2015届高考数学第二轮高效精练20.doc

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第26讲　矩阵与变换
1. 已知矩阵M＝，点A(1，0)在矩阵M对应变换作用下变为A′(1，2)，求矩阵M的逆矩阵M－1.
解：∵ ＝，∴ a＝1，b＝2，
∴ M＝，∴
2. 已知矩阵M＝不存在逆矩阵，求实数x的值及矩阵M的特征值．
解：由题意，矩阵M的行列式＝0，解得x＝5，
矩阵M＝的特征多项式
f(λ)＝＝(λ－5)(λ－6)－(－5)×(－6)．
令f(λ)＝0并化简得λ2－11λ＝0，
解得λ＝0或λ＝11，
所以矩阵M的特征值为0和11.
3. 已知，点A在变换T：→＝作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B.若点B的坐标为(－3，4)，求点A的坐标．
解：＝.
设A(a，b)，则由＝，得
所以，即A(－2，3)．
4. 设矩阵M＝(其中a＞0，b＞0)，若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a＋b的值．
解：设曲线C：x2＋y2＝1上任意一点P(x，y)在矩阵M所对应的变换作用下得到点P1(x1，y1)，则
＝，即
又点P1(x1，y1)在曲线C′：＋y2＝1上，
所以＋y＝1，
则＋b2y2＝1为曲线C的方程．
又曲线C的方程为x2＋y2＝1，故a2＝4，b2＝1.
因为a＞0，b＞0，所以a＋b＝3.
5. 已知矩阵A＝，B＝，直线l：x＋y＋2＝0先经过矩阵B变换，再经过矩阵A变换得到直线l′，试求l′的方程．
解：AB＝，设直线l上任意一点经两次变换后得到，则＝.
∴ ∴ ∵ x＋y＋2＝0，
∴ ＋＋2＝0，
∴ x′＋y′＋2＝0，即l′的方程是 x＋y＋2＝0.
6. 已知矩阵M＝对应的变换将点A(1，1)变为A′(0，2)，将曲线C：xy＝1变为曲线C′.
(1) 求实数a、b的值；
(2) 求曲线C′的方程．
解：(1) 由题知，＝，即
解得
(2) 设P′(x，y)是曲线C′上任意一点，P′由曲线C上的点P(x0，y0)经矩阵M所对应的变换得到，
所以＝，即
解得
因为x0y0＝1，所以·＝1，即－＝1.
即曲线C′的方程为－＝1.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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