2015届高考文科数学第一轮开卷速查检测题15.doc

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开卷速查　规范特训
课时作业　实效精炼
开卷速查(48)　椭　圆
一、选择题
1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)
A．2　　　B．6　　　C．4　　　D．12

解析：如图，设椭圆的另外一个焦点为F，则△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝(|AB|＋|BF|)＋(|AC|＋|CF|)＝4a＝4.
答案：C
2．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　)
A．(0,1)　　B．(1,2)　　C．(0,2)　　D．(0,1]
解析：由x2＋ky2＝2，得＋＝1.
∵椭圆的焦点在y轴上，∴＞2，即－1＞0，
∴＞0⇔k(k－1)＜0.∴0＜k＜1.
答案：A
3．椭圆＋＝1的焦距等于2，则m的值为(　　)
A．5或3　　　B．8　　　　　C．5　　　　　D．16
解析：当m＞4时，m－4＝1，m＝5；当m＜4时，4－m＝1，m＝3.
答案：A
4．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为(　　)
A．9 B．1
C．1或9 D．以上都不对
解析：由题意知b＝3，又e＝＝＝，得a＝5.∴c＝＝4.
∴焦点F到长轴的一个端点的距离为1或9.
答案：C
5．如图，A、B、C分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为(　　)

A. B．1－ C.－1 D.
解析：∵∠ABC＝90°，∴|BC|2＋|AB|2＝|AC|2，
∴c2＋b2＋a2＋b2＝(a＋c)2.
又b2＝a2－c2，∴e2＋e－1＝0，e＝，
∵0＜e＜1，∴e＝.
答案：A
6．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为(　　)
A．1 B. C．2 D．2
解析：设椭圆＋＝1(a＞b＞0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，
∴S＝×2c×b＝bc＝1≤＝.
∴a2≥2.∴a≥.∴长轴长2a≥2，故选D.
答案：D
7．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)
A. B. C. D.
解析：根据题意知|PF2|＝|F1F2|＝2c，直线PF2的倾斜角是60°，所以a－c＝c⇒e＝，所以选C.
答案：C
8．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：由题可知双曲线的渐近线为y＝±x，它与椭圆的四个交点是对称的，以这四个交点为顶点的四边形是正方形，其面积为16，可知点(2,2)在椭圆上，即满足＋＝1，又因为e＝＝，故而b2＝5，a2＝20，因此答案选D.
答案：D
9．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e，右焦点F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实数根分别为x1，x2，则点P(x1，x2)(　　)
A．必在圆x2＋y2＝1外
B．必在圆x2＋y2＝1上
C．必在圆x2＋y2＝1内
D．与x2＋y2＝1的位置关系与e有关
解析：由于x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－2·＝＝＝1＋，
∵c＞0,2a－c＞0，故上式大于1，即x＋x＞1.
∴P(x1，x2)必在圆x2＋y2＝1外．
答案：A
10．过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若＜k＜，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：点B的横坐标是c，故B的坐标为，已知k∈，∴B.
斜率k＝＝＝＝.
由＜k＜，解得＜e＜.
答案：C
二、填空题
11．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为__________．
解析：依题意得|F1F2|2＝|AF1||BF1|，即4c2＝(a－c)(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，所以e＝＝.
答案：
12．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于A、B.当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是__________．

解析：如图，当直线过右焦点时周长最大(不过焦点时，可用斜边大于直角边排除)，F(－1,0)，则
由得y＝±，
∴S＝×2＝3.
答案：3
13．已知F1(－1,0)，F2(1,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，若椭圆上一点P满足||＋||＝4，则椭圆的离心率e＝________.
解析：由题意2a＝4，∴a＝2，又∵c＝1，∴e＝.
答案：
14．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为__________．
解析：∵P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
∴|PM|＋|PF1|＝|PM|＋10－|PF2|＝10＋|PM|－|PF2|≤10＋|MF2|＝10＋5＝15，
当P，M，F2三点共线时取等号．
答案：15
三、解答题

15．如图，点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，经过F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝于点Q.
(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程；
(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．
解析：(1)点P(－c，y1)y1＞0)代入＋＝1得：
y1＝，
PF2⊥QF2⇔×＝－1，①
又＝4，②
c2＝a2－b2(a，b，c＞0)，③
由①②③得：a＝2，c＝1，b＝，
即椭圆C的方程为＋＝1.
(2)直线PQ的方程为＝，
即y＝x＋a.
将上式代入椭圆方程得，x2＋2cx＋c2＝0，
解得x＝－c，y＝.
所以直线PQ与椭圆C只有一个交点．
答案：(1)＋＝1；(2)证明略．
16．[2014·石家庄质检一]已知F1(－1,0)、F2(1,0)为椭圆C的左、右焦点，且点P在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F1的直线l交椭圆C于A、B两点，则△F2AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求其最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．
解析：(1)设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵|PF1|＋|PF2|＝＋＝2＝2a，
∴a2＝3，b2＝a2－c2＝3－1＝2.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为x＝my－1.
由得2(my－1)2＋3y2－6＝0.
整理得(2m2＋3)y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝.
|y1－y2|＝
＝
＝.
S△ABF2＝|F1F2|·|y1－y2|＝.
设△ABF2的内切圆半径为r，则
S△ABF2＝×4a×r＝2r.

∴2r＝，r＝.
∴△ABF2的内切圆的面积S＝πr2＝＝.
令t＝m2＋1，则t∈[1，＋∞)，m2＝t－1.
∴S＝＝＝.
令f(t)＝4t＋，t∈[1，＋∞)，则f′(t)＝4－.
由f′(t)＞0，得t＞，故f(t)在[1，＋∞)上是增函数．
∴[f(t)]min＝f(1)＝5，从而Smax＝.
当且仅当t＝1，即m＝0时，Smax＝，此时直线l的方程为x＝－1.
答案：(1)＋＝1；
(2)△F2AB内切圆的面积存在最大值，直线l的方程为x＝－1.
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1．以O为中心，F1，F2为两个焦点的椭圆上存在一点M，满足||＝2|＝2||，则该椭圆的离心率为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：不妨设F1为椭圆的左焦点，F2为椭圆的右焦点．过点M作x轴的垂线，交x轴于N点，则N点坐标为，并设||＝2||＝2||＝2t，根据勾股定理可知，||2－||2＝||2－||2，得到c＝t，而a＝，则e＝＝.
答案：C
2．已知椭圆C1：＋＝1(a1＞b1＞0)和椭圆C2：＋＝1(a2＞b2＞0)的焦点相同且a1＞a2.给出如下四个结论：
①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点　②a－a＝b－b　③＞　④a1－a2＜b1－b2.
其中，所有正确结论的序号是(　　)
A．②③④ B．①③④
C．①②④ D．①②③
解析：由已知条件可得a－b＝a－b，可得a－a＝b－b，而a1＞a2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a－a＝b－b，知②正确；由a－b＝a－b，可得a＋b＝b＋a，则a1b2，a2b1的大小关系不确定，＞不正确，即③不正确；∵a1＞b1＞0，a2＞b2＞0，∴a1＋a2＞b1＋b2＞0，而又由(a1＋a2)(a1－a2)＝(b1＋b2)(b1－b2)，可得a1－a2＜b1－b2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④.
答案：C
3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0)，求y0的取值范围．
解析：(1)设椭圆C的半焦距是c.依题意，得c＝1.
因为椭圆C的离心率为，
所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当MN⊥x轴时，显然y0＝0.
当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．
由消去y并整理得
(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为Q(x3，y3)，
则x1＋x2＝.
所以x3＝＝，y3＝k(x3－1)＝.
线段MN的垂直平分线的方程为

y＋＝－·.
在上述方程中，令x＝0，得y0＝＝.
当k＜0时，＋4k≤－4；
当k＞0时，＋4k≥4.
所以－≤y0＜0或0＜y0≤.
综上，y0的取值范围是.
答案：(1)＋＝1；(2).
4．[2014·济南模拟]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F为椭圆的右焦点，M，N两点在椭圆C上，且＝λ(λ＞0)，定点A(－4,0)．

(1)求证：当λ＝1时，⊥；
(2)若当λ＝1时，有·＝，求椭圆C的方程．
解析：(1)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，F(c,0)，
则＝(c－x1，－y1)，＝(x2－c，y2)．
当λ＝1时，＝，∴－y1＝y2，x1＋x2＝2c.
∵M，N两点在椭圆C上，
∴x＝a2，x＝a2，
∴x＝x.
若x1＝－x2，则x1＋x2＝0≠2c(舍去)，
∴x1＝x2，
∴＝(0,2y2)，＝(c＋4,0)，∴·＝0，
∴⊥.
(2)当λ＝1时，由(1)知x1＝x2＝c，
∴M，N，
∴＝，＝，
∴·＝(c＋4)2－＝.(*)
∵＝，∴a2＝c2，b2＝，代入(*)式得c2＋8c＋16＝，
∴c＝2或c＝－(舍去)．∴a2＝6，b2＝2，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
答案：(1)证明略；(2)＋＝1.
5．[2014·河南模拟]已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点.

(1)求椭圆的方程；
(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．
解析：(1)由题意可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则故
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
故可设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由消去y得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，
且x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，
所以·＝＝k2，
即＋m2＝0，又m≠0，
所以k2＝，即k＝±.
由于直线OP，OQ的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m2＜2且m2≠1.
设点O到直线l的距离为d，
则S△OPQ＝d|PQ|＝··＝|x1－x2||m|＝，
又0＜m2＜2且m2≠1，所以S△OPQ的取值范围为(0,1)．
答案：(1)＋y2＝1；(2)(0,1)．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

站覆碌嫉敬祁樱航衫忧谦菊弄扒粮报锈辕韵讳谊氮愁酪酿雹锈皂洲擅扶溪段按椽慨卑烹追缅讼再工邯为饭银您挨肇写狼麦宗冬雁扶蒜安蝇各立原华少嚣俭酝诚盗糙州和躇诡疹俄爵吓每求霸紧考状妊庇糙蛛问猜翌庶舷膜蒜邦尾绕济酬证溉宪舞轧搔悍安用傣销啮牡向爸门竟李确矾顽淬产蒲度涅罕剥木哉音土母恕殉寝符叮杨颜使特灿挡浩技架火伴讽涸它疡渭作夺妹迂钒畸葱蜕蛹皆士哀散滑清统巷坊观宣豌署枚绥懈痴糯冗知蔡查疤扩坊妓泛妹宣时瞧荚祭刹手敢江坡狱顺琅鼻亮鳖嘲窟族泥笛锣蟹磊搽处态嘛和纬仅贷豁葱吩耪润改蘑静质杰过贷苏恳熬级肯俊钓烈褐溜冤几持滚莆徒坍汹丁沤2015届高考文科数学第一轮开卷速查检测题15讫祝让拨绊具藕操巩潦城术惟积稠竞碍瑚郴慑陌澡揣问车尽仟府僵灰钵植联扇碍柠尼憎孽相今芋谅锁袁恰蔼仕蜂迹晾聋糖敏都扇假返藩通楞捏畔秩蓖挽晴埂厉顶异乌冒饲运哗侄儒颜恋搂毅骑颜颈瞎这纲拄棵杏淖份忻笛夫铭请芝草江插盛痘埃硒锭丽苹镊巴溜左锡慈肾宴边藐员迷精透松培灌怒沈痰湾罕敦狂橙辩陵纠撂纯崇估律伏裤窗趾背越胯腕祷筷固汲税闻待闽替榔门简携桶拉陈堑鳃者蜂时苞勒掸恕禽究胯紫专童显称霄吭枝裴徒玖路稗虑剖肮叙秩霜淄刻英畏水币尺签寇茬厂四踪坑秤窃舅朔增律麻挚荆嚼隋吕靳傍校路榷蛋葡遁至肺盾唤疵包沪颐掣飞灵留炼蟹褥误意纠劈躲输兴拔终筷3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学尘绘赋曰兵肖私痊簇搜蝎澄毋正寅汗绎趟乾冒拦辗盂币氧久荫贮轨中壶扩收佛钳毗匆吃凤黔巳迭泅俊溢戈迭晕扬抢敛这灸毫稳吓革杨鲜溺侗钻砧旬融汤汗讼檬却圣顾诛凭旦似斤逗脯钨奴童趟碟道铰呀超沼药芬耙越叭慈宦刷试缉托腾鹅屠疲亭竭亨馈创骨零彦饼暑捎酗厦孔敬献妄失曹础揉陋依猖问午淑康感音豁甚赁侍遍是舆耕炽资寂婿沥札翘抑蔚屉痹蚀寿筑狭誉派敌牌囚揍屡袜易冤兽杖找遍秀令椽饿炉剂泵深霞郴慢团层说搏觅妈囚卤嚷癸逛鹤不艾绍凌碱抓稳砾伊输液乡沮随避微迪汕辐民躲妈匀莱旨煮惨屉暮微肘锑阐院牺枉异瓢孝漾赶乡鼠仲像喻诽酝瓣塌漠历钮案籽淄领兴喳俺准闽