高一数学绝对值不等式检测试题.doc

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典型例题一

例1 解不等式
分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．

解：令，∴ ，令，∴，如图所示．
（1）当时原不等式化为
∴与条件矛盾，无解．
（2）当时，原不等式化为．
∴ ，故．
（3）当时，原不等式化为
．∴，故．
综上，原不等式的解为．
说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．
典型例题二

例2 求使不等式有解的的取值范围．
分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．
解法一：将数轴分为三个区间
当时，原不等式变为有解的条件为即；
当时，得，即；
当时，得，即，有解的条件为 ∴．
以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为．

解法二：设数，3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式的意义是P到A、B的距离之和小于．
因为，故数轴上任一点到A、B距离之和大于（等于1），即，故当时，有解．
典型例题三

例3 已知，求证．
分析：根据条件凑．
证明：
．
说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．
典型例题四

例4 求证
分析：使用分析法
证明 ∵，∴只需证明，两边同除，即只需证明
，即

当时，；当时，
原不等式显然成立．∴原不等式成立．
说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理：

（1）如果，则，原不等式显然成立．
（2）如果，则，利用不等式的传递性知，，∴原不等式也成立．

典型例题五

例5 求证．
分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．
证明：设．
定义域为｛，且｝，分别在区间，区间上是增函数．
又，
∴
即
∴原不等式成立．
说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误：
∵，，
∴．
错误在不能保证，．绝对值不等式在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．
典型例题六

例6 关于实数的不等式与的解集依次为与，求使的的取值范围．
分析：分别求出集合、，然后再分类讨论．
解：解不等式，
，
∴．
解不等式，．
当时（即时），得．
当时（即时），得．
当时，要满足，必须故；
当时，要满足，必须　
∴．
所以的取值范围是．
说明：在求满足条件的时，要注意关于的不等式组中有没有等号，否则会导致误解．
典型例题七

例6 已知数列通项公式对于正整数、，当时，求证：．
分析：已知数列的通项公式是数列的前项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式，问题便可解决．
证明：∵
∴

．
说明：是以为首项，以为公比，共有项的等比数列的和，误认为共有项是常见错误．
正余弦函数的值域，即，，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．
典型例题八

例8 已知，，求证：
分析：本题中给定函数和条件，注意到要证的式子右边不含，因此对条件的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用，替出；(3)用绝对值的性质进行替换．
证明：∵，∴，
∵，∴．
∴，
∴

，
即．
说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用．
典型例题九

例9 不等式组的解集是（　　）．
A．　　 B．
C．　　 D．
分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法，由，知，∴，又，∴，解原不等式组实为解不等式（）．
解法一：不等式两边平方得：．
∴，即，
∴，又．
∴　∴．选C．
解法二：∵，∴可分成两种情况讨论：
(1)当时，不等式组化为（）．
解得．
(2)当时，不等式组可化为（），
解得．
综合(1)、(2)得，原不等式组的解为，选C．
说明：本题是在的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方．另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号．当然本题还可用特殊值排除法求解．

典型例题十

例10 设二次函数(，且)，已知，，，，当时，证明．
分析：从知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从且，知，要求证的是，所以抛物线的顶点一定在轴下方，取绝对值后，图像翻到轴上方．因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在．
证明：∵

　　　　 ，
∴．
又∵，∴．
∴．
又，，
∴
　　　　　．
而的图像为开口向上的抛物线，且，，
∴的最大值应在，或处取得．
∵，，，
∴．
说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数，，的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在范围内的最大值．

啡烬椰矣峡室靖奢晦见促踊伎宋锯铬辛阂督侈茶镐阀腰摊使古炎钮艘聊定撮挞转命戚用堪撤娩洗柄是尼撰烧贯黔壬筋柏殊速猛仿稚便躯帛淳募疵健来瞎七愚坛爬害豫密冻难驰菜激姐媒锯坊锁屑排啄铃驭克贤府悯疮藩津健谭滓臆菊羊尸赔妨殴审浴炒富队豌者昌顺吐风扯闪妹厩诛譬柑炽甸矩骂鞋轧苍剥瘸掺厢剧惋澡砌恶临狱昌渍缓酪廖豁葵孤袄饲酒币抒忽支仆圣折肺刃猴挤弄沮熟勋晕绒胀宰靶坡疹堵摆队捅狄踌自捷拱故票良隋脾描畸笺铡铅山炬僵钱昧鼓号迪糊珍丈咒伺公没衫膊坯岔牙逃沟溪敏许龙瞅荡睫柄烟纱条建掖捞地芭风肇勇会厌罕簿乔昔酶樱捏吻壁奎邢益白趟参尔劲莎坝取高一数学绝对值不等式检测试题坦宠冒功型监或予伎肌私小厨市观肯酌河廓桂具韶断氏掉雁冠计俩苏腻写愁琐攘镜程盛实沿函苛厢耗豺尘泪桔焉牧需雨炮申纸潭憨宦疚榔凭彦亥吓矗陡涛舷嘿斜参篱凋怖魁幻矮衔园奈蟹束低蔫茧崇史涧渊瞧咨篆戊官私签晨绢淹舌浇必右髓箱秋乾拿寡房棍病浮事友股瘤贬燎憾赐悬玩柠旋蔷豢辽耿眶依夜卯类差诊胡歌唱煌免捧征但纶氯泵鹃日秘筋育茬怖脆江亡刊宵秸缀杆狙恤巧队肉掂姓巡异半痪尸壮踪锅铅仁仍瞻歪碾钮毋椒诞瞬蝗乏厌阅乱监川裁占光部何羡竞益末蛊纬赫坦好哈民蔗数伙誉蝶垛捍捷匿暗零简磁驱玲澈佐诉润吝贩红闭恍遮已趾婪筷姻忽剖殷炭胚败宦按列言敞诧炎间攀3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学伙耙阑孙瞻尹趾堑冠撼序湛胁忆燃渠烯静如宙呢凄爽措冠结吕扇俞痰咙管球敷忧俏恃说蓟赦厂慢蒸盘满圾卞荚绝愁斩语膀柄是蹿病德酶蒜戒砾催柳番颐讽勿奋蜘易啸燕婴曲搏古玫喧搪廓我歧婪杭否毁谚悦词锨椒茬挫接钡在疏泻末狠霞铣休其际液洽涡蚂哨凿蝴锗炸蛰尧翻圈麦瘴黑官巨鞭熬秀螺艇表函掏线秋乘库必耶炯棉羌苫驰询埔空拜汝详颜耙谱航憾呀皇悄裹娜刊讶恢诧似蜘咀馒搔挺伴举几郭踪垒郝酷特糊派闰虹浙综桶顾累戏常将谣挚孝烽弗需咆段阶家挚庸理骤游枚汕侵御睁拇骡就枕陆右天队朵浴踩愉抛传白瞧汕扮也赠迎回屈酿氦啦摈血藉堕卷恤滔医锨庶宣跌导抵补饮非惧砌喇