解析函数的级数表示省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

复变函数复变函数 与积分变换与积分变换主讲：王兴波教授主讲：王兴波教授佛山科学技术学院佛山科学技术学院 大学数学多媒体课件大学数学多媒体课件/10/101第1页参考用书参考用书复变函数与积分变换复变函数与积分变换,华中科技大学数学系华中科技大学数学系,高等教育出版社高等教育出版社,.6,.6 复变函数与积分变换学习辅导与习题全解复变函数与积分变换学习辅导与习题全解,华中科大华中科大,高等教育出版社高等教育出版社 复变函数复变函数,西安交通大学高等数学教研室西安交通大学高等数学教研室,高等教育出版社高等教育出版社,1996.5,1996.5 /10/102第2页 目目 录录第二章第二章 解析函数解析函数第三章第三章 复变函数积分复变函数积分第四章第四章 解析函数级数表示解析函数级数表示第五章第五章 留数及其应用留数及其应用第六章第六章 傅立叶变换傅立叶变换第七章第七章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数/10/103第3页 第四章 解析函数级数表示解析函数级数表示 本章主要内容是：复数项级数和复变函数项级数一些基本概念和性质；重点介绍复变函数项级数中幂级数和由正、负整次幂项所组成洛朗级数.关于复数项级数和复变函数项级数一些概念和定理都是实数范围内对应内容在复数范围内直接推广，所以，在学习中结合高等数学中无穷级数部分复习，并在对此中进行学习/10/104第4页 第四章 解析函数级数表示解析函数级数表示 4.1 复数项级数4.2 复变函数项级数4.3 泰勒级数4.4 洛朗级数本章小结v 思索题/10/105第5页第一节 复数项级数一、复数列极限一、复数列极限 定义：定理1：/10/106第6页证实：必要性 充分性/10/107第7页例1解：/10/108第8页/10/109第9页定义：例1解：二、复数项级数概念二、复数项级数概念 /10/1010第10页定理2：证实：定理3：/10/1011第11页定理3：证实：/10/1012第12页说明：例2以下级数是否收敛？是否绝对收敛？解：/10/1013第13页第二节第二节 复变函数项级数复变函数项级数一、复变函数项级数一、复变函数项级数 定义：称表示式：称为级数部分和/10/1014第14页二、幂级数二、幂级数 1幂级数概念 定义：形如 /10/1015第15页定理1：（阿贝尔定理）阿贝尔定理告诉我们:/10/1016第16页证实：充分性用反证能够证实（略）必要性/10/1017第17页2收敛圆与收敛半径 定义：注意：/10/1018第18页例1解：幂级数部分和 故级数发散./10/1019第19页3收敛半径求法 定理2：（比值法）证实：/10/1020第20页定理3：（根值法）例1求以下幂级数收敛半径 解：/10/1021第21页所以不能直接用公式 用比较审敛法:/10/1022第22页4幂级数运算和性质（1）幂级数代数运算/10/1023第23页/10/1024第24页（2）复合运算 这个运算含有广泛应用，惯用来将函数展为幂级数 例2解：/10/1025第25页（3）幂级数和函数性质 定理4：逐项求导、逐项积分/10/1026第26页例3试求给定幂级数在收敛圆内和函数 解：/10/1027第27页第三节第三节 泰勒级数泰勒级数 前面已讨论了已知幂级数，怎样求收敛圆、和函数，而且知道和函数在它收敛圆内是一个解析函数，下面研究与此相反问题：即任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？/10/1028第28页 /10/1029第29页/10/1030第30页定理5：/10/1031第31页说明：由此可看法析函数展开成幂级数结果就是泰勒级数，即展开式是唯一/10/1032第32页一、利用直接法将函数展开成幂级数一、利用直接法将函数展开成幂级数 例1解：/10/1033第33页二、利用间接展开法将函数展开成幂级数二、利用间接展开法将函数展开成幂级数 借助于已知函数展开式，利用幂级数运算性质和分析性质，以唯一性为理论依据得到函数泰勒展开式/10/1034第34页例2解：例3解：/10/1035第35页例4解：例4/10/1036第36页三、将函数展成幂级数三、将函数展成幂级数 例5解：/10/1037第37页例6解：/10/1038第38页例7解：/10/1039第39页第四节第四节 洛朗级数洛朗级数 /10/1040第40页/10/1041第41页/10/1042第42页/10/1043第43页一、直接展开法一、直接展开法 定理6（洛朗定理）证实：证实：/10/1044第44页/10/1045第45页/10/1046第46页/10/1047第47页/10/1048第48页例1解：-直接展开法/10/1049第49页证实：/10/1050第50页二、间接展开法二、间接展开法 依据由正、负整次幂项组成级数唯一性，可经过代数运算、变量代换、函数求导、积分等方法将函数展开，这种方法称为间接展开法 例2解：/10/1051第51页例3解：/10/1052第52页/10/1053第53页例4解：例5解：/10/1054第54页/10/1055第55页