2017-2018学年高二数学上学期知识点分层突破测试27.doc

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章末综合测评(三)　导数应用
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.物体运动的方程为s＝t4－3，则t＝5时的瞬时速度为(　　)
A.5 B.25
C.125 D.625
【解析】　∵v＝s′＝t3，∴t＝5时的瞬时速度为53＝125.
【答案】　C
2.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A.(－∞，2) B.(0，3)
C.(1，4) D.(2，＋∞)
【解析】　f′(x)＝(x－2)ex，由f′(x)>0，得x>2，所以函数f(x)的单调递增区间是(2，＋∞).
【答案】　D
3.函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是(　　)
A.a≥0 B.a>0
C.a≤0 D.a<0
【解析】　f′(x)＝3ax2＋1，
当a＝0时，f′(x)＝1>0，f(x)单调增加，无极值；
当a≠0时，只需Δ＝－12a>0，即a<0即可.
【答案】　D
4.函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图1所示，那么f(x)的图像最有可能的是(　　)

图1

A　　　　　B　　　　　C　　　　　　D
【解析】　数形结合可得在(－∞，－2)，(－1，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)是减函数；在(－2，－1)上，f′(x)>0，f(x)是增函数，从而得出结论.
【答案】　B
5.若函数y＝a(x3－x)的递增区间是，，则a的取值范围是(　　)
A.a>0 B.－11 D.00的解集为，，∴a>0.
【答案】　A
6.若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，则(　　)
A.3f(1)f(3)
C.3f(1)＝f(3) D.f(1)＝f(3)
【解析】　由于f(x)>xf′(x)，′＝<0恒成立，因此 在R上是单调递减函数，∴<，即3f(1)>f(3)，故选B.
【答案】　B
7.若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为(　　)
A.－5 B.7
C.10 D.－19
解析】　∵f(x)′＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，
所以函数在内单调递减，
所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2，
∴a＝0，最小值为f(－1)＝a－5＝－5.
【答案】　A
8.函数y＝x－2sin x的图像大致是(　　)

【解析】　因为y′＝－2cos x，
所以令y′＝－2cos x>0，
得cos x<，此时原函数是增函数；
令y′＝－2cos x<0，得cos x>，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项C正确.
【答案】　C
9.若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是(　　)
【导学号：94210067】
A. D.(－∞，－1)
【解析】　f′(x)＝－x＋，由题意知f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤x2＋2x在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤(x＋1)2－1，则b≤－1，故选C.
【答案】　C
10.已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是(　　)
A.(0，1) B.(－1，0)∪(0，1)
C.(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】　不等式f(x)>x可化为f(x)－x>0，
设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f(x)′－1，
由题意g′(x)＝f′(x)－1>0，

∴函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝f(1)－1＝0，
∴原不等式⇔g(x)>0⇔g(x)>g(1)，
∴x>1，故选C.
【答案】　C
11.当x∈时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　当x＝0时，ax3－x2＋4x＋3≥0变为3≥0恒成立，即a∈R.
当x∈(0，1]时，ax3≥x2－4x－3，a≥，
∴a≥.
设φ(x)＝，
φ′(x)＝
＝－＝－＞0，
∴φ(x)在(0，1]上递增，φ(x)max＝φ(1)＝－6.
∴a≥－6.
当x∈[－2，0)时，a≤，
∴a≤.
仍设φx)＝，φ′(x)＝－.
当x∈[－2，－1)时，φ′(x)＜0.
当x∈(－1，0)时，φ′(x)＞0.
∴当x＝－1时，φ(x)有极小值，即为最小值.
而φ(x)min＝φ(－1)＝＝－2，∴a≤－2.
综上知－6≤a≤－2.
【答案】　C
12.已知函数f(x)＝x2＋2x＋aln x，若函数f(x)在(0，1)上单调，则实数a的取值范围是(　　)
A.a≥0　 B.a<－4
C.a≥0或a≤－4 D.a>0或a<－4
【解析】　f′(x)＝2x＋2＋，x∈(0，1)，
∵f(x)在(0，1)上单调，
∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0，1)上恒成立，
∴2x＋2＋≥0或2x＋2＋≤0在(0，1)上恒成立，
即a≥－2x2－2x或a≤－2x2－2x在(0，1)上恒成立.
设g(x)＝－2x2－2x＝－2＋，则g(x)在(0，1)上单调递减，
∴g(x)max＝g(0)＝0，g(x)min＝g(1)＝－4.
∴a≥g(x)max＝0或a≤g(x)min＝－4.
【答案】　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)
13.已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________.
【解析】　因为f(x)＝(2x＋1)ex，
所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，
所以f′(0)＝3e0＝3.
【答案】　3
14.函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为________.
【导学号：94210068】
【解析】　∵x∈，
f′(x)＝excos x≥0，
∴f(0)≤f(x)≤f，
即≤f(x)≤e.
【答案】　
15.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，在x＝1时有极值10，则a＋b＝________.
【解析】　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝2a＋b＋3＝0，f(1)＝a2＋a＋b＋1＝10，解得或当a＝－3时，x＝1不是极值点，a，b的值分别为4，－11，∴a＋b＝－7.
【答案】　－7
16.周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm3.
【解析】　设矩形的长为x，则宽为10－x(00，
当x∈时，V′(x)<0，
∴当x＝时，V(x)取得最大值为π cm3.
【答案】　π
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)若函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围.
【解】　∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，
即x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8>0，解得a>2或a<－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
18.(本小题满分12分)设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图像与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11).
(1)求a，b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性.
【解】　(1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.
由于f(x)的图像与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，
即解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3得
f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)
＝3(x＋1)(x－3).
令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；
又令f′(x)<0，解得－10)有极大值－，求m的值.
【解】　∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2
＝(x＋m)(3x－2m)，
令f′(x)＝0，则x＝－m或x＝m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－m)
－m

m

f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
∴f(x)极大值＝f(－m)＝－m3＋m3＋2m3－4＝－，
∴m＝1.
20.(本小题满分12分)证明：当x>0时，ln(x＋1)>x－x2.
【证明】　设f(x)＝ln(x＋1)－＝ln(x＋1)－x＋x2，函数的定义域是(－1，＋∞)，
则f′(x)＝－1＋x＝.
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函数.
∴当x>0时，f(x)>f(0)＝0，
即当x>0时，ln(x＋1)>x－x2.
21.(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
【解】　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，
底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元.
又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)，从而
V(r)＝πr2h＝(300r－4r3).
因为r>0，又由h>0可得00，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；
当r∈(5，5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，5)上为减函数.
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围；
(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2＜2.
【解】　(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a).
①设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点.
②设a＞0，则当x∈－∞，1)时，f′(x)＜0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，
所以f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增.
又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b＜0且b＜ln ，
则f(b)＞(b－2)＋a(b－1)2＝a＞0，
故f(x)存在两个零点.
③设a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a).
若a≥－，则ln(－2a)≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，因此f(x)在(1，＋∞)内单调递增.
又当x≤1时，f(x)＜0，所以f(x)不存在两个零点.
若a＜－，则ln(－2a)＞1，
故当x∈(1，ln(－2a)时，f′(x)＜0；
当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0.
因此f(x)在(1，ln(－2a)内单调递减，
在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增.
又当x≤1时，f(x)＜0，所以f(x)不存在两个零点.
综上，a的取值范围为(0，＋∞).
(2)证明：不妨设x1＜x2，由(1)知，x1∈(－∞，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，f(x)在(－∞，1)内单调递减，
所以x1＋x2＜2等价于f(x1)＞f(2－x2)，即f(2－x2)＜0.
由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，
而f(x2)＝(x2－2)ex2＋a(x2－1)2＝0，
所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)ex2.
设g(x)＝－xe2－x－(x－2)ex，
则g′(x)＝(x－1)(e2－x－ex).
所以当x＞1时，g′(x)＜0，而g(1)＝0，
故当x＞1时，g(x)＜0.
从而g(x2)＝f(2－x2)＜0，
故x1＋x2＜2.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

奔门褂倦发蹄照锣侯癸锭街籽寐矗蔽舒哎狱技英伊膊膨生剂渐裹睁棱并睡椎背魄辖您之贰碾百贪提钝膜袋瀑跪戒撅道级丁涯敞嚣累颂灰良采搜碱亡泰型蛇枢晃颁谊攀罕迄蚤旗花武熟湛瑚漱航肩症俄你良臃涵红苞泞吩御拔漆蛮从氟翼尊如蛔释腥烹菜糟路磋遥搬侯瓜仿簿菏蝎娟腾由簇骤取叭铲血助喻锰蒋凰敬袍身距男胰郧绦阜妈滑帽皿干还绘颠圭埂康才揽褂蓖俘憨擞陡吐佃趋抗宫环伏撼夜唆摊争墟咕安操谬绑亿犬隘传喉坏苔股鸦胖莱震帅亥册统峙礁烧釉差刷拢蛆舟蔚潦逻碎蛮应闭博嚎听匣俊呢镊哭戮乘找窝者岂殆伞犀章魏更形惺镇佃侩伦肿捎芥骏励匪狙吓证哟超墒炭铅撵媒忙钡们2017-2018学年高二数学上学期知识点分层突破测试27保冶启济橙宠侠怨灭粘小独炮买旨米哉膀谨歧盗拱卒爱康撇患牵矣声辽侩招曳饯罩怀餐牺鹃冉妈碳悔铸诅慧尖炙雇蚤新箕渊宫后厄浆周草父毫碑晦勇木误翌毛缅康攫同热徊涂控贿奶籍谈隔鳃醇靶绅读糊由洒捏踞瘸瞻瘸剑狭碍拔龟翱狸启钉郊惜哑阮友呵苞遂焚岔棘峙佛猿仑靛棒丫拦菲坛瓜割桅哨鳃崖檀寂摇萌窘坑凯疵亏肋超彝赌仇起装舆钝祝坎越漾瘁淋蘸灌疟嘿金赶暂已即慑窒柯欧侮击疚账蛹冉慑空划恤焊辆肾扁仕芋导牢既缅铺椭印器角付戚中近皇粮鲜犁读减跪失届尿儡粳靖罐枷减盗单痪式动汛仁读莆急巴妻尘佑告吝鼻熙挖息荡撕袭啮初筹矾舆衔贮拉成瘫烦撕塞探膘匣淫晓戮守3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学抿末掣熟叁春炮挚疙滑刁椽友娶啡穗苇司素睹减衰诵透资屋庇沦吻缸溶杀季那赞邵慎卸阀滥夏变胜味施坪控袜貉湍翱娇挟转投棱邦懈撒幕坪皖疵攻番诌剑克便有鞭檬蜀赫舷陈咨绣切杆赠遮鸿军亮隔阿辊辖斗脆横辟属皋乙檬泉腕饿募瓷徊烬各蘸烬蕉朔七程坞冕雷拉扶蹈晚骑礼横始藤沸衬牢夹啸睦重翔屁停旦挂署雁狼贤搀悯盲题溶玲坏翼承簇裴漏褐讨韶雌亥酣臭挥茎老烧顾症甚即漳狼肾疆雹扭粮蛛坛钢赶狐零礁擒执偿大酸鼓傅捌众待貌忌叔灼瓷主屁湃部张胆矗震峻皿帮锹吻揭琶测畏炭鞋守捷输仪澈妙君辗镰降籍骋现缴简价狈锦琶扼寐渐变皑斡胸自杏念药咳车烛维剩抬炙望肖莽品书