生命函数MicrosoftPowerPoint演示省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

保险精算学主讲教师 沈治中 第1页精算学精算学v精算学在西方已经有三百年历史，它是一门专门研究怎样处理保险业及其它金融业中各种风险问题定量方法和技术学科，是当代保险业、金融投资业和社会保障事业发展理论基础。当前，精算已经渗透到商业保险各个领域，并在投资机构、社会福利组织、政府咨询和监管等机构中发挥越来越主要作用。第2页中国精算师资格考试中国精算师资格考试v中国精算师资格考试分为两部分：准精算师部分和精算师部分。其中准精算师部分考试内容包含：v数学基础、数学基础、生命表基础、寿险精算实务、复利数学、非寿险精算数学与实务、综合经济基础、风险理论、非寿险精算数学（非寿险）、非寿险原理与实务（非寿险）、v非寿险定价（非寿险）、非寿险责任准备金评定（非寿险）。v 精算师部分考试内容包含：v保险企业财务管理（必）、保险法规（必）、个人寿险与年金精算业务（必）、社会保障、资产负债管理、非寿险保险监管与法律法规（必）、团体寿险、养老金计划精算实务。第3页职业结构职业结构vv1）保险企业）保险企业 2）咨询精算师）咨询精算师3）保）保险经纪人险经纪人 4）保险部门）保险部门5）其它政府机）其它政府机构构6、大学和学院、大学和学院7）银行和投资）银行和投资顾问顾问8）软件发展商和销售商）软件发展商和销售商9）服）服务于保险经济组织务于保险经济组织10、其它、其它 第4页简明介绍简明介绍v一、保险精算一、保险精算v 寿险精算寿险精算 非寿险精算非寿险精算v二、精算原理二、精算原理v大数法则大数法则v等价原理（保费收入等价原理（保费收入=支出支出)v三、寿险精算内容三、寿险精算内容v 保费保费 责任准备金责任准备金 现金价值现金价值 资产份额资产份额 红利红利 v四、寿险精算基础四、寿险精算基础v利息理论利息理论 生命表生命表v五、三要素五、三要素v利率利率 死亡率死亡率 费率费率 第5页第一章第一章生命分布函数生命分布函数第6页第一节第一节 生命普通分布函数生命普通分布函数v主要内容：主要内容：v1、生命状态、生命状态v2、死亡函数、生存函数、死亡函数、生存函数v3、余命函数、余命函数v4、取整余命、取整余命v5、几个生存函数假设、几个生存函数假设第7页一、生命状态一、生命状态v1、生存状态、死亡状态；v2、单生命状态、多生命状态。第8页二、x分布函数v1、死亡函数、死亡函数 设一个人从出生到死亡时间为x，即人寿命。是一个随机变量，用f(x)表示其分布函数，则：v 又称为0岁人在岁之前死亡概率。通常假定且F(x)是一个连续型随机变量。第9页2、生存函数、生存函数vs(x)用表示0岁人在x岁还活着概率，则：v 显然：显然：第10页3、0岁人在x1岁和x2岁之间死亡概率第11页例：设求：1）2）新生儿在30岁前死亡概率；3）新生儿活过50岁概率；4）新生儿在30岁和50岁之间死亡概率。第12页解：1）2）3）4）第13页三、三、T分布函数（余命函数）分布函数（余命函数）v设x岁人剩下寿命为T(x),简写为T。第14页1、（X）余命函数（死亡函数）v定义：(x)人在t年内死亡概率。第15页2、（X）生存函数。表示(x)岁人活过t年概率。（或活过x+t岁概率）第16页讨论v1）由上式得：v表示0岁人活过x+t岁概率等于x岁还活着概率乘以(x)活过t年概率。v2）第17页3、国际通用精算符号、国际通用精算符号v 表示(x)在t年内死亡概率v 表示(x)活过t年概率 v 表示(x)人活过t年在u年死亡概 率。第18页特殊：t=1时 v u=1时时v一些公式：第19页。第20页例：用精算符号表示以下概率v1）Pr(50)在 51岁之前死亡v2）Pr(22)活至23岁v3）Pr(22)活至24岁v4）Pr(35)在 55岁之前死亡或在70岁以后死亡v5）Pr(20)活至80岁v6）Pr(50)在 55岁和70岁之间死亡v7）Pr(50)在 52岁之前死亡第21页例：证实证：右边证：右边第22页例：已知解：1）2）3）求：第23页四、取整余命（四、取整余命（K分布函数）分布函数）v取K(x)=T(x)=K k=0,1,2,3-v表示(x)未来活过整多年。v取整余命函数v PrK(x)=k=PrkTk+1v =Fx(k+1)-Fx(k)第24页例：证实证：左边第25页五、生存函数解析表示式五、生存函数解析表示式v1、1729年 De Movire假设v2、1825年 Gomperz假设第26页。v3、1860年 Markham解析式v 4、1939年 Weibull解析式：第27页例：已知求：求：解：解：第28页第二节第二节 平均寿命与平均余命平均寿命与平均余命v主要内容主要内容v一、概率密度一、概率密度v二、平均寿命二、平均寿命v三、平均余命三、平均余命v四、取整平均余命四、取整平均余命v五、死亡力五、死亡力第29页一、概率密度v1、X概率密度概率密度v用用f(x)表示随机变量密度函数，则：表示随机变量密度函数，则：v2、T概率密度概率密度第30页二、平均寿命二、平均寿命vX期望值第31页三、平均余命三、平均余命vT期望值第32页四、取整平均余寿四、取整平均余寿vK期望值第33页例：已知：v。求：v解：v1）第34页2）。3）4）第35页五、死亡力五、死亡力v在瞬时死亡率称为死亡力，简称死力。v1、x岁时死亡力第36页2、x+t岁时死亡力v，第37页3、死亡力与概率密度关系v。第38页4、死亡力与生存函数v因：两边积分：两边积分：第39页。v同理：第40页5、几个常见死力假设、几个常见死力假设v（1）、）、De Moivre假设假设证实：在证实：在De Moivre假设下：假设下：第41页（2）、）、Gompertz假设假设(B、C为常数为常数)（3）、Markeham假设（4）、Weibull假设(A、B、C均为常数)第42页例：已知，死亡服从Markeham死亡律：解：得：第43页。v。第44页第三节第三节 生命表生命表v一、基本概念一、基本概念v生命表是用表格形式来反应生命改变规律。生命表是用表格形式来反应生命改变规律。v生命表又称死亡表，它是一定时期、一定数生命表又称死亡表，它是一定时期、一定数量人口从生存到死亡统计统计。它反应了整量人口从生存到死亡统计统计。它反应了整多年纪人在整多年纪内生存或死亡概率分布多年纪人在整多年纪内生存或死亡概率分布情况，是保费计算基础之一。情况，是保费计算基础之一。第45页特征：v1、生命表刻画是整多年纪人在整多年纪内生存和死亡概率；v2、是针对确定人群结构；v 性别、种族、保险类别v3、有确定基期人口。v 集合是封闭，一旦选定，就不能再进入。人数降低原因是死亡。第46页二、生命表类型二、生命表类型v生命表与人群性别、种族等各种原因相关，不一样划分标准，能够得到不一样生命表。生命表有以下类型：v1、国民生命表和经验生命表。、国民生命表和经验生命表。v2、寿险生命表和年金生命表。、寿险生命表和年金生命表。v3、男性生命表和女性生命表。、男性生命表和女性生命表。v4、选择生命表、选择生命表第47页三、生命表组成要素三、生命表组成要素v（1）设定了期初总人数；v（2）伴随年纪增加，活着人数降低，死亡人数增加，最终活着人数为零，死亡总人数等于期初总人数；v（3）有极限年纪。现实中，人群寿命不可能是无限，理论上，假设死亡总人数等于期初总人数时所对应年纪为极限年纪。第48页1、群体年纪、群体年纪。用x表示v生命表中年纪取值为0岁、1岁、2岁、3岁，.所以，生命表反应是离散型寿命规律，即K分布规律。v 为极限年纪。第49页2、生存人数、生存人数v 表示期初总人数，或者0岁初时总人数。v 表示1岁初还活着人数。v 表示2岁初还活着人数v v 表示x岁初还活着人数。第50页3、死亡人数、死亡人数 vx岁人在1年内死亡人数。v4、死亡概率、死亡概率 表示表示x岁人在岁人在1年内死亡概率年内死亡概率v5、生存概率、生存概率 表示表示x人活过人活过x+1岁概率岁概率(活过活过1年概率年概率)第51页四、各要素关系v。1、2、3、4、第52页。v5、v6、v7、第53页五、与生存函数关系v1、v2、v3、第54页六、其它公式v1、v2、第55页例：依据我国生命表，求以下概率。v。v解：v1）v2）v3）第56页例：依据我国生命表，求30岁人发生以下概率。v。1）活过80岁；2）在5年内死亡；3）在35岁死亡。v解：1）v2）v3）第57页例：填空xlxdxpxqx106 100107 40108 240.833109 3 0.2501101.0000.1672064360.3750.6250.6400.36040.750110.000第58页六、选择-终极生命表v1、概念v1）选择表 反应选择群体生命分布规律表叫选择生命表，也就是选择期内死亡率组成生命表。v选择生命表有以下要素：v ：被选择人年纪v ：被选择人到达年纪第59页：选择期v ：被选择人在1年内死亡概率 如：v表示73岁被选择，现年76岁人在一年内死亡概率。v通常有：A、在选择期内，相同年纪人，被选择时间越长，死亡率越大。第60页例：vB、伴随时间推移，上述差异会变小，最终消失。v如：r为最大选择期。第61页2）终极表 选择效果消失死亡统计表v在终极表中，相同年纪人死亡概率相同。v选择表 与选择年纪和到达年纪相关。v终极表 与到达年纪相关。第62页例：利用本节选择终极生命表计算v。解：第63页第四节第四节 非整多年纪生命分布假设非整多年纪生命分布假设v一、年纪内死亡均匀分布假设（一、年纪内死亡均匀分布假设（UDD假设）假设）令：令：1、第64页。v。密度函数：生存函数：死亡力：第65页。2、第66页例 在UDD假设下，求 v解：第67页例：利用本章生命表计算 v解：第68页例：利用本章生命表计算 v解：第69页例：证实：在UDD假设下第70页。第71页二、年纪内常数死力假设二、年纪内常数死力假设(几何插值法几何插值法)v令：v生存函数：v死亡函数：第72页密度函数：v死力：v。第73页例：在常数死力下求：v已知：v解：第74页三、调和插值法（三、调和插值法（Balducci假设）假设）v令：v生存函数：第75页死亡函数：v密度函数：v死力：第76页。v。第77页例：在调和插值法下求：第78页