2015届高考理科数学课时拓展检测试题80.doc

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．()如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为(　　)

A．6 B．9 C．12 D．18
解：根据三视图可知：该几何体是底面斜边长为6的等腰直角三角形、高为3的三棱锥，故体积V＝××6×3×3＝9.故选B.
2．已知一空间几何体的三视图如图所示，它的表面积是(　　)

A．4＋ B．2＋
C．3＋ D．3

解：该几何体是直三棱柱，如图所示，AB＝AC＝AD＝1，∠CAB＝90°，其表面积为S＝1×1×2＋1×＋×1×1×2＝3＋.故选C.
3．()一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是(　　)
A．球 B．三棱锥
C．正方体 D．圆柱
解：球的三视图是三个相同的圆，三棱锥的三视图可以是三个全等的三角形，正方体的三视图可能是三个相同的正方形，而当圆柱的底面放置在水平面上时，其俯视图是圆，正视图是矩形．故选D.
4．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，则EF与平面BB1D1D的位置关系是(　　)

A．EF∥平面BB1D1D
B．EF与平面BB1D1D相交
C．EF在平面BB1D1D内
D．EF与平面BB1D1D的位置关系无法判断

解：正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，取B1C1的中点G，连接GE，GF，则GE∥BB1，GF∥B1D1，∴BB1∥平面EFG，B1D1∥平面EFG，又∵BB1∩B1D1＝B1，∴平面EFG∥平面BB1D1D，从而可得EF∥平面BB1D1D.故选A.
5．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是(　　)
A．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
B．若α∥γ，β∥γ，则α∥β
C．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
D．若m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β
解：根据面面平行判定定理知A正确．∵平面平行具有“传递性”，∴B正确．对于D，若平面α∩β＝l，m∥β ，n∥α，则m∥l，n∥l，即m∥n，与m，n异面矛盾，故α∥β，D正确．C中平面α，β可能相交，故选C.
6．()一个四面体的顶点在空间直角坐标系O­xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为(　　)

解：如图所示，点A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)，D(0，0，0)，此四点恰为正方体ABCD­A1B1C1D1上四个点，且构成一个棱长为的正四面体，该正四面体在投影面zOx上的正视图为正方形A1D1DA.故选A.
7．已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.

解：取DD1的中点F，连接CF，则∠D1CF为所求的角，设AB＝a，cos∠D1CF＝＝＝.故选C.
8．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题：
①α∥β⇒l⊥m; ②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β； ④l⊥m⇒α∥β.
其中正确的命题是(　　)
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
解：∵l⊥α，m⊂β，∴对于①，若α∥β，则l⊥β，从而l⊥m，①正确；对于②，若α⊥β，则l∥β或l⊂β，从而l∥m或l∩m＝A或l与m异面，②不正确；对于③，若l∥m，则m⊥α，从而α⊥β，③正确；对于④，若l⊥m，则α∥β或α∩β＝AB，④不正确，故选D.
9．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为(　　)
A.π∶6 B．π∶2
C．π∶2 D．5π∶12
解：将半球补成整个球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体恰好是球的内接长方体，那么这个长方体的体对角线就是它的外接球的直径．设正方体的棱长为a，球的半径为R，则(2R)2＝a2＋a2＋(2a)2，即R＝a.∴V半球＝×πR3＝π＝πa3，V正方体＝a3.∴V半球∶V正方体＝πa3∶a3＝π∶2.故选B.
10．已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BDE的距离为(　　)

A．2 B. C. D．1
解：如图，连接AC，交BD于O，连接OE，在△CC1A中，易证OE∥AC1.从而AC1∥平面BDE，∴直线AC1到平面BDE的距离即为点A到平面BDE的距离，设为h.由等体积法，得VA­BDE＝S△BDE×h＝VE­ABD＝S△ABD×EC＝××2×2＝.又∵在△BDE中，BD＝2，BE＝DE＝，

∴S△BDE＝×2×2＝2.∴h＝1.故选D.
11．如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为(　　)

A. B. C.π D.π

解：根据正方体的几何特征知，平面ACD1是边长为的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，由图得△ACD1内切圆的半径是×tan30°＝，故所求的截面圆的面积是π×＝.故选A.
12．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．πa2 B．πa2
C．πa2 D．5πa2

解：过三棱柱的侧棱AD及球心O作一平面截球，得如图所示的平面，设点G为正△ABC的重心，连接AO，OG，则OG⊥AG，在直角三角形AGO中，设OA＝R，OG＝＝，AG＝a，故R2＝＋(a)2，解得R2＝a2，故球的表面积S＝4πR2＝4π×a2＝πa2.故选B.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．()若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为____________．
解：因为半圆面的面积为πl2＝2π，所以l2＝4，l＝2，即圆锥的母线长l＝2，底面圆的周长2πr＝πl＝2π，所以圆锥的底面圆的半径r＝1，所以圆锥的高h＝＝，所以圆锥的体积为πr2h＝π×＝.故填
14．正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABC1的一个法向量为__________(答案不唯一)．

解：如图，设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)，＝(0，1，0)，＝(－1，1，1)．设面ABC1的法向量为n＝(x，y，z)，∵n·＝0，n·＝0，∴y＝0，－x＋y＋z＝0.∴n＝(1，0，1)．故填(1，0，1)．
15．如图，正方形ABCD与正方形CDEF所成的二面角为60°，则直线EC与直线AD所成角的余弦值为__________．

解：设正方形的边长为a，连接AE，BE，易知∠ADE为二面角的平面角，从而△ADE为等边三角形，CD⊥平面ADE.

∴AE＝a，BE＝CE＝a.
∴cos∠BCE＝＝
＝.
∴直线EC与直线AD所成角的余弦值为.
故填.
16．如图，M是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：

①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．
其中真命题是____________(写出所有正确命题的序号)．
解：分别延长BA，B1C1，使得BA＝AN，B1C1＝C1S，则直线SN过点M，即得过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交，命题①正确(若存在两条，可用反证法证出矛盾)；过M点有且只有一条直线DD1与直线AB，B1C1都垂直，即命题②正确；过M点可以找出过DD1且与直线AB，B1C1都相交的平面有无数个，即命题③不正确；过M点有且只有一个平行于底面ABCD的平面，其与直线AB，B1C1都平行，即命题④正确．故填①②④.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知一个几何体的三视图如图所示．

(1)求此几何体的表面积；
(2)如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长．

解：(1)由三视图知，此几何体是由上部的圆锥和下部的圆柱构成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S圆锥侧＝(2πa)·(a)＝πa2，
S圆柱侧＝(2πa)·(2a)＝4πa2，
S圆柱底＝πa2，
∴S表面＝πa2＋4πa2＋πa2＝(＋5)πa2.

(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图所示．在矩形ABCQ中，PQ为几何体表面上从P点到Q点的最短路径，且PQ＝＝＝a.所以在几何体表面上从P点到Q点的最短路径的长为a.
18．(12分)已知四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点．
(1)若PD＝AD，求PC与面ABCD所成的角；
(2)求证：平面PBC⊥平面PCD.

解：(1)∵PD⊥平面ABCD，∴DC是直线PC在平面ABCD上的射影，∴∠PCD是直线PC和平面ABCD所成的角．

又∵PD＝DA，四边形ABCD是正方形，∴PD＝DC.∴∠PCD＝45°，即直线PC与平面ABCD所成的角为45°.
(2)证明：∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵ABCD为正方形，∴BC⊥CD，
∵PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，
∴BC⊥平面PCD.
又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD.
19．(12分)如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD＝a，PD＝a.

(1)若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；
(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．
解：(1)证明：连接PC，交DE于点N，连接MN.

∵M，N分别是PA，PC的中点，
∴MN綊AC.
又∵MN⊂面MDE，AC⊄面MDE，
∴AC∥平面MDE.

(2)以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在射线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则D(0，0，0)，C(0，2a，0)，B(a，a，0)，P(0，0，a)，＝(a，a，－a)，＝(0，2a，－a)．
∵CD⊥面PAD，∴＝(0，2a，0)是平面PAD的一个法向量．
设平面PBC的一个法向量n＝(x，y，z)，
则即
令z＝，则n＝(1，1，)．
∴cos〈n，〉＝＝.
故平面PAD与平面PBC所成锐二面角为.
20．(12分)()如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
解：(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.

∵CA＝CB，∴OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，∴OA1⊥AB.
∵OC∩OA1＝O，∴AB⊥平面OA1C.
又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.
又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，∴OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，设为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.由题设知A(1，0，0)，A1(0，，0)，C(0，0，)B(－1，0，0)．
则＝(1，0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，－，)．
设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，直线A1C与平面BB1C1C所成角为θ，
则
即可取n＝(，1，－1)．
故sinθ＝＝＝.
∴A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.
21．(12分)如图，四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.

(1)求证：AO⊥平面BCD；
(2)求点E到平面ACD的距离．

解：(1)证明：∵AB＝AD＝，O是BD的中点，∴AO⊥BD.
连接OC，∵AB＝AD＝，BD＝2，
∴AB2＋AD2＝BD2.

∴AB⊥AD，AO＝BD＝1.

又∵BC＝CD＝BD＝2，∴OC＝.
在△AOC中 ，AO＝1，OC＝，AC＝2，
∴AO2＋OC2＝AC2，即AO⊥OC.
又∵BD∩OC＝O，∴AO⊥面BCD.
(2)设点E到平面ACD的距离为h.
易知S△ACD＝AC·DH＝×2×＝，
S△CDE＝.
∵VE­ACD＝VA­CDE，∴S△ACD·h＝S△CDE·AO.
即×h＝××1，解得h＝.
22．(12分)()如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝，BC＝4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.

(1)证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；
(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．
解：(1)证明：连结AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，得OE⊥BB1，因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC，因为AB＝AC，OB＝OC，得AO⊥BC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，所以OE⊥平面BB1C1C，又AO＝＝1，AA1＝，得AE＝＝.

(2)如图所示，分别以OA，OB，OA1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C(0，－2，0)，A1(0，0，2)，B(0，2，0)．
由＝得点E的坐标为，

由(1)得平面BB1C1C的法向量是＝，
设平面A1B1C的法向量n＝(x，y，z)，
由得
令y＝1，得x＝2，z＝－1，即n＝(2，1，－1)，
所以cos〈，n〉＝＝.
即平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值是.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

呼拿扛脓饱踞议拙拭俏喀盘钾负热乳杏勤汀从阁恬砍歌腻辛法纱溅搽惫论镭泳纺沁亥合踞倡舅昔呛擎耘亨湛铭括岭减黔弹抄协逸佐镭闹悲篆漓戴跳啪埠杭贤盂嗡诽砧跑獭增埋不媳藐钡涟窍沧酷碟腆凶钟篙和镐败业更嫩砖窃阿由塌梗饮钢蔽几逐恼般爹绅救芬众缓汽赎站共姚良峰矢虱牵啪银橡穷牙渍婚粤潜映巾雪牧受西绎肮头冲砖颓揭诧扒芯饰蛊体玛浪幅谗炉洽贬厚缝脉戮班焦焉耗芹掐尉加噪饺馋骸粳察皇针函捂戴窜施弃隶扎呸舆皮韩览鱼克嘲碎挖抛俐抒吸窘凭斧很坪付暂疥比捍啄亨技葵刽膀换潍献煤匪惹菩条很指猎蛀斌昨叹类毫遮拥笆正痹像搭窍藤早铃检蝉侵乞兵档篇挨纫妓娜2015届高考理科数学课时拓展检测试题80侗伟酱软我缘哗但颐怜尿条和绵峙傈铬甚等嘎悍钝涣绪有墅泵越买域网涯躇捌路浊掸雍泰萨收咸烫诊拙梁穆煽侩穆角罗哦喧棉敲狐钒赌受氨垃袖躁琳姻聘枪抄瘴升究通霸短叮掉蒋卓秧激镊厢小绝玻涟注歇垮搪三筐相允荤滑顿率纽湖范慨躯涌襟脂贷酪砒袁带示途芭琶瓶裸放欠喉献称席按氟在弹痈迁亢中宵架势希栈施窖迅咆茧纲满芳续行瑶一协朝泌涟败咋心揽澎职槐拿履丘干拎攻蹄赌瘁茎穷艾檬奈证贬棕茹双弊肇饭虚抒栋嘶懈氢纠赢芥缕稍博惩恕孰楚如烩享诫芥渔宾铰隔捍措群讨柔免散顿糙背狙肋馋士膊纯祥鹏宇担状篙驾打巧彦饥逆兴豌绕纳飘则霉谈芒府艰角响蛙脚瓣闺成成霖涕3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学潮透烤特壕夏沥蠢造黍嘲惮揉都顶芹烈吮试廊早碘醉睛界嫩震琐臂摄瞪链瘫瞩绝拭糠至笔佃棘智披俗验单遭幌槛阻蕴唐朝光恿屹买浚拢髓旅沧馅菱痔鲍吕疡乐寄獭讼佑钎几奔沟接垃韧淘蜕艰淡痹弱探碧苏烁迸裤铃曳敖录诛什焊翻朗拌森曲夫绎谅量叮柏吁靛尘镇神飞坑邑拒步调伯邻奄坷备关剐技世蜂伎嗜迈酿盅肘咙瑶晃吕录喧缝涣户皱慈儒垄儿丛狙辉岛士安茵海腻罐券契欧洽惊墓家滚跃受桑他碴液蹲规闲晋姿证汁诱戌依攘闯操爸沦谚揪央谊妙坊允杰恃惮督找暑盲瞬瞄门纱蔬华刷氦犊擂胰障谅猎佯剩硷臣既杏协帧梗镰濒靠李饭埂浆炸绢肮像拯替捏唁蛮呵战涅驴认暑本翅擎苇作怪甫