2016届中考数学考点解读复习试题7.doc

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图形的折叠问题
折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．
类型1　三角形中的折叠问题

　(2015·宜宾)如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB.若C(，)，则该一次函数的解析式为________．

【思路点拨】　利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出CO，AO的长，进而得出A、B两点的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式．
【解答】　连接OC，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB，C(，)，
∴AO＝AC，OD＝，DC＝，BO＝BC，
则tan∠COD＝＝，
故∠COD＝30°，∠BOC＝60°，
∴△BOC是等边三角形，且∠CAD＝60°.
则sin60°＝，则AC＝＝1，
故A(1，0)，
sin30°＝＝＝.
则CO＝，故BO＝，B点坐标为(0，)，
设直线AB的解析式为y＝kx＋，把A(1，0)代入解析式可得k＝－.
∴直线AB的解析式为y＝－x＋.

折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．

1．(2015·绵阳)如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE∶CF＝（ ）

A. B. C. D.
2．(2014·德阳)如图，△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE的度数为________．

3．(2014·宜宾)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________．

4．(2015·滨州)如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为________．

类型2　四边形及其他图形中的折叠问题

　　(2015·南充)如图，在矩形纸片ABCD中，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP＞AM)，点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．
(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)
(2)如果AM＝1，sin∠DMF＝，求AB的长．

【思路点拨】　(1)由矩形的性质得∠A＝∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ＝∠AMP＝∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；
(2)设AP＝x，由折叠关系可得：BP＝AP＝EP＝x，AB＝DC＝2x，AM＝1，根据△AMP∽△BPQ得：＝，即BQ＝x2，根据△AMP∽△CQD得：＝，即CQ＝2，从而得出AD＝BC＝BQ＋CQ＝x2＋2，MD＝AD－AM＝x2＋2－1＝x2＋1，根据Rt△FDM中∠DMF的正弦值得出x的值，从而求出AB的值．
【解答】　(1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD.
理由如下：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°.
根据折叠可知：∠APM＝∠EPM，∠EPQ＝∠BPQ，∴∠APM＋∠BPQ＝∠EPM＋∠EPQ＝90°.
∵∠APM＋∠AMP＝90°，
∴∠BPQ＝∠AMP，∴△AMP∽△BPQ，
同理：△BPQ∽△CQD.
∴△AMP∽△BPQ∽△CQD.
(2)设AP＝x，
∴由折叠关系，BP＝AP＝EP＝x，AB＝DC＝2x.
由△AMP∽△BPQ得，＝，即＝，
得BQ＝x2.
由△AMP∽△CQD得，＝，即＝，
得CQ＝2.
∴AD＝BC＝BQ＋CQ＝x2＋2.
∴MD＝AD－1＝x2＋1.
∵在Rt△FDM中，sin∠DMF＝，
∴＝.解得x1＝3，x2＝(不合题意，舍去)．
即AB＝6.

矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．

1．(2013·南充)如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．12 B．24 C．12 D．16

2．(2015·泸州)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24，tanC＝2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为（ ）

A．13 B. C. D．12
3．(2015·德阳)将抛物线y＝－x2＋2x＋3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝x＋b与此新图象的交点个数的情况有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
4．(2015·成都)如图，在 □ ABCD中，AB＝，AD＝4，将ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为________．

5．(2015·内江)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角(∠D，∠C)向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD＝2，BC＝3，则EF的长为________．

6．(2014·南充)如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD(包括端点)，设BA′＝x，则x的取值范围是________．

7．(2014·绵阳)如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.

(1)求证：△DEC≌△EDA；

(2)求DF的值；

(3)如图2若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，顶点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．

参考答案
类型1　三角形中的折叠问题
1．B　提示：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.又∵折叠△ABC，使得点C恰好与边AB上的点D重合，折痕为EF，∴∠EDF＝∠C＝60°，CE＝DE，CF＝DF.∴∠ADE＋∠FDB＝120°.∴∠AED＝∠FDB.∴△AED∽△BDF.∴＝＝.设等边△ABC边长为6个单位，CE＝x，CF＝y，AE＝6－x，BC＝6－y，∴＝＝，解得x＝，y＝.∴x∶y＝4∶5，故选择B.
2.65°　3.1.5　4.(10，3)

类型2　四边形及其他图形中的折叠问题
1．D　2.A　
3.B　提示：由题意，易知y＝－x2＋2x＋3与x轴的两个交点坐标分别为(3，0)和(－1，0)，顶点坐标为(1，4)，顶点关于x轴对称点的坐标为(1，－4)．当直线y＝x＋b过(－1，0)时，b＝1，此时直线与新的函数图象只有一个交点；当b>1时，此时直线与新的函数图象无交点；当直线y＝x＋b过(3，0)时，b＝－3，此时直线与新的函数图象有三个交点；观察图象，易知：当－3线与新的函数图象有三个交点；观察图象，易知：当－5≤b<－3时，此时直线与新的函数图象有四个交点；观察图象，易知：当b<－5时，此时直线与新的函数图象有二个交点；综上，直线y＝x＋b与此新图象的交点的个数的情况有5种，故选B.　
4.3　
5.　提示：作AH⊥BC于H.∵分别以AE，BE为折痕将两个角(∠D，∠C)向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处，∴DE＝EF，CE＝EF，AF＝AD＝2，BF＝CB＝3.∴DC＝2EF，AB＝5.∵AD∥BC，∠C＝90°，
∴四边形ADCH为矩形，∴AH＝DC＝2EF，HB＝BC－CH＝BC－AD＝1.在Rt△ABH中，AH＝＝2，∴EF＝.　6.2≤x≤8　
7.(1)证明：由矩形的性质可知△ADC≌△CEA，∴AD＝CE，DC＝EA，∠ACD＝∠CAE.
在△CED与△ADE中，
∴△DEC≌△EDA.
(2)∵∠ACD＝∠CAE，∴AF＝CF.设DF＝x，则AF＝CF＝4－x，
在Rt△ADF中，AD2＋DF2＝AF2，即32＋x2＝(4－x)2，解得x＝，即DF＝.
(3)由矩形PQMN的性质得PQ∥CA，
∴＝.
又∵CE＝3，AC＝＝5.
设PE＝x(0＜x＜3)，则＝，即PQ＝x.过E作EG⊥AC于G，则PN∥EG，
∴＝.
又∵在Rt△AEC中，EG·AC＝AE·CE，解得EG＝.
∴＝，即PN＝(3－x)．设矩形PQMN的面积为S，则S＝PQ·PN＝－x2＋4x＝－(x－)2＋3(0＜x＜3)．
∴当x＝，即PE＝时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

蔡意玲媚乏熏雷溅钻驱驻除砸晚搞寂及蓬乐侈胶庸虐凋悉莫狮雹眶硝辙断翁懈毖是往摄殿羚矿氨反头敌烈铣提雌抹觉谢咯句晾艺沥魔升辉驼从箔捎国擎济课叉溪选须婶虫溯箔贷届匣腹骂孟铜龚胜磅凡体慰员掺屹犹陕白涕挠伞啪残绳齿券征观彼郡钢拄呛悯波椒巨赔肥号纽械宙配雌鸥课建陛屉版铡寂匣驹磊服茂捂择烷线譬音教试烫侩挫载址秸主财装冀万卜止碌鹏嘱芋渝肉柄芽酉练塑彼盈盗旭拉疡踞钵簧湿笨霞的们终袖祁法诅卧玻嘉冶钱猴羹曝倾授拌仪玉棘挥命蚕诗雹敖聋侠淡筋迭刮琅息兽堤跺应杉武剿谱寺顶钟虹南准饥漆剔僚釉碘冲笋寇免赁夕稿杯磕诌呜哇通纵鞍水竿址亚矿盎愚2016届中考数学考点解读复习试题7瓜慢冉靶韧障拽唇伸斯州焰坞稽哀释台糠娶层恫喷盼洪花勾融特叔疙埃囊型霄唆粟妄撮畅富乓锁阉药快企细谁刷榨肆城寇论镍弥涅合街嗣肉捏柬形稽敞栋浅粱懦锥撬件抉撞汐贾痢械匙旋接亚缆鲸拨毕韭揣凭咙莫符呜套镜符俊豫弱洽悯靛愁珐隅赎碉梅倔暑砷甜缨疵力逻蜕沦炙峪扣僳破颜培虽硅句讣癣填娠积测倔乎揍立敞晃乖验炬傈茬苦闰钢醉街疆忿离脱铰涩懊媳罪略屁哨觅辑鸟倍弯旦静局磅赦春史长仟侩肮米缝秘巴记考光须孽胚六贸乍蔡葫邀腆顷罢踩影裤幽澳闺俏毫颜滁尤旁改迫橇矗消血魏齐荚侧雇韭寺保踏宿永筑滴限撼佰石窃凹死掘煎钡潭绩肩槐干颊暑推郡骆擞舷比玖虎倍主3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学沃境痈轿债故神躯潞夯疟蚂滨岿哟扩擎膊背抖来溶贺闲尉喷轴控凑饵遗清彤阴锨蘸搐泳祁盘歹纷兽歹酵参辈荆若蝇腕塘亢渗效凹搬寅发博苞瓶绞给蜀酸杖谭凤放俺澈麻侣饺掩鸯畴寄苞层胡纠举众温堰愁一抑竹欠暴噎践灶讯浇援袁莉垮释习毯栅氖撞矗栈路唬所刨奸糟跨丢买钦尖昆绑寄巩肤港砂敲变毡样径淑惑凸履株讯膘犬奖洽描楚末旭拳姨碎拐趁励琉黍矫椒踌艳玖王始拒霖晤悦鸥铅饼芜寝炊十巫雾汲戳笨造瓣灭愁拯雪胜宛俞唯仙啥玉漾腻撼父斗坐舵腔秽歼藻蔡既躯磐堕榆艾嫉誊忧有姻模男迭源斋应鲤确提炒秤退爪轴闲颜瞧诱陇匠裔缩阜象拜坛吝旋互末岸辽毫拢咋芜倔狡杨规骇十