1、第四节两类问题:在收敛域内和函数求 和展 开本节内容本节内容:一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第1页一、泰勒一、泰勒(Taylor)级级数数 其中(在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项拉格朗日余项.则在若函数某邻域内含有 n+1 阶导数,此式称为 f(x)n 阶泰勒公式阶泰勒公式,该邻域内有:第2页为f(x)泰勒级数泰勒级数.则称当x0=0 时,泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数.1)对此级数,它收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为 f(x)?待处理问题:若函数某邻域内含有任意阶导数,第3页定理定理1.各阶导数
2、,则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数充要条件是 f(x)泰勒公式中余项满足:证实证实:令设函数 f(x)在点 x0 某一邻域 内含有第4页定理定理2.若 f(x)能展成 x 幂级数,则这种展开式是唯一,且与它麦克劳林级数相同.证证:设 f(x)所展成幂级数为则显然结论成立.第5页二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1.直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在 x=0 处值;第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R;第三步 判别在收敛区间(R,R)内是否为骤以下:展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0.函数展开第6页
3、例例1.将函数展开成 x 幂级数.解解:其收敛半径为 对任何有限数 x,其余项满足故(在0与x 之间)故得级数 第7页例例2.将展开成 x 幂级数.解解:得级数:其收敛半径为 对任何有限数 x,其余项满足第8页类似可推出:第9页例例3.将函数展开成 x 幂级数,其中m为任意常数.解解:易求出 于是得 级数因为级数在开区间(1,1)内收敛.所以对任意常数 m,第10页则为防止研究余项,设此级数和函数为第11页称为二项展开式二项展开式.说明：说明：(1)在 x1 处收敛性与 m 相关.(2)当 m 为正整数时,级数为 x m 次多项式,上式 就是代数学中二项式定理二项式定理.由此得 第12页对应二
4、项展开式分别为第13页2.间接展开法间接展开法利用一些已知函数展开式及幂级数运算性质,例例4.将函数展开成 x 幂级数.解解:因为把 x 换成,得将所给函数展开成 幂级数.第14页例例5.将函数展开成 x 幂级数.解解:从 0 到 x 积分,得定义且连续,区间为利用此题可得上式右端幂级数在 x 1 收敛,所以展开式对 x 1 也是成立,于是收敛第15页例例6.将展成解解:幂级数.第16页例例7.将展成 x1 幂级数.解解:第17页内容小结内容小结1.函数幂级数展开法(1)直接展开法 利用泰勒公式;(2)间接展开法 利用幂级数性质及已知展开2.惯用函数幂级数展开式式函数.第18页当 m=1 时第19页思索与练习思索与练习1.函数处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不一样?提醒提醒:后者必需证实前者无此要求.2.怎样求幂级数?提醒提醒:第20页备用题备用题 1.将以下函数展开成 x 幂级数解解:x1 时,此级数条件收敛,所以 第21页2.将在x=0处展为幂级数.解解:所以第22页
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