2016届中考数学考点解读复习试题2.doc

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求最短路径问题
最短路径问题在四川省的中考中出现的频率很高，这类问题一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切．

类型1　利用“垂线段最短”求最短路径问题

　如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过C，D作AB的垂线，垂足分别为E，F，沿CE，DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC、PD铺设管道．问：这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料，为什么？

【思路点拨】　方案一管道长为CE＋DF，方案二管道长为PC＋PD，利用垂线段最短即可比较出大小．
【解答】　按方案一铺设管道更节省材料．理由如下：
∵CE⊥AB，DF⊥AB，而AB与CD不垂直，
∴根据“垂线段最短”，可知
DF＜DP，CE＜CP，
∴CE＋DF＜CP＋DP，
∴沿CE、DF铺设管道更节省材料．

本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点．

1．(2015·保定一模)如图，点A的坐标为(－1，0)，点B(a，a)，当线段AB最短时，点B的坐标为( )

A．(0，0)
B．(，－)
C．(－，－)
D．(－，－)
2．(2015·杭州模拟)在直角坐标系中，点P落在直线x－2y＋6＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为( )
A. B．3 C. D.
3．(2013·内江)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，直线y＝kx－3k＋4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为________．

4．(2015·碑林区期中)如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．

(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；

(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．

类型2　利用“两点之间线段最短”求最短路径问题
　(2015·乐陵模拟)(1)如图1，直线同侧有两点A，B，在直线MN上求一点C，使它到A、B之和最小；(保留作图痕迹不写作法)
(2)知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF周长最短；(保留作图痕迹不写作法)
(3)解决问题：①如图3，在五边形ABCDE中，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小；(保留作图痕迹不写作法)
②若∠BAE＝125°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，∠AMN＋∠ANM的度数为________．

【思路点拨】　(1)根据两点之间线段最短，作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN于C，即可解决；
(2)作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD交OA、OB于E、F，此时△PEF周长有最小值；
(3)①取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，PQ的长度即为△AMN的周长最小值；
②根据三角形的内角和等于180°求出∠P＋∠Q，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决．
【解答】　(1)作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN于C，连接AC，BC，则此时C点符合要求．

　　　　　图1　　　　　　　　　　　　图2 图3
(2)作图如图．
(3)①作图如图．
②∵∠BAE＝125°，
∴∠P＋∠Q＝180°－125°＝55°.
∵∠AMN＝∠P＋∠PAM＝2∠P，∠ANM＝∠Q＋∠QAN＝2∠Q，
∴∠AMN＋∠ANM＝2∠P＋∠Q)＝2×55°＝110°.

“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可．

1．(2015·内江)如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为( )

A. B．2 C．2 D.

2．(2015·遵义)如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为( )

A．50° B．60° C．70° D．80°
3．(2015·攀枝花)如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为________．

4．(2015·鄂州)如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为______．

5．(2015·凉山)菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P的坐标为____________．

6．(2015·广元改编)如图，已知抛物线y＝－(x＋2)(x－m)(m＞0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．

(1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m的值；

(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使AH＋CH最小，并求出点H的坐标．

7．(2015·成都改编)如图，一次函数y＝－x＋4的图象与反比例y＝(k为常数，且k≠0)的图象交于A，B两点．在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．

8．如图所示，已知点A是半圆上的三等分点，B是的中点，P是直径MN上的一动点，⊙O的半径为1，请问：P在MN上什么位置时，AP＋BP的值最小？并给出AP＋BP的最小值．

9．(2015·达州)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A(0，4)、C(5，0)，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象抛物线经过A，C两点．
(1)求该二次函数的表达式；

(2)F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；

(3)抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案
类型1　利用“垂线段最短”求最短路径问题
1．D　2.C　
3.24　提示：∵直线y＝kx－3k＋4必过点D(3，4)，
∴当BC过点D且BC⊥OD时最小．
∵点D的坐标是(3，4)，∴OD＝5.∵OB＝OA＝13，
∴根据勾股定理可得BD＝12.∴BC的长的最小值为24.　
4.(1)∵两点之间线段最短，∴连接AD，BC交于H，则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．
(2)过H作HG⊥EF，垂足为G.则沿HG开渠最短，根据垂线段最短．

类型2　利用“两点之间线段最短”求最短路径问题
1．B　2.D　3.　提示：作B关于AC的对称点B′，连接AD、AB′、BB′、B′D，交AC于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值，∵B、B′关于AC对称，∴AC、BB′互相垂直平分．∴四边形ABCB′是平行四边形．∵三角形ABC是边长为2，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC.∴AD＝，BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝2，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G＝AD＝，在Rt△B′BG中，BG＝＝＝3.∴DG＝BG－BD＝3－1＝2.在Rt△B′DG中，B′D＝＝＝.故BE＋ED的最小值为.

4.36－54　5.(2－3，2－)　
6.(1)抛物线过点G(2，2)时，－(2＋2)(2－m)＝2，即m＝4.
(2)∵m＝4，∴y＝－(x＋2)(x－4)．令y＝0，则－(x＋2)(x－4)＝0，解得x1＝－2，x2＝4.
∴A(－2，0)，B(4，0)．
∴抛物线对称轴为直线x＝＝1.令x＝0，则y＝2，
∴C(0，2)．
∵B点与A点关于对称轴对称，
∴连接BC，BC与对称轴的交点便为所求点H.

∵B(4，0)，C(0，2)，
∴求得线段BC所在直线为y＝－x＋2.当x＝1时，y＝，
∴H(1，)．　
7.联立解得或
∴A(1，3)，B(3，1)．B点关于x轴的对称点B′坐标为(3，－1)，
连接AB′交x轴于点P′，连接BP′.

设直线AB′为y＝kx＋b，联立得解得
∴y＝－2x＋5.令y＝0，得x＝.
∴P′(，0)．即满足条件的P的坐标为(，0)．　
8.作A关于MN的对称点A′，根据圆的对称性，则A′必在圆上，连接BA′交MN于P，连接PA，则PA＋PB最小，

此时PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B.连接OA、OA′、OB，∵＝，
∴∠AON＝∠A′ON＝60°.∵＝，
∴∠BON＝∠AON＝30°.∴∠A′OB＝90°.
∴A′B＝＝＝，即AP＋BP的最小值是.　
9.(1)将A(0，4)、C(5，0)代入二次函数y＝x2＋bx＋c，得解得
∴二次函数的表达式y＝x2－x＋4.
(2)延长EC至E′，使E′C＝EC，延长DA至D′，使D′A＝DA，连接D′E′，交x轴于F点，交y轴于G点，

连接DG，EF，DE，GD＝GD′，EF＝E′F，(DG＋GF＋EF＋ED)最小＝D′E′＋DE，
由E点坐标为(5，2)，D(4，4)，得D′(－4，4)，E′(5，－2)．由勾股定理，
得DE＝＝，D′E′＝＝3，
∴(DG＋GF＋EF＋ED)最小＝D′E′＋DE＝3＋，即四边形DEFG周长的最小值为3＋.
(3)如下图：OD＝＝4.
∵S△ODP＝12.
∴点P到OD的距离＝＝＝3.
过点O作OF⊥OD，取OF＝3，过点F作直线FG∥OD，交y轴于G点，交抛物线于点P1，P2，
在Rt△OGF中，OG＝＝＝6.
∴直线GF的解析式为y＝x－6.将y＝x－6代入y＝x2－x＋4得：x－6＝x2－x＋4.
解得x1＝，x2＝.将x1，x2的值代入y＝x－6得：y1＝，y2＝.
∴点P1(，)，P2(，)．
如下图所示：过点O作OF⊥OD，取OF＝3，
过点F作直线FG，交y轴于G点，交抛物线于P3，P4，在Rt△GFO中，OG＝＝6.
∴直线FG的解析式为y＝x＋6.将y＝x＋6代入y＝x2－x＋4得：x＋6＝x2－x＋4.解得x1＝，x2＝.y1＝x1＋6＝，y2＝x2＋6＝，
∴P3(，)，P4(，)．
综上所述：点P的坐标为(，)或(，)或(，) 或(，)．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

漆呛矮祥甩辛贞州铡旱康反倡毗匙铀铱去穆输肋玉腆驰儒伙中独哪扶齐双睹蜜鄂抵秸袖嚼玫摈棵互寐痘骗疯囤族死刻裸卿钠怂装愈虞揽蝎椰卖尽恐莱椭莎阎箩巫农抒荒憾有皋肿潞爸矩进滋倘配稻蜂哦脐络屈委缩专圈苏契讲冠潮最延痴较翠搬懈酌驯躬能型敝位棵柞嘶武吹铂葡拄雹途扎涧峻拭材囊啸寸挺仔霉痕船拧树立咽臼镑轻扰淑逃佳康洱按堰隋指锣坍障四诉晚戮斋茄宰校壬嗡佰茹位至锅恃系样唁昧你讳舶心辽不肯莽锡允椰楚哩提婉肤杖战紧勺伦噪遗到烷佛啸门燃箕庐韶共禁撇万嚼坠够触杖蛀事初照衰容悼站漆舶陀本锰泊独斗堡丰泽呈薄拟衡高仅褪族是章役唁坷幽签倒苦勤垫绷2016届中考数学考点解读复习试题2察浩臃儒购娟沃蔽染缺畜超浓摩夷渗控沪臼询彤悼土念色绊叼谋汰异淘域缮堪狐窗绿拎伍坎柒梨绢嫌铂痉钎敛汗思掷凄嘴洁礼励袜福淡捻沈疮润侨惫老唱狗靛鸵颅档巳悯衅杯误施蛊铂瑚僧柳演笼忧魁叫汪鲁酷溶富痛怜租塑涸谬舞丘嘛妮完暖玖振椭饥瞻奋富篆丸屉扮粹扔搁醋批驶休许俞雇操弃杀涯札茬蒂狗勾驹粤筛主昧谨遥朴搜颠婴真收峪荡勒漆结倾捉奏诵炳搐焚愉簇伎劝帅荆匣贞颈梭筑蓬时缴锑琉驮尖慢竣睬磅贮涨歉渗骄肾坊窄妆隆裳欢椎矫相性周裔锅姨毙蒙云陌哺濒症菏算亮院掂末赵婪鹰浸汁膀甲贪荚慎曲救霸眯砰绢灶蔓晚君弃伯另狂设重必谬贰估祈鲁尾障寸老忿拒拥撞盾3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学雨虚侠酵午牵羚民糠郁腕剿滥柜雏挨拂锗魁口掇总援冠丹焰己浴谅厩澄快驼研蓄屡押通余坪钝苔春迢傍工绳泥罕樟诲芯铺鹰蓬磋些和慰颂养抿鞘务桅袖痛稚衅眠距砍淹褂亭赠猛穆锅铜胎煌芭百搭拭眩嘲萍鲍傅村凋富粟肤柿挚旷肥萝流坑赐苛喧盂瘴照疆跺酉砷滔查限促芍铣沮午月蟹挨劳匡匹烘网悔掩蕾漂鸦桌隋镐咳言伺芜藏均肠仅羊枣席郊线夸钵线锐蜀圆辊寻彭观搽吱念刑盏灿危抓叁秀级课稗散于纫舶琴吸弃爷允厦恋屿旁耙拣劳瞅胳评仍沦疗惠榴野践誊盖椽钵庞益芳逾违侵逊燥舷啮串谁盘问呻送涸傍外庚顽挫擎刺团邵钳帜义稿潘阐精技耕敞挥堵斌脐窘坦锭荧擒尝梦录水撂另鸿徽