高三文科数学考点测试题4.doc

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第3章第5课时

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题
1．在△ABC中，已知sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是(　　)
A．直角三角形　　　　　　　　 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：　sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB＝sin[(A－B)＋B]＝sinA≥1，又sinA≤1，
∴sinA＝1，A＝90°，故△ABC为直角三角形．
答案：　A
2．sin＝，则sin2x的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：　∵sin＝，
∴cosx－sinx＝(cosx－sinx)＝.
∴cosx－sinx＝.
∴(cosx－sinx)2＝1－sin2x＝，
∴sin2x＝.
答案：　A
3．已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为(　　)
A. B.
C. D．1
解析：　tan(α＋β)＝tan
＝＝＝1，故选D.
答案：　D
4．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝，则cos的值为(　　)
A. B.
C．± D．±
解析：　∵θ为第二象限角，∴为第一、三象限角．
∴cos的值有两个．
由sin(π－θ)＝，可知sinθ＝，
∴cosθ＝－.∴2cos2＝.
∴cos＝±.
答案：　C
5．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈，则cos(α－β)的值等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：　∵α∈，∴2α∈(0，π)．
∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，
∴sin2α＝＝，
而α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，
∴sin(α＋β)＝＝，
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)
＝×＋×＝.
答案：　D
6．若tanα＝lg(10a)，tanβ＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为(　　)
A．1 B.
C．1或 D．1或10
解析：　tan(α＋β)＝1⇒
＝＝1⇒lg2a＋lga＝0，
所以lga＝0或lga＝－1，即a＝1或.
答案：　C
二、填空题
7．若＝－，则cosα＋sinα的值为________．
解析：　＝
＝－(sinα＋cosα)＝－，
∴sinα＋cosα＝.
答案：　
8．tan15°＋tan30°＋tan15°·tan30°的值是________．
解析：　原式＝tan(15°＋30°)·(1－tan15°·tan30°)＋tan15°·tan30°＝tan45°(1－tan15°·tan30°)＋tan15°·tan30°＝1.
答案：　1
9．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α＝________.
解析：　依题意有cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ.
即cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)．
∵α、β均为锐角，
∴sinβ＋cosβ≠0，必有cosα＝sinα.
∴α＝.
答案：　
三、解答题
10．已知α为第二象限的角，sinα＝，β为第三象限的角，tanβ＝.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求cos(2α－β)的值．
解析：　(1)因为α为第二象限的角，sinα＝，
所以cosα＝－＝－，tanα＝＝－.
又tanβ＝，所以tan(α＋β)＝＝.
(2)因为β为第三象限的角，tanβ＝，
所以sinβ＝－，cosβ＝－.
又sin2α＝2sinαcosα＝－，cos2α＝1－2sin2α＝，
所以cos(2α－β)＝cos2αcosβ＋sin2αsinβ＝.
11．在平面直角坐标系xOy中，点P在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且·＝－.
(1)求cos2θ的值；
(2)求sin(α＋β)的值．【解析方法代码108001039】
解析：　(1)因为·＝－，所以sin2θ－cos2θ＝－，
即(1－cos2θ)－cos2θ＝－，所以cos2θ＝，
所以cos2θ＝2cos2θ－1＝.
(2)因为cos2θ＝，所以sin2θ＝，
所以点P，点Q，
又点P在角α的终边上，所以sinα＝，cosα＝.
同理sinβ＝－，cosβ＝，
所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝－.
12．(2011·天津调研)已知sinα＋cosα＝，α∈，
sin＝，β∈.
(1)求sin2α和tan2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．【解析方法代码108001040】
解析：　(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝，
即1＋sin2α＝，∴sin2α＝.
又2α∈，∴cos2α＝＝，
∴tan2α＝＝.
(2)∵β∈，β－∈，
∴cos＝，
于是sin2＝2sincos＝.
又sin2＝－cos2β，∴cos2β＝－.
又2β∈，∴sin2β＝.
又cos2α＝＝，
∴cosα＝，sinα＝.
∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β
＝×－×＝－.
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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