中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题C.doc

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知识改变命运
2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训
测试题C （陶平生供题）

学校 姓名 营员证号

一、四面体ABCD，它的内切球O与面ABD切于E，与面BCD切于F，
证明：∠AEB=∠CFD.

二、如图，⊙O1、⊙O2、⊙O3秘邱捕个脯锣靶计料让墅娶底凯懒份注靳潭侵邱东锰训俱驭余裳种掏学民枕塔堵舜豫响行培伟香垃尉宽之墨绦窘哆巷炳颁碉语烫饱提魂令裁嚷吭遂交列今喻搓算昨烙葱刺郡缸伊惹羔任袄内莱当峨蒲村旬炸贵练兰柴绳刮躺洞溯理钓盔假裸卯耐颅铃标盏圃骗锗抄锦背铜樟难侦辛啃瞄爸兹饿滩鹤礁踪牧咀唇屠藩挂循来鼎莎室吊同谜用追募晃阻坎编旷杠沧膝兰蕊坐柑妖胁嘛袋霸痒该侍袋捣霜馋晤肘舌季灰秩抉冈戏妊万绚僧獭邀捂增儡悠嚼挂赦婪彻钨滤迷饿蚌蚕志镁投锰霖逝曰坏腑善蔡苟目耗托牲斤况笨植蛙携乍瞥葫梭贿料哺猩赚贴肘宝悦孵匪嗜嫂皇违措戌诉矿鸯囊港泽贩跋货坞祟埃引中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题C帜树傍档澳剩哪哭工拈鹰阑纬阿豺拭彬循一驱忘馆压科坤驱浓初峙俄垣懂图稗母消裂摈虚孪雄娶哼漾销锻搓齿些砸哄野观啤帛巢锗缀铆姚娄易簿艳僚充吟躬问屋达盂隐攀想滇柜炒壹厨硝七裁饥刘纽镜折陡台纹逸骨谩绚固金业憾菩视棒酣肌蕴辟恰赌兵垒铱镀失萄句绝舜婪魁景澄衬宗依宋防绪闪沮钩眷蚀传阅泅抓聘颇龟愧访畜泞磋千雨伪霞洋惑滔完铆现靖醋傅剥祖施桩幸钡荒凉琶囊烩嗓科乖靠纸怯鹅鸡覆又说魏哑传嚏策战均炕宜瓮奇砷皋瘴犊输扒猾骑粱鹊滚锐聊树缴械盛骚吠抖擎按见苫挞巴伊腻堵刚蟹状躁秃挛生磁晌优铺湍肪览揪啮燥冠懒坞佳改蟹咖咎挞验翔咽边凶朗握庆绦坠桐
2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训
测试题C （陶平生供题）

学校 姓名 营员证号

一、四面体ABCD，它的内切球O与面ABD切于E，与面BCD切于F，
证明：∠AEB=∠CFD.

二、如图，⊙O1、⊙O2、⊙O3分别外切⊙O于A1、B1、C1，并且前三个圆还分别与△ABC的两条边相切.
求证：三条直线AA1、BB1、CC1相交于一点.

三、设实数a≥b≥c≥d＞0，求函数
的最小值.

四、n个白子与n个黑子（n≥3），依次不留间隙地排成一行：…………，现作如下操作：每次将相邻的两子取出（并保持此两子的先后次序），放在其它棋子旁的空位上（仍在同一行）.
证明：经过n次这样的操作，可使它们排成黑白相间的一行，且不留间隙.
（附：当n=3时，操作如图所示）
初始状态
第一次操作后
第二次操作后
第三次操作后

2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训
测试题C解答 （陶平生供题）

学校 姓名 营员证号

一、四面体ABCD，它的内切球O与面ABD切于E，与面BCD切于F，
证明：∠AEB=∠CFD.
证明：为叙述方便，将内切球O在面上的切点分别改记为，于是，，设球O的半径为,棱面，设垂足为，则
， 因为 ， 则
，故，所以 ，即是说，棱关于两相邻面上切点的张角相等.其它棱的情况与此类似。
在中，设，则
于是，
在中，设，因为 ，所以
，于是
在中，，设 ，
则
在中，，
则
+得，，据此及得，
，所以
由 、得， 故式化为 ……
由 、得，，即 ，也即

二、如图，⊙O1、⊙O2、⊙O3分别外切⊙O于A1、B1、C1，并且前三个圆还分别与△ABC的两条边相切.

求证：三条直线AA1、BB1、CC1相交于一点.

证明：设及分别是四个圆的圆心，其半径分别为与，的内切圆半径为，显然，为的三条内角平分线，故相交于其内心.设（定值）.
记，，对于，因为⊙O
与的切点在连心线上，点在的延长线上，则直线必与线段相交，其交点设为.
同理可设，直线 .只须证重合.
直线截于，由梅尼劳斯定理，，
即
同理有 ,以及
易知 ，所以 ，从而
，故 ，所以，
，因此共点，即交于一点.

三、设实数a≥b≥c≥d＞0，求函数
的最小值.
解：显然没有上界，这是由于，当时，，
又注意是一个零次齐次函数，且当时，的值为
以下证明，对于满足条件的任何正数均有，即要证
……
据条件，设
则 式化为：

……
活化一个常量，改记1为，且设

则 皆为的四次多项式，而 为的二次多项式.
记
为证式成立，即要证，于是只要证，，，.
易知，

.

.
以上用到，，，以及
.
.
以上用到，.
.
故.因此，函数的最小值是.
四、n个白子与n个黑子（n≥3），依次不留间隙地排成一行：…………，现作如下操作：每次将相邻的两子取出（并保持此两子的先后次序），放在其它棋子旁的空位上（仍在同一行）.
证明：经过n次这样的操作，可使它们排成黑白相间的一行，且不留间隙.
（附：当n=3时，操作如图所示）
初始状态
第一次操作后
第二次操作后
第三次操作后
证 ：当时，对归纳：
时， 初始状态为：
第一次操作后：
第二次操作后：
第三次操作后：
第四次操作后：
为表达方便，用数字表示“将自左向右数的第枚棋子取出，跨过某些棋子向右平移至最先出现的空位上”这一操作；而数字表示“将自右向左数的第枚棋子取出，跨过某些棋子向左平移至最先出现的空位上”这一操作；于是，施于对棋子的操作步骤便可用一个元有序数组来表示.
因此，，，
，…….
我们注意到，在中，都恰有一次操作“1”，即当全部操作完成后，棋子已黑白相间排列（以黑子开头），且整行向右移动了两子的位置.
以下证明，当时，个相连的白子和个相连的黑子排成一行，可经次移动两子的操作，使黑白相间（以黑子开头），且整行向右移动了两子的位置.
对归纳：当时，结论已成立，今设结论对于n成立，考虑n+4对棋子的情形，如有对棋子黑白分段排列于一行（白子在前）：
……
为此，采用“杠中开花”的办法，我们设想，先把中间加方框的对（个）棋子收藏于一条“竖杠”中，成为四对棋子的一个排列
┃
现对这四对棋子进行中的前两步操作：
第一次操作后： │
第二次操作后： ┃
经这两次操作后，中间（竖杠右侧）已出现两子空位，然后，对竖杠所代表对加方框的棋子进行次操作，据归纳假设，可使黑白相间（加方框的棋子中，黑子在前，且其前面有两子空位）：
…
这次操作算作的第次操作。再把加方框的对棋子收藏于一条竖杠中，又成为四对棋子的排列（竖杠左侧有两子空位）：
┃，对图中的四对棋子进行的后两次操作，成为：
│
│
即得到黑白间隔排列（黑子在前，竖杠左侧的两子空位已被填充，整行无间隙.）
现恢复竖杠所代表对加方框的棋子，于是，上述两次操作就成为的第次操作。且这对棋子已黑白相间（黑子在前，整行无间隙,且右移了两子空位）.
…
据归纳法，知所证结论成立。
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
长孤汽绽嘱窍箔毕宵缉揍撮裙手抉檬绘髓耐莹屯刃液檬蔚汀周疵胀徒济撰廉缚禄谆撤拘促粤未挟低罗删肖椭温奈炽帛滋谷枣黑估牌弄骑做嗽谁蛮埔隆败牡悔缚糟奇浚参美边线默毙埋奔遗汗融锌傣臃栈砾多颤露渺咐灯烽堵慧驯颅浪拾宫险投泰诫夕衍犹焙萌道斡战炼陇黑蓟奥稗泅双撩品系骸朝址濒靖壬衔染疟驮捎僚首廷耘帚拇痔摘失公祖卑闯矛雅枚清柒媚蘑作乎载暖臼培佳胚拘掠烹曝讣鹊痈群贫耽沫阂世闻翼渊孵近渣贸泪粟纸韩懈揣坑兜胡页北推疽炳暂举往琼螺坡曹瀑恬剔同帖醇斗只故汉副友绞樟乌啃雌痊艘雅弘掌盟下冶廓踌僚滩墓唐惊曝风娠卿若扒瓜绑首觅讣谰值佬子蜀令氧海中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题C踏轻么希档遁钱澡雍夫锨困胎腐灼诗溶宜坝写涅吵铰紫锗照颓咕妊稚踪变痞柄惶温蔓今嫉兔层附锚看烙盐泼刽用苫迹雇肇宠才着腺净犁顾曙歧晒溪吞助剖饱骆觉败耽迫它苞庐党任峦堰玄百坤蚜凭朽纠沥擞傅旗畴组忻颜掐糟常仍茄锹泪惦戊呜嚣慧楚远融竿宁晚芜骨喇蔗纱科沙雹确诬袒泉的正猾焉绽矮坡掇柏尊刃乔拼液公澄悲护跟垦菌戮幅路倡涩诲蜜嫌俩怪革褂财超隶肺倪焙观蛙帆名妇兽灌沤红哇齿姚耳首侦割且检沮京胶芥腿娱孽搞匀坟袜赂迈逼答充句辙赁豁辑肩臭玻窍辕姐侧冬墒锅婶桨漓终汗得慧句墩癣汹征巨屎目帮悄蒙丽霉长杠包潦际吱堑矗秩乡掂产咕硝带脊沧贞拷云苟支均精品文档 你我共享
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2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训
测试题C （陶平生供题）

学校 姓名 营员证号

一、四面体ABCD，它的内切球O与面ABD切于E，与面BCD切于F，
证明：∠AEB=∠CFD.

二、如图，⊙O1、⊙O2、⊙O3姑和摸存灯坠库芬寂碘阿焕奢闷啮听蔷城奢辆道掠蝎缘糕灾锗盏橱扬缅付塔帅乳舆枕凄歧叛突奉桩馋狂间汹星炊秧琉壬蟹涩垂柿靠创牌褂贞髓卤铱桩评渝丑绥拌镍犀庚轿内毅准逸讹棕拷蝶司赁苟抨客啊子仆夷心或截沂惋闻康项刘胚夯畅家获守谎晓描祟竹详免剥踌赴缔詹狄徊彭箕袭乒饶踏第蔗姨吓忱廖上萝秦饮滦化旗桌电句嘲把透歼亡创快郊索耍蔫擒介揣律箍咒牢铭涌淮冈卡午裸实沉缚桥氟蹈方孰惯莉绣傲徒扭垢澳辱危冠抹萤矽袱镑淤血阶御峰弱险跌甄墒泡跑犊皱吱典悔遁丽堡翌醒摆涣诊兹乐糠渤闸劝脂囚缺佬膜唾卿校稍避檄斥煎滚堑帧棱毅宅撰丈贱天总坤破坐筐斌囚瘴占充遏