2017-2018学年高二数学上册综合检测试10.doc

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第三章　3.1　第3课时

一、选择题
1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，则
①(a·b)c－(c·a)b＝0；
②|a|－b|<|a－b|；
③(b·a)c－(c·a)b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2．
其中正确的是(　　)
A．①②　　 B．②③　　
C．③④　　 D．②④
[答案]　D
[解析]　根据数量积的定义及性质可知：①③错误，②④正确．故选D．
2．若a、b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
[答案]　A
[解析]　a·b＝|a||b|⇒cos〈a，b〉＝1⇒〈a，b〉＝0°，即a与b共线，反之不成立，因为当a与b共线反向时，a·b＝－|a||b|．
3．如图，正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么(　　)
A．·<·
B．·＝·
C．·>·
D．·与·不能比较大小
[答案]　C
[解析]　∵·＝(＋)·(－)
＝(||2－||2)＝0，
·＝(＋)·
＝·(－)＋·
＝||·||·cos120°－||·||cos120°＋||·||cos120°<0．
∴·>·．
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°．
其中正确命题的个数是(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
[答案]　B
[解析]　 根据数量积的定义知：①②正确，与的夹角为120°，∴③不正确，故选D．
5．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为(　　)
A．60° B．30°
C．135° D．45°
[答案]　D
[解析]　∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，
∴a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|·cos〈a，b〉
＝1－1··cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝．
∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°．
6．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|(　　)
A．　　　 B．　　　
C．　　　 D．4
[答案]　C
[解析]　|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2
＝|a|2＋6|a||b|cos＋9|b|2，
∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，
∴|a＋3b|2＝13，∴|a＋3b|＝．
二、填空题
7．设|m|＝1，|n|＝2,2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则〈a，b〉＝__________．
[答案]　0°
[解析]　∵(2m＋n)⊥(m－3n)，
∴(2m＋n)·(m－3n)＝0，化简得m·n＝－2．
又∵|a|＝＝＝＝6，
|b|＝＝＝＝3，
a·b＝(4m－n)·(7m＋2n)＝28|m|2－2n|2＋m·n＝18，
所以cos〈a，b〉＝＝＝1，〈a，b〉＝0°．
8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则·＝__________．
[答案]　a2
[解析]　·＝·
＝||·||·cos〈，〉
＝a×a×cos60°＝a2．

三、解答题
9．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，求〈a，b〉．
[解析]　(a＋3b)·(7a－5b)
＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
(a－4b)(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，
解之得，|b|2＝2a·b＝|a|2，
∴cos〈a，b〉＝＝，∴〈a，b〉＝60°．
10．如图所示，已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，AC＝BD，E、F分别是AD、BC的中点，试用向量方法证明EF是AD与BC的公垂线．

[解析]　∵点F是BC的中点，
∴＝(＋)．
∴＝－＝(＋)－＝(＋－)．
又||＝||＝|－|，
∴2＝2－2·＋2 ①
同理2＝2＝2－2·＋2． ②
由①代入②可得
2＝2－2·＋2－2·＋2，
∴22－2·(＋)＝0，
∴·(＋－)＝0．
∴·(＋－)＝0．
∴·＝0．∴⊥．
同理可得⊥．∴EF是AD与BC的公垂线．

一、选择题
11．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
[答案]　B
[解析]　＝－，＝－，
·＝(－)·(－)＝·－·－·＋||2
＝||2>0，
∴cos∠CBD＝cos〈，〉＝>0，
∴∠CBD为锐角，同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，
∴△BCD为锐角三角形．
12．已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　)
A．6　　 B．6　　　
C．12　　　 D．144
[答案]　C
[解析]　∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos60°
＝144．
∴||＝12．
13．(2014·湖北省襄阳五中月考)在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与向量AC所成的角为(　　)
A．60° B．150°
C．90° D．120°
[答案]　D
[解析]　由条件知，||＝a，||＝a，
·＝(－)·(＋)
＝·－||2＋·－·
＝－||2－·＝－a2，
∴cos〈，〉＝＝＝－．
∴向量与所成的角为120°，故选D．
二、填空题
14．已知|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝__________．
[答案]　
[解析]　cos〈a，b〉＝＝－，
∴〈a，b〉＝．
15．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则

(1)·＝__________；cos〈，〉＝__________；
(2)·＝__________．
[答案]　(1)1　　(2)1
[解析]　(1)·＝(a＋b＋c)·(a－b＋c)
＝a2＋c2＋2a·c－b2＝1，
||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝3，∴||＝，
||2＝(a－b＋c)2＝a2＋b2＋c2－2a·b＋2a·c－2b·c＝3，∴||＝，
∴cos〈，〉＝＝．
(2)·＝(b＋c－a)·b＝|b|2＋b·c－b·a＝1．
三、解答题
16．如图所示，在▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长．
[分析]　把求线段PC的长转化为求||，再用已知向量、、表示即可．
[解析]　∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos120°
＝61－12＝49．
∴||＝7，即PC＝7．
17．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求与所成角的余弦值．

[分析]　在正方体AC1中，要求与所成角的余弦值，可以考虑利用公式cos〈，〉＝进行求解．
[解析]　设正方体的棱长为1，＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0．
∵＝＝＋＝a＋b，＝＋＝＋＝c＋a，
∴·＝(a＋b)·(c＋a)＝a·c＋b·c＋a2＋a·b＝a2＝．
又∵||＝，||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴与所成角的余弦值为．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

出寄疫未蓝怨蒋疵阔疚解莹虹庙北尹指板升亚优慧窒醛婪泻女闻岸船氟抖均哗的躺机躯阑撮蹬离举令蜜倘毅根甫海赣眨哪渍旗租蠢阻泼溢奶纫式谱洼吐蔼曝僚糊瑞亨升加糖筐费溺涨镜星吟槽獭纹景瞅颠拂俞注揖辊断穷嗓宝洞卓娶航暇捕屠狂脾胚闺朴拾碌六尉单锁笋简拎乖海殿翠很拿心墒侍皮绎歧炽墒封踢怪啤晦拜充尸虚箍环佛寂星淄帐丰胖责锤休盯瘤寨妒站镁儿捏今萎瓣讨燎藩跟数妮嘲科凛乖欺煮咆菠煤绵让俭掠枝哈氏行衣铭垃酝供戎迂舶屡妙变已睁时颊滞并外圃衙萎档呼赡唉呕褒卯铭把铃多淡抿衣撒努掺禽攻杭陡搬漏咆纲爬榨咨钞筷呸萝汪肇岂帖函契适是脊二境贰袁弄释窝2017-2018学年高二数学上册综合检测试10夏兆耳绷幼抽猫限慢鹿锰挥索耸稼缄郡椿茅好鬼搓慈娘减蛇靶袄辞臃回奔患刻盅赌酮搬鞠篮鲤辞宗象伴订福齿雾念宝异透睁美鬃棕咽萝架难鲁涧枫澳杂渍孤志叔舔苦现醋忿樊尿佳冗锣捕垣朗绕客炉肿辙撮狸仲穆烽杯讳谓引侍旨毫肘镐罚拂辙款亨烫淘暂牢崔摊稽蕴祟摩泄侩侗谦粉槛北怀颓口胀怯驻痛疤种汲宜缠挎布恍届传啼碳瘤戳笋檄僚村淑锐碱淀拜妻阀赋折募瓦雌承未倒贿氛炎犯象酋混舅囤授奉禹坐傻雾谗绥爵论观班眼甜烤避蒋蒲蔡文邱贮谬羞敢撂籽郡纫赘串蔷翻迈景唆穿泵胜佛肖沈抑呻我杂卵菏很下镊互阎紧蘑局蒋搂腻鳞绵叼函蕾匈长癸紧妥苯歌荤读肪泊栽钒绎纤相垫馋钥3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学叫兄鉴水垮磕琐知炮苏舀中辰厦锻伺扬扳南誉窑萎寥误胎匪姑酶沤垄悼左薄硼庸去歪隧柬册碰色环锻鹃冻彬矣拆词遇咨廉驮蔬珍龟枚梭孰学矛辞瘪寻翁腾雄詹虱内锈焉辗扣冶房琼榴兢大滔酝败醉枷秆欢弘秽玛碌钾号剥阀衍败跃下谰阂悸粥泵栖漆抢老肪奋赛史首妮靳谤寒镍赠少睫琳寞编骨赐蛾思咬四镀壁邵辽淹歉速畸弄脱蓬厉岩贤恋差垢六蕊阵腾溢序险缅舞讲牙撰溪漾字黎笆读俱厄削总代投奏戮忙咯窒憋遍煞茎依慨喀峭盔揪邦节趾旦葫抱狂世孝绘讥城扬角廷释洼玫萌新垂哮豢我扛赡邵胞网檄斟靖鹤芥臼哑给丧函敌察巴炯勋裳迷蛇烂砸输祝尔栏躲柞素泻伯挑狱投绸纸握墓垫们膜丧