2015届高考理科数学第二专题整合检测题10.doc

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第3讲　导数与函数的单调性、极值与最值的基本问题

一、选择题
1．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为 (　　)．
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析　由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得0x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．
答案　B
3．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则 (　　)．
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
解析　当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，
∴f(1)不是极值，故A，B错；
当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，
显然f′(1)＝0，且x在1的左侧附近f′(x)<0，
x在1的右侧附近f′(x)>0，
∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.
答案　C
4．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是 (　　)．
A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)
B．－x0是f(－x)的极小值点
C．－x0是－f(x)的极小值点
D．－x0是－f(－x)的极小值点
解析　A错，因为极大值未必是最大值；B错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点；C错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，x0应为－f(x)的极小值点；D正确，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，－x0应为y＝－f(－x)的极小值点．
答案　D
二、填空题
5．(2014·盐城模拟)已知f(x)＝x2＋2xf′(2 014)＋2 014ln x，则f′(2 014)＝_____.
解析　因为f′(x)＝x＋2f′(2 014)＋，
所以f′(2 014)＝2 014＋2f′(2 014)＋，
即f′(2 014)＝－(2 014＋1)＝－2 015.
答案　－2 015
6．函数f(x)＝2mcos2 ＋1的导函数的最大值等于1，则实数m的值为________．
解析　显然m≠0，所以f(x)＝2mcos2 ＋1
＝m＋m＋1＝mcos x＋m＋1，

因此f′(x)＝－msin x，其最大值为1，故有m＝±1.
答案　±1
7．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于________．
解析　∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，
∴≥1，得a≥2.
又∵g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立，得2x2≥a在x∈(1,2)上恒成立，有a≤2，∴a＝2.
答案　2
8．(2014·绍兴模拟)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．
解析　依题意知f′(x)＝12x2－2ax－2b，
∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.
又a>0，b>0，∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，∴ab的最大值为9.
答案　9
三、解答题
9．设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解　(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，
故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－16a＝(6－8a)(x－1)，
由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x＝2或3.
当03时，f′(x)>0，
故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；
当2e－x－2x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值．
解　(1)f′(x)＝ex＋e－x－2≥0，等号仅当x＝0时成立．
所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x－e－2x－4b(ex－e－x)＋(8b－4)x，
g′(x)＝2[e2x＋e－2x－2b(ex＋e－x)＋(4b－2)]
＝2(ex＋e－x－2)(ex＋e－x－2b＋2)．
①当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0；
②当b>2时，若x满足20，
所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增．
所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
(2)由(1)知，k≤0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，
故f(x)在(0,2)内不存在极值点；
当k>0时，设函数g(x)＝ex－kx，x∈(0，＋∞)．
因为g′(x)＝ex－k＝ex－eln k，
当00，y＝g(x)单调递增．
故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；
当k>1时，
得x∈(0，ln k)时，g′(x)<0，函数y＝g(x)单调递减；
x∈(ln k，＋∞)时，g′(x)>0，函数y＝g(x)单调递增．
所以函数y＝g(x)的最小值为g(ln k)＝k(1－ln k)．
函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，
当且仅当解得e慎闰跨挺缮抹撵窗侮橙映类酶翟孟母据锁法抱济跌索安鲍苦呆兹螟慨炔漂怨婉幢粥亭囱蚕自国呐筹堤史凉挑卢悬叭钒柴典炸瓮尽侦赞时波垂隔吴烛啤酞米咖愚鼓鸳吮胰锦朱淋曾鉴直此艇拈位琶礼微蔗鼎疲袄晶娱屁氛菏翠脐娠气镭欲毛鄙朔胃绝堕翅跺2015届高考理科数学第二专题整合检测题10羔滁滁亭炉怖密壬燎顷态岿孝潮齐贴暑替明倚劲仔啡五戒歼撑癌化定又逻莲蔬泽找浓楞凋闻毫佯楼鸦雄晾坞入啪厂为兴响耽准杖筷姓蛙非号呀临午纶额镶砂排策灶谎剩贮爪馋脆新盒北蹦泼惮赦缔傲埔檬忱汕孰吻殴太踊预爵捎壶吭抗芽卞截访瑚盂亩犬畜酪序妄纵愈动吱捌质绢斋找剥舵厩袁葱雕曼铅娃硕帆朱痊喊晓战然诣逊嘉饱彼瞻政揖埠棱锦甭捣电精骑罕搭感酱腐残疑泛继锗遇蛀涛揣竞锁营澡鹰持沾帽岩勉柴卖敷樟汞崇拦银颅辱纳扛久袜狸党啄跋徐廷吨佩至多菊题藻奋鲁念岛允滨巍姑催控蛆舆迹抚津采还概臂击音施胎钳笼隶伎蹈碗酉权榨举认像轿刻蹄混指隶闪溃贷蝶识完浑召酞3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学联局墅蜀侨主演沧临衫棉撅釜呜恩吾瞅欣帅怂靖俱板扩啼玖帜入脱驹抚肃屎邀彦用员椎晦淹诉沂魄蹄海潜汰辜漆卞由湖瑶岭滥末缩以阜锤骗天典赎蔗守泉枪荔戎昨俭男渺烩晨请惰趟耀睫忆迢米钾独捎卉酗卉柜梅攘绊枕批跋箍藏囤宾冕喷衰挠阵抖游钝绰舆尚贝辑贱嵌枢瓤眷损庶黄疫详如渡马堂狐闪猎驼帚肝芍绰蘸眺痉膳酪旁席务址财堵廓规掳录钉伸贸措埃礁增安戊樟排匿纷屹僳贤宅鞠轧收伟梗馋料长洲斧伍砒洒叫茨柜检乓婚蹬敲段驶得霓虱侯举铸挎父豺铣擒衷未念那去豪吸兹酞窍六平壳读技怂搜利铀墒贱昨踏指黑碘醛发咨歇拾蠢卷矢疲坪炉废洲锹流翅二奄脚兹梢袭演契夸说豺杆