1、第五节第五节 三重积分三重积分(二二)一、一、利用柱面坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积分二、二、利用球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分三、小结三、小结 练习题练习题第1页要求：要求：一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分柱面坐标：柱面坐标：第2页柱面坐标与直角坐标关柱面坐标与直角坐标关系为系为在柱坐标系中，三个坐标面分别为在柱坐标系中，三个坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面 柱坐标实质就是将柱坐标实质就是将 xoy 面上点用极坐标表示。面上点用极坐标表示。问题：怎样在柱坐标系中计算三重积分？问题：怎样在柱坐标系中计算三重积分？第3页如图，柱
2、面坐标系中体积元素为如图，柱面坐标系中体积元素为同二重积分一样，首先要将三重积分转化为柱同二重积分一样，首先要将三重积分转化为柱坐标下三重积分形式。坐标下三重积分形式。问题：问题：在柱坐标下，体积元素在柱坐标下，体积元素再将柱坐标下三重积分再将柱坐标下三重积分化为三次积分。化为三次积分。在直角坐标系中在直角坐标系中第4页问题：怎样将柱坐标下三重积分化为三次积分？问题：怎样将柱坐标下三重积分化为三次积分？此为此为 柱坐标表示柱坐标表示首先将首先将 用用柱面坐标表示柱面坐标表示第5页问题：怎样将柱坐标下三重积分化为三次积分？问题：怎样将柱坐标下三重积分化为三次积分？第6页在以下情形下在以下情形下，
3、比较适适用柱坐标计算，比较适适用柱坐标计算（1）在坐标面上投影区域用极坐标表示在坐标面上投影区域用极坐标表示比较简单。如比较简单。如圆柱体：圆柱体：圆锥体：圆锥体：旋转抛物面：旋转抛物面：（2）被积函数含有以下特征被积函数含有以下特征第7页解解知曲面与平面交线为知曲面与平面交线为第8页解解第9页解解知两曲面交线为知两曲面交线为第10页解解第11页二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分球面坐标：球面坐标：点点 M 到原点距离记为到原点距离记为 r,有向线段有向线段 OM 与与 z 轴正向夹角记为轴正向夹角记为 ，自自x 轴按逆时针方向旋转到有向线段轴按逆时针方向旋转到有向线段O
4、P 角度记为角度记为 第12页在球面坐标中，要求在球面坐标中，要求球面坐标与直角坐标之间关系球面坐标与直角坐标之间关系第13页球面坐标中，三坐标面分别为球面坐标中，三坐标面分别为圆锥面圆锥面球球 面；面；半平面半平面第14页 问题：怎样在球面坐标系中计算三重积分？问题：怎样在球面坐标系中计算三重积分？在直角坐标系中在直角坐标系中在柱面坐标系中在柱面坐标系中 问题：问题：在球面坐标下，体积元素在球面坐标下，体积元素第15页球面坐标系中体积元素为球面坐标系中体积元素为问题：怎样化球坐标下三重积分为三次积分？问题：怎样化球坐标下三重积分为三次积分？第16页问题：怎样化球坐标下三重积分为三次积分？问题
5、怎样化球坐标下三重积分为三次积分？（1）是一个包含原点在内封闭曲面，则是一个包含原点在内封闭曲面，则第17页（1）是一个包含原点在内封闭曲面，则是一个包含原点在内封闭曲面，则尤其，尤其，是一个以原点为中心，是一个以原点为中心，a 为半径球面时为半径球面时当当 f(x,y,z)=1 时，球体积时，球体积第18页（2）是由锥面是由锥面 =及曲面及曲面 r=r(,)所围，则所围，则以下情形适适用球坐标计算以下情形适适用球坐标计算（1）积分区域是球体、锥体）积分区域是球体、锥体或它们一部分；或它们一部分；（2）被积函数含有形式）被积函数含有形式第19页第20页第21页第22页解解第23页解解第24页
6、习题习题9 5:1,4,7,9,11,14,17 第九章：第九章：第五节：三重积分作业（二）第五节：三重积分作业（二）第25页三重积分定义和计算三重积分定义和计算在直角坐标系下体积元素在直角坐标系下体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结三、小结第26页（1）柱面坐标体积元素柱面坐标体积元素（2）球面坐标体积元素球面坐标体积元素三重积分换元法三重积分换元法柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标第27页思索题思索题选择题选择题:第28页第29页练练 习习 题题 1第30页第31页第32页练习题练习题1答案答案第33页第34页练练 习习 题题第35页第36页第37页第38页练习题答案练习题答案第39页第40页第41页
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