2017-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题16.doc

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章末综合测评(三)　圆锥曲线与方程
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y＝ax2的准线方程是y－2＝0，则a的值是
(　　)
A. B．－　
C．8 D．－8
【解析】　抛物线y＝ax2的标准方程为x2＝y，
所以－＝2，即a＝－.
【答案】　B
2.如图1，已知圆O的方程为x2＋y2＝100，点A(－6,0)，M为圆O上任意一点，AM的垂直平分线交OM于点P，则点P的轨迹是(　　)

图1
A．圆 B．抛物线
C．椭圆 D．两条直线
【解析】　∵P为AM垂直平分线上的点．
∴|PM|＝|PA|.
又∵|OP|＋|PM|＝10，
∴|PA|＋|PO|＝10.
故P点的轨迹是以A，O为焦点，长轴长为10的椭圆．
【答案】　C
3．设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA＝.若AB＝4，BC＝，则椭圆的焦距为(　　)
A. B．
C. D．
【解析】　如图，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意可知，2a＝4，a＝2.因为∠CBA＝，BC＝，所以C(－1，1)．因为点C在椭圆上，所以＋＝1，所以b2＝.由公式a2＝b2＋c2得c＝，所以焦距为.

【答案】　C
4．双曲线x2－4y2＝4的焦点坐标为(　　)
A．(±，0) B．(0，±)
C．(0，±) D．(±，0)
【解析】　依题意a＝2，b＝1，∴c＝，又－y2＝1焦点在x轴上，
∴焦点坐标为(±，0)．
【答案】　D
5．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)
A. B．2
C. D．
【解析】　结合图形，用a表示出点M的坐标，代入双曲线方程得出a，b的关系，进而求出离心率．

不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴M点的坐标为.
∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，
∴c＝a，e＝＝.故选D.
【答案】　D
6．已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
【解析】　双曲线的渐近线方程为y＝±x，由于＝＝＝2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.抛物线的焦点坐标为，所以＝2，所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y.
【答案】　D
7．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
【解析】　右焦点为F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x轴上且c＝3.又离心率为＝，故a＝2，b2＝c2－a2＝32－22＝5，故C的方程为－＝1，选B.
【答案】　B
8．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(　　)
A．9 B．4
C．3 D．2
【解析】　由题意得：m2＝25－42＝9，因为m>0，所以m＝3，故选C.
【答案】　C
9．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－，0)∪(0，)
D．－∞，－)∪(，＋∞)
【解析】　根据双曲线的性质和两直线的位置关系求解．
由题作出图像如图所示．

由－＝1可知A(a,0)，F(c，0)．
易得B，C.
∵kAB＝＝，
∴kCD＝.
∵kAC＝＝，
∴kBD＝－.
∴lBD：y－＝－(x－c)，即y＝－x＋＋，lCD：y＋＝(x－c)，即y＝x－－.∴xD＝c＋.∴点D到BC的距离为.
∴b2，∴0<<1.∴0<<1或－1<<0.
【答案】　A
10．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2c，若直线y＝2x与椭圆一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率等于　　)
A. B．
C.－1 D．－1
【解析】　当x＝c时，由＋＝1，
得y＝±.
又交点在y＝2x上，所以交点坐标为.
所以2c＝＝＝a－.
所以2＝1－，即e2＋2e－1＝0，
解得e＝－1＋.
【答案】　D
11．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝(　　)
【导学号：32550099】
A．3　 B．6
C．9　 D．12
【解析】　根据已知条件求出椭圆的方程，|AB|＝2|yA|，只需求出|yA|即可．
抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴椭圆中c＝2，

又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，
从而椭圆方程为＋＝1.
∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，
∴xA＝xB＝－2，
将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，
由图像可知|AB|＝2|yA|＝6.故选B.
【答案】　B
12．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是(　　)
A．y2＝x B．y2＝x
C．x2＝－y D．x2＝－y
【解析】　如果设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则抛物线过点(40,30)，则有302＝2p×40,2p＝，所以所求的抛物线方程应为y2＝x，所给选项中没有y2＝x，同理若设x2＝－2py，则抛物线过点(30，－40)，求得抛物线方程为x2＝－y.故选C.
【答案】　C
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P满足的方程为________．
【解析】　＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，
∴·＝(－2－x，－y)·(3－x，－y)＝x2.
即(－2－x)(3－x)＋(－y)(－y)＝x2，即y2＝x＋6.
【答案】　y2＝x＋6
14．过抛物线y2＝4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛线于P、Q两点，O为坐标原点，则△POQ的面积等于________．
【解析】　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，F为抛物线焦点，由
得y2＋4y－4＝0，|y1－y2|＝＝4，S△POQ＝|OF||y1－y2|＝2.
【答案】　2
15．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为________．
【解析】　抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，
∴双曲线－＝1的焦点在x轴上．
m＞0，n＞0，a＝，b＝，∴c＝＝1，
∴e＝＝2，∴
∴mn＝.
【答案】　
16．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
【导学号：32550100】
【解析】　利用三角形垂心的性质建立关于a，b，c的等式求离心率．
双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立得交点A，B，
抛物线焦点为F，由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即kBF·kOA＝－1，又kBF＝＝－，kOA＝，所以有＝－1，即＝，故C1的离心率e＝＝＝＝.
【答案】　
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，求椭圆C的方程．
【解】　设椭圆的半焦距为c，依题意知
∴
∴b2＝1，∴所求椭圆方程为＋y2＝1.
18．(本小题满分12分)若双曲线的一条准线为x＝4，其相应的焦点为(10,0)，离心率为2，求此双曲线的方程．
【解】　设P(x，y)是所求双曲线上的任一点，
由双曲线的第二定义，得＝2，
化简整理，得－＝1.
19．(本小题满分12分)直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：(1)相切；(2)相交；(3)相离．
【解】　将直线l和抛物线C的方程联立，得
将①代入②，并整理，得k2x2＋2(k－2)x＋1＝0.
当k＝0时，x＝，y＝1，得交点A.
当k≠0时，方程为一元二次方程，所以Δ＝16(1－k)．
(1)当Δ＝0，即k＝1时，l与C相切；
(2)当Δ＞0，即k＜1且k≠0时，l与C相交；
(3)当Δ＜0，即k＞1时，l与C相离．
综上(1)k＝1时相切；(2)k<1且k＝0时相交；(3)k>1时相离．
20．(本小题满分12分)求以(1，－1)为中点的抛物线y2＝8x的弦所在直线的方程．
【解】　设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则.　　 　　　　　　　　　　　　　①
②
由得
kAB＝. ⑤
由②－①，得(y2＋y1)(y2－y1)＝8(x2－x1)，
∴＝.将④⑤代入上式可得kAB＝－4.
∴弦所在直线方程为y＋1＝－4(x－1)，即4x＋y－3＝0.
21．(本小题满分12分)点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
【解】　(1)由已知可得点A(－6,0)，B(6,0)，F(4,0)．
设点P的坐标为(x，y)，∵PA⊥PF，∴kAP·kPF＝－1.
由已知得
则2x2＋9x－18＝0，
解得x＝或x＝－6(舍去)．
∴x＝，
由于y＞0，故y＝.
∴点P的坐标为.
(2)易知直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标为(m,0)，则点M到直线AP的距离是.
于是＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得m＝2.
故点M的坐标为(2,0)．
椭圆上的点(x，y)到点M的距离d的平方为：
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝2＋15.
由于－6≤x≤6，所以当x＝时，d取得最小值，最小值为.
22．(本小题满分12分)如图2，已知抛物线C1：y＝x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切A，B为切点．

图2
(1)求点A，B的坐标；
(2)求△PAB的面积．
【解】　(1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t)．
由消去y，整理得x2－4kx＋4kt＝0，
由于直线PA与抛物线相切，得k＝t.
因此，点A的坐标为(2t，t2)．
设圆C2的圆心为D(0,1)，点B的坐标为(x0，y0)．由题意知：点B，O关于直线PD对称，故
解得因此，点B的坐标为.
(2)由(1)知|AP|＝t·，
直线PA的方程为tx－y－t2＝0.
点B到直线PA的距离是d＝.
设△PAB的面积为S(t)，则S(t)＝|AP|·d＝.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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