高三数学上册综合能力测试题4.doc

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高三数学综合能力测试（4）
一．填空题
1．复数的虚部为 ．
2．集合，则 ．
3．已知，则的值为 ．
4．设变量满足约束条件，则的最大值是 ．
5．设向量满足，且，若，则 ．
6．已知为R上的奇函数，且，若，则= ．
7．若直线l:与圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为 ．
8. 若双曲线，上横坐标为的点到右焦点的距离小于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是 ．
9. 已知等差数列的公差为，且，若，则为

10. 从集合内任选一个元素，则满足的概率为
11. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 ；
12. 已知正数满足，则的最小值为 ；
13．已知点A、B、C、D在同一球面上，AB平面，，若，，，则B、C两点间的球面距离是 ．
14．设函数，表示不超过实数m的最大整数，则函数的值域是 ．
二．解答题
15. 已知函数
（I）求函数的最小正周期；
（II）求函数的单调递减区间；
（III）若

16. 如图（1）在直角体型中，，，，分别是的中点，现将沿折起，使平面平面（如图2），且所得到的四棱锥的正视图、侧视图、俯视图的面积总和为8。
（1）求证：平面；
（2）在线段上确定一点，使平面，并给出证明过程。

17. 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额为y万元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）
（3）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：（Ⅰ）当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；（Ⅱ）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．
请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由．

18. 已知函数，为函数的导函数．
（1）若数列满足：，（） 求数列的通项；
（2）若数列满足：，（）．
①当时，数列是否为等差数列？若是，请求出数列的通项；若不是，请说明理由；
②当时，求证：

19. 有一幅椭圆型彗星轨道图，长4cm，高，如下图，已知O为椭圆中心，A1，A2是长轴两端点，太阳位于椭圆的左焦点F处.
（Ⅰ）建立适当的坐标系，写出椭圆方程，并求出当彗星运行到太阳正上方时二者在图上的距离；

（Ⅱ）直线l垂直于A1A2的延长线于D点，|OD|=4，设P是l上异于D点的任意一点，直线A1P，A2P分别交椭圆于M、N（不同于A1，A2）两点，问点A2能否在以MN为直径的圆上？试说明理由.
．

20. 已知函数.
（I）求的极值；
（II）求证的图象是中心对称图形；
（III）设的定义域为,是否存在.当时，的取值范围是？若存在,求实数、的值；若不存在，说明理由．

参考答案
一．填空题
1. 1 2. 3. 4. 5.4 6. -1 7. ．2个 8. 1

（2）当单调递减，故所求区间为
（3）时

16. ．（1）由几何体的正视图、侧视图、俯视图的面积总和为8得取中点，联结，分别是的中点，，，E、F、F、G四点共面
又平面，平面
（2）建立如图所示空间直角坐标系，设则

又平面点是线段的中点
17. (1)
(2)

（3）（Ⅰ）
当且仅当时，即x=7时等号成立．
到第7年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30＝114万元．
（Ⅱ）
故到第10年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12＝114万元
盈利额达到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的时间较短，故方案Ⅰ比较合理．
18. （1）
（2）①，．当时，． 假设，则．
由数学归纳法证明为常数数列，是等差数列，其通项为．
②， ．
当时，． 假设，则 ．
由数学归纳法，得出数列．
又，，
即
．
，．
19. 解：（I）建立图示的坐标系，设椭圆方程为依题意，2a=4，

椭圆方程为
F（－1，0）将x=－1代入椭圆方程得
∴当彗星位于太阳正上方时，二者在图中的距离为1.5㎝.
（Ⅱ）由（I）知，A1（－2，0），A2（2，0），

设M（在椭圆上

又点M异于顶点A1，A2，∴－2＜x0＜2，
由P、M、A1三点共线可得P

∴P、A2、N三点共线，∴直线A2M与NA2不垂直，
∴点A2不在以MN为直径的圆上
20. 解：(I) .注意到，即，
解得或．所以当变化时，的变化情况如下表：

+
0
－
－
０
＋

递增
极大值
递减
递减
极小值
递增
所以是的一个极大值, 是的一个极大值..
(II) 点的中点是,所以的图象的对称中心只可能是.
设为的图象上一点,关于的对称点是..也在的图象上, 因而的图象是中心对称图形.
(III) 假设存在实数、.,或.
若, 当时, ,而.故此时的取值范围是不可能是.
若,当时, ,而.故此时的取值范围是不可能是.
若,由的单调递增区间是,知是的两个解.而无解. 故此时的取值范围是不可能是.
综上所述,假设错误,满足条件的实数、不存在.
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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