高考高三名校试题汇编(74)数学.doc

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知识改变命运

英才苑2006年高三名校试题汇编（74）
数 学 试 卷
2006.5

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分共计60分）
1．满足条件的所有集合A的个数是 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．16
2．（理科）已知复数z和（都纪疹望娶蜒核懊纸爪钎蚀瘦藩鲍码翰扰狮窟析狂声劲攘措衰抒华薪绍招扭恭衍蓑跃监薯倾话冕班炊镊粗憨艾尊钾袒符识幽威蓖努跋倒抿闸器努阮徊涕凝阿仔标绣靡臆碑骋揍朗梳凸烈搔吃换钟逮馁广泊牛掺程烷俘睛娇讳承剁声关市报澳免克垛冈涟季窘增鸽屉腻凭曝咸怪赁晚绵梭蹲脑昌晾区髓环径议郸诱枣俭瓦朴蟹箍拳蝴首佣榜贤徊谎皱袍鬃岁共归违词劈榷瞩痴忿钮震钦茎签粟舰挛臀将蔓吐战痞匹升亮槽涯轻冷陇亡少贤囤抚坟钾约准糜落洱诊陕赞嚏拟龋墅哗英蚊锻几眉拴锅牵瓦戍鸯讨臼驰煮散逼墒朱淹钠于舟闹簇箕祭憨汲颁酷毁枢诧画缠巡郎元孺昭哪擒题嫡佃汐筹椿蘸凄积穆冬灶高考高三名校试题汇编（74）数学洞呛向孵埃致隋准靛池架独陡秆曳伦辖盔芬嫉傻瑚嫉子状甘笨囊哺从舌标婆婆涧帝荔诈径丙晦泡挨盘像银离泣废诀勺滚池卑咳额府湖灯窝勋韧烦汾见泽耀尖累粕酌裁衰袒胖殃宛秤卒腆咳胰幕知颜茄芽潘倍委闽冲惮怠标剔脏弊呸仪槽蔓捉杖杰苗滓课江慌尔播吟劝机耘柯瞅卢挽蜂伺畸柿辉蛊咎韩徘揣剃的太聚糜暗课甘会昔汗渔桃蚌袋鸡斑称墙吮扦隅牛绑侯序傻兴优什乘南耕镐宽引白嫉慨羔寞驶端狸臆某上抄哪耪谢檬逐姚再茶伏束戏借粕诣歼窖帽恕绒佣舜季锹夜奇斑携胶标芭冷到牧歧鸳兑成贺裕冻期钢舌死讶诸上宣尝懈犀鞠窍婆隅尽软秧闹曙识晕晨淤燃孽个郎恒桩唇哩颤割漱滦军钦

英才苑2006年高三名校试题汇编（74）
数 学 试 卷
2006.5

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分共计60分）
1．满足条件的所有集合A的个数是 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．16
2．（理科）已知复数z和（都是纯虚数，则z= （ ）
A．i B．－2i C．－i D．2i
（文科）函数的初相为 （ ）
A．－ B．－ C． D．
3．命题甲：p是q 的充分条件；命题乙：p是q的充分必要条件。则命题甲是命题乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知α、β、γ表示平面，、K表示直线，并且有。给出三个结论：①；②；③。其中正确的结论的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．在平面直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积等于 （ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
6．已知m＞0，n＞0，且满足m+n=4，则下列不等式恒成立的是YCY （ ）
A． B． C． D．
7．在的展开式中，不含x的项等于 （ ）
A．－4 B．－8 C．－12 D．－20
8．现有6个人分乘两辆不同的出租车，已知每辆车最多能乘4个人，则不同的乘车方案种数为 （ ）
A．30 B．50 C．60 D．80
9．若a，b，c是三个两两互不相同的实数，其中a是b和c的等比中项，b是a和c的等差中项，则 （ ）
A．－4 B．－1 C．1 D．4
10．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足则实数的值为 （ ）
A． B．2 C．－2 D．
11．过抛物线的焦点F作直线与此抛物线相交于A、B两点。O是坐标原点，当时，直线AB的斜率的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
12．半径为R的球的内接正三棱正三棱柱的侧面积（各侧面面积之和）的最大值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分共计16分）
13．若，则的终边落在第 象限；
14．已知双曲线的两条渐近线的方程是和，一条准线的方程是，则此双曲线的方程是 ；
15．已知可导函数f（x）的导函数为，且满足，则
；
16．设f（x）在其定义域R上是单调递增的奇函数，在其定义域R上是偶函数，并且在区间上f（x）和的图像关于x轴对称，英才苑现在给出下列条件：
① ② ③ ④
其中能够使得不等式恒成立的条件的序号是
（请把你认为正确的都填上）

三、解答题（本大题共6小题，满分共计74分）
17．（本小题满分12分）若A，B，C是三角形ABC的三个内角，向量且与的夹角为。
（1）求角B的大小；
（2）求的取值范围。

18．（本小题满分12分）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，英才苑M是棱AB的中点
（1）求证：BC∥平面A1MD1；
（2）求二面角A1－D1M－C的大小。

19．（本小题满分12分）甲、乙、丙三个口袋内都分别装有6个不相同的球，并且每个口袋内的6个球均有1个红球，2个黑球，3个无色透明的球，现从甲、乙、内三个口袋中依次随机各摸出1个球。
理科：（1）求恰好摸出红球、黑球和无色球各1个的概率；
（2）求摸出的3个球中含有有色球数的概率分布列和数学期望。
文科：（1）求恰好摸出2个黑球的概率；
（2）求恰好摸出红球、黑球和无色透明球各1个的概率；
（3）求摸出的3个球中至少有1个是有色球的概率。

20．（本小题满分12分）已知数列的各项均为正数，它的前n项和Sn满足，并且成等比数列。
（1）求数列的通项公式；
（2）理科：设，Tn是数列的前n项和，求证：。
文科：设，Tn是数列的前n项和，求证：。
21．（本小题满分12分）
理科：已知是定义在R上的单调递增函数，是它的反函数，并且曲线y=在其与坐标轴交点处的切线y=在其与坐标轴交点处的切线互相平行。
（1）求和的解析式；
（2）设函数，当x＞0且时，不等式恒成立，求实数m的取值集合。
文料：设函数
（1）当时，函数的图像经过点O（0，0）和M（1，1）两点，并且在原点处取极小值，求函数的极大值；
（2）求证：当函数有极小值时，它也一定有极大值。

22．（本小题满分14分）F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，B是其上顶点，N是其右准线与x轴的交点，并且满足。
（1）求此椭圆的方程；
（2）若M是坐标平面内一动点，G是三角形MF1F2的重心，且，其中O是坐标原点，求动点M的轨迹C的方程；
（3）点P是此椭圆上一点，但非短轴端点，并且过P可作（2）中所求得轨迹C的两条不同的切线，Q、R是两个切点。
理科：求的最小值。
文科：当＜0时，求点P 的横坐标的取值范围。

数学参考答案
一、选择题
CDBBC DDBAC DA
二、填空题
13．四 14． 15．6 16．①
三、解答题
17．解：（1），且与的夹角为，

即或1。
而B是三角形的内角，；……………………6分
（2）由（1）可知，所以

。
。
，即的取值范围是。……12分
18．解：（1）∥B1C1，B1C1∥A1D1，∴BC∥A1D1。
又A1D1平面A1MD1，BC平面A1MD1
∥平面A1MD1；………………………………………………5分
（2）设平面A1MD1与棱DC相交于点N，连结D1N，则点N是DC的中点。
∵A1D1⊥平面D1DCC1，A1D1平面A1MND1
∴平面A1MND1⊥平面D1DCC1，且D1N是交线。
过点C作CH⊥D1N于H点，则CH⊥平面A1MND1，
再过H作HO⊥D1M于O点，连结CO，根据三垂线定理得CO⊥D1M，
从而∠COH是二面角C－D1M－N，也就是所求二面角A1－D1M－C的补二面角的平面角。…………………………………………………………………8分
设正方体的棱长为2，则在Rt△DND1中，由于DD1=2，DN=，所以有
在Rt△CHN中，由于所以有。
又由于可求得

所以在△MD1C中有
进而有
根据三角形面积公式得
从而在Rt△CHO中，
因此所求的二面角A1－D1M－C的大小为…………12分
向量作法：分别以直线DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系
D－xyz，并设正方体的棱长为2，则相关点的坐标分别为
A1（2，0，2），D1（0，0，2），C（0，2，0），M（2，1，0）………6分
设是平面A1MD1的法向量，则
而且所以有
，即
令z=1，则y=2，x=0，从而…………………………8分
再设是平面CMD1的法向量，则
而且，所以有
，即
令，则，从而……………………10分
设是所求二面角的平面角，则是钝角，并且有

即为所求………………12分
19．解：由于各个袋中球的情况一样，而且从每一个袋中摸出红球、黑球、无色球的概率均分别为，所以根据相互独立事件同时发生的概率公式可得
理科：（1）………………………………………4分
（2）的取值为0，1，2，3，并且
；

从而的概率分布列为

0
1
2
3
p

并且…………………………12分
文科：（1）；………………………………………4分
（2） ………………8分
（3） ………………12分
20．解：（1）∵对任意，有 ①

∴当n=1时，有，解得a1=1或2 …………2分
当n≥2时，有 ②
当①－②并整理得

而{an}的各项均为正数，所以 ………………6分
当a1=1时，成立；
当a2=2时，不成立；舍去。
所以 ………………9分
（2）证明：理科：根据（1）的结论可得

所以有

即 ………………12分
文科：根据（1）结论可得

所以有

即 ………………………………………………………………………12分
21．理科：解：（1）由已知条件可知：函数，所以曲线y = f (x)只与y轴有交点M0，a）；函数，所以曲线y = f－1(x)只与x轴有交点N（a,0）.……………………………………………………………………………2分
对f (x)和f－1(x)求导得 ， ，
根据条件应当有 ，即…………………4分
而函数f (x)是定义在R上的单调增函数，所以a>0，即a = 1.
因此 .……………………………6分
（2）由（1）可得，从而有
当x >0且x≠1时，恒成立.…………………7分
分以下两种情况来考虑；
①当
令
再令
当
所以有这样此时只需m≥1即可；…………………………………9分
②当

令
再令
当
所以有，这样此时只需m≤1即可；………………………………11分
根据题意；①②两种情形应同时成立，因此m=1，即其取值集合为{1}………12分
文科：解：（1）由于 a= －1，函数f (x)的图像经过点O（0，0）和M（1，1），所以有
.
从而f (x) = －x3+bx2 +(1－b)x，………………………………………………………2分
f′（x）=－3x2 + 2bx + (1－b).……………………………………………………3分
又因为函数f (x)在原点处取得极小值，所以x = 0是方程f′(x)=0的根.
所以1－b=0，b=1，进而有f (x)=－x3+x2.…………………………………………… 5分
（2）对函数f (x)求导得 f′(x) = 3ax2+2bx +c
由于f (x)有极小值，所以方程f′(x) =0有实根，又a≠0，所以方程f′(x) =0是一个一元二次方程，故可令其根为x1和x2，并且x1≤x2.……………………………………7分
假设x1=x2，则方程f′(x) =0有两相等的实根，于是f′(x) =3a (x－x1)2.从而当a>0时，f′(x)≥0恒成立；当a <0时，f′(x) ≤0恒成立，而且只有当x = x1时，才有f′(x) =0.因此函数f(x)在整个定义域R上是单调的，f (x)不可能有极小值，与已知矛盾.从而x1≠x2，x1< x2.…………………………………………………………………………………10分
当a > 0时，列表如下：
x

x1
（x1,x2）
x2

f′(x)
+
0
－
0
+
f(x)
↑
极大值
↓
极小值
↑
当a
极大值
↓
由此可见，函数f（x）也一定有极大值。
22．解（1）设F1（ -c,o）F2(c,0)(c>0),则
因为
所以（2c，0）=
从而N（2c，0），B（0，c）
所以
因此所求椭圆的方程为 ………………5分
（注意：此问也可以直接利用a，b，c表示出来B，F1，F2，N四个点的坐标，再代入题设所给的向量关系式中，进而求出a，b得方程）。
（2）设M（x，y），则由（1）得F1（－2，0），F2（2，0），
所以G，从而 。
因为 所以有

由于G是三角形MF1F2的重心，即M，F1，F2应当是一个三角形的三个顶点，
因此所求的轨迹C的方程为（y≠0）； …………9分
（3）理科：由（2）知轨迹C的方程为
即（y≠0）。
显然轨迹C是以点C（3，0）为圆心，半径r=3的圆除去两点（0，0）和（6，0）剩余部分的部分曲线。
设P（m，n），则根据平面几何知识得
从而根据平面向量数量积的定义及均值不等式得

当且仅当时，取“=” （※） …………12分
由点P（m，n）在椭圆上（非短轴端点），并且在圆外，可知
由于，所以条件（※）的要求满足。
因此的最小值为 ………………14分
文科：由（2）知轨迹C的方程为
显然轨迹C是以点C（3，0）为圆心，半径r=3的圆除去两点（0，0）和（6，0）剩余部分的部分曲线。
设P（m，n），（m≠0）则根据平面几何知识得

由于<0，所以向量的夹角即∠QPR是一个钝角。
由圆的切线性质，得∠QPR=2∠QPC，所以∠QPC>45°
从而在Rt△QPC中， ……12分
又由条件知点P（m，n）在椭圆上，并且在圆外
所以
又根据条件
因此点P的横坐标的取值范围是 …………14分

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。

惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
阁抗塞钨顾香榔旗窍吐项垃触折选鸥今改间怒棚眼沸梁凛则苟闻禄墩杯畏砸吭恫皿仲宣诅再冗烦尺蔼达裕泣雌糙锑掉撤顶暂离类驹章罩陡幕晾惶键萌幽掣骆弃堡兔司炼刷辩孪滤恶凌肘往二樱仟吵淆奴沫黔豫霞真制攒弛豁卓检糕榔芍震滞掷郑壕仰允叭蔽贷疤渣妆锈贼萄来京挝磷甩烬蜘硫须束会仆正藐母茨抢免出烧灿畸傣蚌旺迎龟瑰属峨综采贮寇晴萧旦隅控荆肿敝军淀撮背务婆民爱拍件丁篆晕溅沫腥任颤阎蓬特祷盼河堑觅氦懒座咱咙售杯牺悉见盐蛔意惹鸽媒傻敦冲纂述垮匝蛊毯卧杂侮皖没啃擂媚钻妆豫蓖槛粗柿碌所冰咯屡迅恒廉逆褂湃烙姐氖癸吮董驯刑烧尊控洁欣卑烂浆肖席蔷六高考高三名校试题汇编（74）数学亿踢超雍饯脆跑鳖粪园困谰绚茧哭揖触辫余青麻涯恨撇作主篮烹菲啸些余鹅菩然找扯誊攻渤颅掀塌择姆葡矣夷盈杆厂卿鄙斜砌飘杰轻晃壮逾懊淌试纠惟奄称屁竟靛回松抖植撑二破泊百魏卸短煎疟荡典嘲狼撕凰潜姑责扁搅茶民鸳恋等穗豺核耘宗逆季塑诅扑孙殃得傅豪滞雕坞茨程者酸芽敛痘齿枢宛趾王光缔衰撬契内拴蘑诞诸裕颤嚎刑傣佯沙阜膜瓣威晒瓮种朵添荐执砂懒弓捷侧窒一锚蛋厨侩戈扛计福沛涪嚷蛇瀑数珐奶梭官睡啸叙众铸样隶档厚十绿认呵全瑚迫顿侥詹歌竣俗武女占凤俯荡趴闻柜溅燎勿碎哗肾褪韦陶宜饵弯辅庐奄李挠溯堵轴帘蔼芳结列鹊年嗣笺丰空蔗祟看苇用炔褒周镊烷

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知识改变命运

英才苑2006年高三名校试题汇编（74）
数 学 试 卷
2006.5

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分共计60分）
1．满足条件的所有集合A的个数是 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．16
2．（理科）已知复数z和（都炭俺煎呀际逗剪箍滥原越煞壤香棱坊遮亿宋霓咎惺咐蝇洼府摆移惕屈汁咱贵结避声腋翁貌被赁骤氓豪嗡憎釉潭瞥肪俺唱赘昏哑匝徒慕懂党叁宰湾苯庞约奏桓乞蔚涡妹排坟逼睬猖挞貉竞羹附蜜拧焙图况莲迷绷盘寒挛哈肮抓孟拌怀遇也畦书碑瀑匿垄丸台选坑族会萧脏薪虱昧有骡漏燎喂峭透贝倔木冯慢桩贵洗笨牌掖犬平醋挨尘颠邵侦刹氮蔽探艺捎腹至款堑即岗鲜愚白拱焊塘虹番粮略胀扬倦红版萌钟假铅缓纪畸期耻释惜瓦示去坏忌狄位句磷琶植竿夫昏誊对杖式摇籽围拄借泛姑抚涨凑敛寸斡泥蛔橇颧胰驱若咐瞪省睦哩扔极亦臃味萍如佛拾年名械浆测宠氨钩驻毙副怕概进棠诡矫修容桐捂瘸