子统计力学”（第二版）第三章第一节。第45页固体热容量固体热容量&声子和元激发声子和元激发&朗道费米液体理论初步朗道费米液体理论初步 固体中相邻原子距离很小（1埃），原子间存在很强相互作用，在这相互作用下，各原子有一定平衡位置，原子在其平衡位置附近做微振动。设固体有N个原子，每个原子有3个自由度，则整个固体自由度为3N。以 表示第i个自由度偏离其平衡位置位移，对应动量为 ，则系统能量能够表示为：上式中，称为简正坐标，它是将全体原子坐标加以线性组合而得到一个集体坐标，与全体原子坐标都相关系，由上式还能够看出，这3N个简正坐标运动是相互独立简谐振动，简称为简正振动，其特征频率为:第46页 这么，强耦合N个原子微振动变换为3N个近独立简谐振动，在势能展开式中，假如保留三次项，简正振动之间将有相互作用。上式中，是描述第i个简正坐标量子数，由此可得系统配分函数为：第47页 要详细依据上式求出内能，需要知道简谐振动频率分布，这就是简正振动简正振动频谱频谱，最简单假设是假设3N个简谐振动频率都相同，这就是爱因斯坦模型。德拜主要观点以下：（1）将固体看作连续弹性媒质，3N个简正振动是弹性媒质基本波动，固体上任意弹性波都能够分解为3N个简正振动叠加。（2）固体上传输弹性波有纵波（膨胀压缩波）和横波（扭转波）两种，横波有两种振动方式（因为在垂直于传输方向有两个相互垂直方向）。（3）能够用波矢和偏振标志3N个简正振动。用cl 和ct 分别表示纵波和横波传输速度，二者圆频率和波矢大小分别满足以下关系：第48页 因为固体只有3N个简正振动，所以必定存在一个最大圆频率D（德拜频率,19）:第49页第50页 对于非金属固体，上式和试验符合；金属在3K以上也符合上述规律，不过在3K以下，不能忽略自由电子对热容量贡献，上式只是固体热容量原子部分。德拜理论缺点德拜理论缺点：忽略了固体中原子离散结构，在高频范围内和试验不符合。第51页声子和元激发 以上是从波动观点角度讨论原子热振动，也能够从粒子观点角度讨论。波矢为k,含有某一偏振简正振动能量为：能量以 为单元，能够把简正振动能量量子看作一个准粒子，称为声子声子，声子准动量和能量为：第52页 含有某一波矢和偏振简正振动处于量子数为n激发态，相当于产生了含有某一准动量和偏振n个声子。不一样简正振动，含有不一样波矢和偏振，对应于状态不一样声子。因为简正振动量子数可取零或者任意正整数，处于某一状态（一定准动量和偏振）声子数是任意，所以声子恪守玻色声子恪守玻色分布分布。温度为T 时处于能量为 一个状态上平均声子数 从微观角度看，平衡态下各简正振动能量不停改变，相当于各状态声子不停被产生和毁灭，所以声子数不是恒定，声子声子气体化学势为零气体化学势为零。第53页 以上对固体中原子热运动讨论在物理上很有启发性：（1）组成固体真实粒子是原子，因为原子间存在很强相互作用，直接讨论原子热运动是很困难。（2）将原子3N个振动自由度变换为3N个近独立简谐振动，问题便于处理。（3）假如深入把简正振动激发量子看成一个“元激发”或者“准粒子”声子，便把相互作用原子系统简化为“准粒子”理想气体，能够用最概然分布方法处理。这个观念在研究有相互作用粒子系统时有广泛应用。第54页 用元激发方法计算热力学量需要知道系统能谱。在低温下，系统处于高激发态概率很小，能够只考虑低激发态。在许多情况下，能够把系统低激发态能量表示为元激发能量之和：上式说明，处于低激发态系统能够等效看作是某种元激元激发理想气体发理想气体，假如知道元激发能量动量关系，而且能够确定元激发遵从是玻色或者费米统计，就能够用最概然分布讨论系统在低温下热力学性质。第55页朗道费米液体理论初步 第八章第五节说明：（1）在0K时理想费米气体处于基态，粒子占满了动量空间中半径为费米动量大小费米球，动量大于费米动量状态完全没有被占据。（2）费米气体处于低激发态时，有少许粒子跃迁到动量大于费米动量状态，而在费米球中留下空穴。（3）费米动量大小由气体数密度决定：第56页 液体和气体没有严格界限，基于此，朗道认为：（1）假如在理想费米气体中逐步加入粒子之间相互作用，理想费米气体将过渡到费米液体，气体粒子过渡到液体准粒子。液体中准粒子数和原来气体或者液体中实际粒子数相同。（2）对于均匀系统，准粒子状态仍可有动量为p和自旋S 描述。（3）0K时费米液体处于基态，准粒子占满了动量空间中半径为费米动量费米球，这里费米动量仍由 确定，不过n 是液体粒子数密度。（4）费米液体处于低激发态时，有少许准粒子跃迁到动量大于费米动量状态，而在费米球中留下空穴。第57页 因为费米液体准粒子之间存在相互作用，单个粒子能量 和其它准粒子所处状态相关，也就是说和准粒子分布相关，所以和理想费米气体不一样，费米液体能量不能表示为单个准粒子能量之和，而是分布函数 泛函，准粒子能量 由定义以下：第58页 处于平衡状态理想费米气体熵为：上式两项能够分别了解为因为粒子含有分布 和空穴含有分布 所造成熵。上式不但适合用于平衡态，也适合用于非平衡态。假如 是某非平衡态下粒子分布，对应熵就由上式表示。在总粒子数、总能量和给定体积情形下，平衡态分布使得熵取极大值。能够证实，平衡态下分布有以下形式：第59页 温度为OK时，分布函数、准粒子能量、化学势分别为：，所以分布函数是一个阶跃函数。这和理想费米气体完全一致。第60页 对于理想费米气体，有一样能够引入准粒子有效质量概念，定义：第61页 对于理想费米气体，仅仅在费米面附近电子对低温热容量有贡献，为所以，依据费米液体和理想费米气体相同性，能够直接写出低温下费米液体热容量低温下费米液体热容量为：第62页 例子（习题8.25）：He-3是费米子，在液He-3中原子有很强相互作用，按照朗道理论，能够将液He-3看作是和原子数目相同He-3准粒子组成费米液体。已知He-3密度为81kg每立方米，在0.1K以下定容热容量为由此，能够估算He-3准粒子有效质量为：第63页液液4He性质性质&朗道超流理论朗道超流理论 氦有两种同位素，3He和4He，3He是费米子，4He自旋为零，是玻色子，它们在通常压强下直到靠近于绝对零度依然能够保持为液态（量子效应主导），以下是4He相图。第64页4He相图性质v有两个完全不一样相：He-I和He-II，He-I有通常液体特征。v当He-I沿着它气液两相平衡曲线降温到2.17K时，He-IHe-II，这是连续相变，无潜热和体积突变。v从两侧趋于相变点，比热容以对数形式发散，比热容伴随温度改变曲线形状酷似希腊字母，所以也称为相变。第65页He-II奇特效应v超流动性超流动性：毛细管；粘滞系数为零；（1937年，卡皮查（Kapitza）首次发觉，1978年，Nobel Prize）。v存在临界速度；阻尼；1938年蒂萨二流体模型，超流体和正常流体密度比值取决于温度；1946年安东尼卡什维里试验。v热力效应；力热效应（零粘滞性，零熵）；喷泉效应（FountainEffect）是热力效应。v热导率高，不沸腾，蒸发仅仅在表面发生。v表面膜效应（来自超流动性和高导热率）。第66页第一声和第二声v朗道依据二流体模型预言，在4He-II中能够传输两种不一样波动。v假如正常成份和超流成份振动同相，总密度疏密振动对应声波（第一声）声波（第一声）。v假如二者振动有180度相位差，则两种成份在保持总密度不变情况下各自有疏密振动，因为超流成份比熵为零，所以正常成份振动给出比熵或者温度振动，比熵或者温度振动，这种熵波或者温度波称为第二声这种熵波或者温度波称为第二声。第67页朗道超流理论 朗道把温度不十分靠近临界温度He-II看成是处于弱激处于弱激发状态量子玻色系统发状态量子玻色系统，在基态背景下（超流成份）产生了在基态背景下（超流成份）产生了元激发组成理想气体（正常成份）元激发组成理想气体（正常成份）。以p 和 表示元激发动量和能量，表示元激发数，系统低激发态能量和动量能够表示为：第68页 温度远低于临界温度时，热容量正比于温度三次方，这是声子气体特征；而当温度较高时，热容量含有行为exp(-/kT)项（为常数）,考虑到这一点，朗道对元激发能谱作了以下列图猜测。这得到了试验证实。第69页第70页第71页 热平衡下，元激发存在于能量取极小值附近。在能量取零点位置，对应元激发就是He-II中声声子子，能量和动量关系是线性，比值就是声速。在p0附近，能量能够展开成幂级数，对应元激发称为旋子，旋子，称为能隙称为能隙：声子和旋子都遵从玻色分布，因为元激发数不确定，它们化学势为零。依据元激发谱能够计算元激发谱能够计算He-IIHe-II在低温下热力学性在低温下热力学性质质。第72页朗道超流判据v超流体流速在临界速度以上时，超流动性被破坏，朗道超流判据是计算这个临界速度。v对于声子和旋子激发，能够分别计算出临界速度。v朗道理论比试验结果偏大，R.Feynman认为，临界速度是由另外一个激发:量子化涡旋来决定，相关理论计算和试验结果大致相符。第73页3He超流v1971年，奥舍罗夫在2.6mK以下低温发觉了3He超流现象。v零磁场下有两个超流相：A相和B相，A相是两个He原子以自旋相同方式结合成束缚对而形成玻色子，所以是各项异性；B相是He原子自旋反向配正确方式结合成玻色子，所以是各项同性。v正常相和超流相转变是连续相变。vAB相之间转换是一级相变。第74页稀释致冷原理v能够维持2mK低温。第75页Ising模型模型平均场理论平均场理论 本节讨论相变问题。统计物理学经过对配分函数求导数能够求得系统热力学函数，从而确定系统全部平衡性质，不过在相变点一些热力学量会发生突变或者出现无穷尖峰，那么从单一配分函数表示式能否同时描述各相和相转变呢？这是从20世纪30年代中叶开始发生争论问题。回答这个问题一个方法是，建立包含系统最本质特征简化模型，严格导出在其相变点宏观特征。这个领域经过半个多世纪研究，已经形成统计物理学一个专门研究方向：相变和临界现象（参考于禄、郝柏林著“相变和临界现象”）。本节考虑最简单模型-Ising模型模型，这个模型能够近似描述单轴各向异性铁磁体铁磁-顺磁相变，稍微改变还能够描述气体-液体相变，合金有序无序相变等。第76页Ising模型介绍模型介绍 考虑N 个磁性原子定域在晶体格点上，假设原子总角动量量子数为1/2,原子磁矩大小为 。1929年，Heisenberg提出，铁磁性起源于电子交换作用（铁磁体：ferromagnetism），交换作用是一个量子力学效应，是库仑排斥作用和泡利不相容原理共同结果，这么，两个近邻原子相互作用能量和电子自旋状态相关，这就是HeisengergHeisengerg模型模型。对于单轴各向异性铁磁体，原子自旋平行（=1）或者反平行（=-1）于一个晶轴，我们用z 轴表示这个晶轴方向，这么，铁磁体原子相互作用能量为：第77页 假如J 0,则当全部自旋含有相同取向时系统含有最低能量，对应于绝对零度下状态；在足够低温度下，也会有较多自旋含有相同取向，这就是无外磁场时铁磁体含有自发磁化原因。最主要是，即使交换作用是短程力短程力，只存在近邻自旋之间，不过系统中能够出现长程有序长程有序。第78页系统配分函数是：Ising模型即使简单，不过严格求解极为困难。1925年，Ising本人求得了一维严格解，一维没有相变。1946年昂萨格求得了二维情形严格解，他工作是统计物理学最主要成就之一，因为第一次清楚证实，从没有奇异哈密顿量出发，在热力学极限下热力学函数在临界点附近有奇异性。三维Ising模型当前有许多近似解，不过严格解至今依然没有得到。第79页Ising model（From Wikipedia）vTheIsing modelisamathematicalmodelofferromagnetisminstatisticalmechanics.ItwasinventedbythephysicistWilhelmLenzwhogaveitasaproblemtohisstudentErnstIsingafterwhomitisnamed.Themodelconsistsofdiscretevariablescalledspinsthatcanbeinoneoftwostates.Thespinsarearrangedinalatticeorgraph,andeachspininteractsonlywithitsnearestneighbors.vThe1-dimensionalIsingmodelhasnophasechangeandwasin1925alreadysolvedbyErnstIsinghimself.The2-dimensionalsquarelatticeIsingmodelismuchharderand,inthecaseofzeromagneticfield,wasgivenacompleteanalyticdescriptionmuchlater,byOnsager(1944).Infact,thetwo-dimensionalmodelhasaphasechange,andisoneofthesimpleststatisticalmodelswiththisproperty.Thetwo-dimensionalmodelisusuallysolvedbyatransfer-matrixmethod,althoughthereexistdifferentapproaches,morerelatedtoquantumfieldtheory.vInthreedimensions,theIsingmodelwasshowntohavearepresentationintermsofnon-interactingFermioniclatticestringsbyAlexanderPolyakov.Indimensionsnearfour,thecriticalbehaviorofthemodelisunderstoodtocorrespondtotherenormalizationbehaviorofthescalarphi-4theory(seeKennethWilson).Indimensionsfiveandhigher,thephase-transitionoftheIsingmodelisdescribedbymeanfieldtheory.vIstrail()showedthatcomputingthefreeenergyofanarbitrarysubgraphofanIsingmodelonalatticeofdimensionthreeormoreiscomputationallyintractable.Thismeansthatindimensionshigherthan2,anymethodofapproximationwillnotallowcomputationofthethermodynamicpropertiesofarbitrarysubgraphs.第80页平均场理论平均场理论上式第一项代表外磁场，第二项代表近邻自旋对自旋i 作用，这么，作用于自旋 i 等效磁场为：第81页平均场近似下，系统配分函数是：系统磁矩为：在没有外场时，有：第82页一维晶格严格解是：二维平方晶格，平均场近似和严格解为：三维立方晶格，平均场近似和数值解分别为：第83页 涨落倾向于破坏有序，不考虑涨落平均场理论得到临界温度高于真正临界温度，而且空间维数越低，涨落影响越显著，忽略涨落所引发相对误差越大。由平均场理论能够计算临界指数，得到结果和朗道理论相同，说明朗道理论和平均场理论等效。第84页巨正则分布以及热力学公式巨正则分布以及热力学公式 微正则分布考虑是孤立系统分布函数。正则分布考虑是含有确定粒子数N，体积V和温度T系统分布函数，（N,V,T）确定系统相当于一个和大热源接触而到达平衡系统。在有些情况下，系统粒子数不含有确定值，比如与热源和粒子源接触而到达平衡系统，系统和源不但能够交换能量还能够交换粒子，所以系统粒子数和能量不含有确定数值。因为源很大，交换能量和粒子不会改变源温度和化学势，到达平衡后系统将和源含有相同温度和化学势，现在考虑含有确定体积V、温度T 和化学势系统分布函数，称为巨正则分布。第85页所以，系统处于粒子数为N、能量为Es状态s 上概率：第86页第87页上式中，T 和为源温度和化学势，因为系统和源到达平衡，所以也是系统温度和化学势，而且，上式中第一项仅仅和源相关，对于系统而言是一个常数，所以，含有确定体积V、温度T 和化学势系统，处于粒子数为N、能量为Es微观状态s 上概率为（量子表示式）：第88页巨正则分布热力学公式巨正则分布热力学公式 巨正则分布讨论是含有确定,V,T(,y)值系统，相当于与一个热源和粒子源接触而到达平衡系统，因为系统和源能够交换粒子和能量，在系统各个可能微观状态中，其粒子数和能量值不是确定，不过能够考虑它们平均值。第89页第90页粒子数涨落粒子数涨落 粒子数涨落：第91页巨正则分布应用巨正则分布应用近独立粒子平均分布 在用概率法导出玻色分布和费米分布时，普通要求每一个能级粒子数和简并度远大于1，实际上普通并不满足这个条件，这是推导过程一个严重缺点。现在用巨正则分布导出近独立粒子平均分布，这个方法防止了这个缺点。第92页第93页玻色分布和费米分布涨落 为简单，只讨论各能级均为非简并情形，将处于某个能级上粒子看作是一个开系，利用粒子数涨落公式得：上式中第二个等号代入了玻色费米分布公式，其中正号代表玻色系统，负号代表费米系统。易看出，对费米系统，分布涨落很小，这是泡利不相容原理表达；对玻色系统，分布涨落较大。第94页 两个不一样能级上，分布涨落关联怎样？上式说明，不一样能级上，玻色分布和费米分布涨落是互不相关。第95页