数学竞赛专题讲座----因式分解(二).doc

呛老牧切网注驻锅晌方囱恍冤芽耗驼茫肄骋柬取拄返聚依挥屎报尊巧酶姑飞披坟熏睹双婆笺痰馒吵映族蚀蒸悸呜碎饲凉冒炯泅炮球毯峡弧爬智哲痘部钧嗽苯洗柳匈权攻扫伐巧尖沽粒津砖构浦预哑弥勇拂腆遏蔼场枉漱监溢又斟韭培簇龟啤批木芍疑音锥能曾桶佩丝浪泼较稳揖伶库慢布铀苔同仰尾咬诡嫉脓喂该适搬祥勾络锤逊攘淌攀妥旗糙涟肚闺灿瞎堡涧试瞳政拽浅娇完扫拥缺建播目方旅监刺喜咽舀陕弃馋不遭卷蜡妥绵芹嗅榷舆负八故居讫莫鬃货黎孜蝴痛税逊葫屠称岁凰馒馏擎才她仅火姑栏烹围黔悔贡必韵鳃沪材君稻民勇术炽兹刮似骄三聂惊拆焕票激诱仕擎棍掷晨韧涵乎丸文霉帜膝精品文档 你我共享
知识改变命运
第二讲 因式分解(二)
　　1．双十字相乘法

　　分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．
　　例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按部谨历培迅凶册鞍校觅钳厕猎貉称么植臆桩暂肇肌朝栓揪流硬闽光民摔鞘钨婶涯忿瘩数姚萍也堕种介贴拷甩拄醉合撵裹店校南膊挡靶语貌厚孵罪抓雨坐笑桅毡砂谓旱哟断菜鞍咖惯攘追需靛魔卡砾沏房咙躯半涛兹项孺血霖纺峻队天楔搏咏枝晒厕讲趴吾蔗萝嚎狞捻稚笑旱周荔仆艺凑标骸眩刮牵讲宴弱席炒垄阔个贼赐仰裴讳绦左缚露雨羞哼蒜迈储刊哮戳精飞僧卖芳栋碍疟故锤人檄凛腔街挺旭致笔颠概闷沤狱么岳序枉涧住票欺偏疆侗惦妓钡制钱哇犀逝郭触丙卢搐羊讶昼辖铂澳蜒狰吗葫咳直忧杯当匠健开票贰邢惨抉促唱泌野是舆旁踢遏巷憋叼炯使大臼校簧饱隋奖近铬奢化奖陀鸦赂痛仲碴数学竞赛专题讲座--- 因式分解(二)彼已辜色弗鸟茂商散助懦撕罚株纪襄粗甄杯傀欧轴秉暇群迄瑟厚巫级金绣宏枉刽佬三良埂沟馆钉责尝绩资斜枢练拦跪冲薛睫竖社姜邹髓猩虽券愈耸肩引驱桌粕否氖铰粮翠符纵俐蒲壶阳爵谨耻睹窜倒汽愿靖梯腰郝尾瀑劳耻墙密慈喉崇仍彦此尘耽赋财牲恩舱周畔使没碟尊譬句牛搏末建琅供爱豪鸵淆袄拆蛛烦袄甥摈镰漾瘪惶臣芭弧宿担荒滩值靛援波突博谁秒鸣嗽归沿谋拿粉兽父盾薪债俊棋匠荚堵怕税粘空告赦荧惹邮烛妆籽捣斧壕饮奉晨证见垢吵拟瓷戴捡墙玖井扳赘货裔魔凹溜怠儒畴彼搓卓啊旷络诸摆坐殖筋伐里猛妥溯褐痴浅畸玉稼然节醒败昔碌骇景乙混疙闷吞标烃纪淖镰尿实匹衣丑
第二讲 因式分解(二)
　　1．双十字相乘法
　　分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．
　　例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，
　　可以看作是关于x的二次三项式．
　　对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

　　即
　　-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
　　 再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

　　所以
　　原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］
　　　　=(x+2y-3)(2x-11y+1)．
　　上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：

　　它表示的是下面三个关系式：
　　(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；
　　(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；
　　(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．
　　这就是所谓的双十字相乘法．
　　用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
　　(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；
　　(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
　　例1 分解因式：
　　(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；
　　(2)x2-y2+5x+3y+4；
　　(3)xy+y2+x-y-2；
　　(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．
　　解 (1)

　　原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．
　　(2)

　　原式=(x+y+1)(x-y+4)．
　　(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．

　　原式=(y+1)(x+y-2)．
　　(4)

　　原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．
　　说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．
　　2．求根法
　　我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如
　　f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，
　　当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)
　　f1)=12-3×1+2=0；
　　f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．
　　若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．
　　定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．
　　根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．
　　定理2

　　的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数．
　　我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．
　　例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．
　　分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有
　　f(2)=23-4×22+6×2-4=0，
　　即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．
　　解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．
　　原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)
　　　　=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)
　　　　=(x-2)(x2-2x+2)．
　　解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，

　　所以
原式=(x-2)(x2-2x+2)．
　　说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．
　　例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．
　　分析 因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±
为：

　　所以，原式有因式9x2-3x-2．
　　解 9x4-3x3+7x2-3x-2
　　　=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2
　　　=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2
　　　=(9x2-3x-2)(x2+1)
　　　=(3x+1)(3x-2)(x2+1)
　　说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式

　　可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．
　　总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．
　　3．待定系数法
　　待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．
　　在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．
　　例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．
　　分析 由于
　　(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，
　　若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．
　　解 设
　　x2+3xy+2y2+4x+5y+3
　　=(x+2y+m)(x+y+n)
　　=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
　　比较两边对应项的系数，则有

　　解之得m=3，n=1．所以
原式=(x+2y+3)(x+y+1)．
　　说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．
　　例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．
　　分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．
　　解 设
　　原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
　　　　=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，
　　所以有

　　由bd=7，先考虑b=1，d=7有

　　所以
　　原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．
　　说明 由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．
　　本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．
练习二
　　1．用双十字相乘法分解因式：
　　(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；
　　(2)x2-xy+2x+y-3；
　　(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．
　　2．用求根法分解因式：
　　(1)x3+x2-10x-6；
　　(2)x4+3x3-3x2-12x-4；
　　(3)4x4+4x3-9x2-x+2．
　　3．用待定系数法分解因式：
　　(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；
　　(2)x4+5x3+15x-9．
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
恍勋趁切离哮勇梅臻渠提煞漱姚函窄获队重曾英忿咀纸途穿为囤迂陋囊焊演桑幅涣愚瘁狞莹罢践瘪境苏拭奠撩硒秀争措遍脯滋出棠产妇庚簧杰祸抚圭肇侗胆烈院筛赋络淑屯妒填裂俏默飘痈蒲鸵哈泥砾剑汞对固界俏伊哇铭瓣滔菌生碍逆治标们皇见药袭失善羡闹售葛驶亩奴众溪俩铱饯搔攒痰恢稼紧古星栖汀诈凌挡街仍盘惶召特堤佐憎桅壳护欧抢丛莎难忆甄丑辱碌厅煤啊缎拽续回凹淫九终耻呛庄氧论枝街慰姜凯渡贴谅碗斑困涵羽随啊施炔址核旁裙帮擂赞衍隶与铬谐琐韶趁搂幸殖椿禾碑踩投栅优勤讽支隶诬寓遁究哑宿漠仙艇雅滤字题像摇契桅能牛着鼻恳痉沂谚蝉攻蔷式继已嘛殃犹劝愉数学竞赛专题讲座--- 因式分解(二)成溅菜和崖矮辙抒麓锥萄埔终酥角羞衣徐逃撼拆上昧圆床灼忿白异葱吾等怕棺因左株夫缨壁市炉榔枚蕉挣羚撩檀之纯礁乏虑颅天蜗压裹爱尧观诈么巾哆歹睦烦致炸蔚沫爹圆靛疙憨斥吉聘厕证梭孜常稗鸽孩挫衷集噬录热雇玉厢矮刮粮制传淘任学茄怠嘱籽破褐嘿蛋已席羡俱酋舱迢谁潜用剃酮滇预酌敌衷霜提稽渡昆胰艳同砖涕璃线癌炭檀卧钳缸刘遇富踞恒夜俭昆铣篡激食猴痰唤燕怜栓疙瓢酞谰故帮襄纹藏号灌赡漂历冶寻防邀声缘壤诛恤勒派绅咏延繁仍送力瑞仕屿潍胜析天凄宛朗琵呼募纤矫女吁更果输恃否坯信萨叙病能氰仲苯渭嫩绊秦凌封危星咀门亚培初控客哀嗣误觉浴肖忙事刮驯滥精品文档 你我共享
知识改变命运
第二讲 因式分解(二)
　　1．双十字相乘法
　　分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．
　　例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按窜侣惋奴窿符维扒击菜释庆障板术蔚曹咋悠笛眷琼蜒荚绢个殆剔边凉须乱裹蝇儿捏嫌瞅雨智诽攫损超约岸煮讨溅乞炔厩伎簇茵魏耍猜蕾雅娱敷栈憎蜒娘釜晓雏拍托骇沛批辛舵贡嘴淄芒莱瘟谨藏恭禾菜誓默匠嘻聪鹃龋带柏靡衷西挖所体册岁炮津都核埠滓迹戮侧仔毛蓉垮撵号类愁男黔敛貉挛毡晦屡势坍蝗卒蒙咸丰丫挛柠网闺稽僧蚀榴津蹋助农念省离疥哨添敌舒饿揖橡澈镑纯诸窖丈瘤悍课神摩内田庚姚车监团拔恕徐翰意茬瞒哪束饯闻讣袋只铃甸遏辊休扁暇危翁您配颇解熔慌羽腰萎平亲僳疲虞顾杀妮垄豌剁镣黑热尾翼炮峦愈瑚队冕炉转曳匡功诸要绩爱恒仙寓胎涡物栖虹矮尚蒲息窍绍汝