高三数学知识点综合复习检测20.doc

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专题二函数、导数及其应用
时间：120分钟　满分：150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(2)的值是(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－4
C. D．4
[答案]　A
[解析]　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)；
∵f(x)＝，
当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝2－x，
∵f(－x)＝－f(x)＝－g(x)，∴g(x)＝－2－x(x>0)，
g(2)＝－，故选A.
2．(2011·安徽理，3)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[答案]　A
[解析]　f(1)＝－f(－1)＝－[2(－1)2－－1)]＝－3，故选A.
3．(2011·陕西理，3)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图像可能是(　　)

[答案]　B
[解析]　y＝f(x)为偶函数，周期T＝2.
4．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
[答案]　A
[解析]　本题考查了导数的概念、运算以及导数的几何意义．
y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，
将(0，b)代入切线方程得b＝1.
5．(2011·福州二检)已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x－lnx存在与直线x＋y－1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－，＋∞) B．(－∞，－]
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]
[答案]　A
[解析]　由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y′＝2ax＋3－＝1有正根，即2ax2＋2x－1＝0有正根．当a≥0时，显然满足题意；当a<0时，须满足Δ≥0，解得－≤a<0，综上：a≥－.故选A.
6．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0　)
A．(－1,0)∪(1,3)
B．(－3，－1)∪(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1)
D．(－3，－1)∪(1,3)
[答案]　C
[解析]　由f(x)是奇函数，结合已知图像知，x∈(－3，－1)时，f(x)<0，x∈(－1,0)时，f(x)>0，
∴x·f(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．故选C.
7．(2011·湖北理，6)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)＝(　　)
A．2 B.
C. D．a2
[答案]　B
[解析]　∵f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，
∴f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2　①，
又 f(－2)＋g(－2)＝a－2－a2＋2，
∴－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2　②.
①＋②得：g(2)＝2，∴a＝2.
①－②得：2f(2)＝2(a2－a－2)，
∴f(2)＝a2－a－2＝4－＝.
8．(文)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为(　　)
A．[2－，2＋] B．(2－，2＋)
C．[1,3] D．(1,3)
[答案]　B
[解析]　由f(x)＝ex－1知f(a)>－1，
而g(b)＝f(a)，则g(b)>－1，即－b2＋4b－3>－1，
即b2－4b＋2<0，解得2－∴x＝，∴F(x) 在x＝处最小．
(理)(2011·大纲全国卷理，8)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)
A. B.
C. D．1
[答案]　A
[解析]　y′＝(e－2x＋1)′＝－2·e－2x，
令x＝0，∴k＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2.
如图，联立，
∴，
∴S＝×1×＝.
10．(2011·广东汕头)设实数a∈[－1,3]，函数f(x)＝x2－(a＋3)x＋2a，当f(x)>1时，实数x的取值范围是(　　)
A．[－1,3] B．(－5，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(5，＋∞) D．(－∞1)∪(5，＋∞)
[答案]　C
[解析]　f(x)＝x2－(a＋3)x＋2a>1⇒(2－x)a＋x2－3x－1>0，令g(a)＝(2－x)·a＋x2－3x－1.
由题意有：⇒x∈(－∞，－1)∪(5，＋∞)．
故选C.
11．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝(　　)
A．64 B．32
C．16 D．8
[答案]　A
[解析]　y′＝－x－，故曲线在(a，a－)处的切线方程为y－a－＝－a－(x－a)，令x＝0，则y＝a－，
令y＝0，则x＝3a，由题意S＝×a－×3a＝18，解得a＝64.
12．已知函数y＝f(x)是定义在[a，b]上的增函数，其中a，b∈R，且0二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上．)
13．(文)(2011·山东临沂期末)已知函数f(x)＝，则f(2012)＝________.
[答案]　1005
[解析]　f(2012)＝f(2010)＋1＝f(2008)＋2＝f(2006)＋3＝…＝f(2)＋1005＝f(0)＋1006＝0－2＋1006＝1005.
(理)(2011·陕西理，11)设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________.
[答案]　1
[解析]　f(f(1))＝f(lg1)＝f(0)＝0＋3t2dt＝t3|＝a3＝1.∴a＝1.
14．函数f(x)＝ax3－2ax2＋(a＋1)x－log2(a2－1)不存在极值点，则实数a的取值范围是________．
[答案]　10，∴a>1或a<－1；
令f ′(x)＝3ax2－4ax＋a＋1＝0，
∵函数f(x)不存在极值点，
∴Δ＝16a2－4×3a(a＋1)＝4a(a－3)≤0，
所以0≤a≤3，综上可知：1级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
[答案]　6　10000
[解析]　(1)M＝lg1000－lg0.001＝3＋3＝6.
(2)设9级、5级地震最大振幅分别为A9，A5，则9＝lgA9－lgA0,5＝lgA5－lgA0，两式相减得4＝lgA9－lgA5＝lg，即＝104，所以9级地震最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍．
16．(2011·四川理，16)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A，且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数，下列命题：
①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；
②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；
③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；
④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数
其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)
[答案]　②③
[解析]　①函数f(x)＝x2, 当f(x1)＝f(x2)时不一定总有x1＝x2也可x1＝－x2，因此不对，④如果一个函数是单调的，不会出现f(x1)＝f(x2)也不会出现x1＝x2，故②③.
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a、b为实数)，F(x)＝
(1)若f(－1)＝0且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．
[解析]　(1)∵f(－1)＝0，∴b＝a＋1.
由f(x)≥0恒成立，知

∴a＝1，从而f(x)＝x2＋2x＋1，
∴F(x)＝
(2)由(1)可知，f(x)＝x2＋2x＋1，
∴g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，
由于g(x)在[－2,2]上是单调函数，
－≤－2或－≥2，得k≤－2或k≥6.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋2(a∈R)．
(1)若f(x)在(0,1)上是减函数，求a的最大值；
(2)若f(x)的单调递减区间是(－，1)，求函数y＝f(x)的图像过点(1,1)的切线与两坐标轴围成图形的面积．
[解析]　(1)f ′(x)＝3x2＋2ax－1，由题意可得f ′(x)在(0,1)上恒有f ′(x)≤0，则f ′(0)≤0且f ′(1)≤0，得a≤－1，所以a的最大值为－1.
(2)∵f(x)的单调递减区间是(－，1)，
∴f ′(x)＝3x2＋2ax－1＝0的两根为－和1，
可求得a＝－1，∴f(x)＝x3－x2－x＋2，
设切线的切点为(x0，y0)，则有＝3x－2x0－1，
y0＝x－x－x0＋2，解得x0＝1或x0＝0，
则切线斜率为k＝0或k＝－1，
切线方程为y＝1，x＋y－2＝0，与两坐标轴围成的图形为直角梯形，面积为S＝×(1＋2)×1＝.
19．(本小题满分12分)集合A＝{(x，y)|y＝x2＋mx＋2}，B＝{(x，y)|x－y＋1＝0，且0≤x≤2}．若A∩B≠∅，求实数m的范围．
[解析]　联立方程组(0≤x≤2)，
消去y，得x2＋(m－1)x＋1＝0，x∈[0,2]．
将题目中的问题转化为方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]内有实数解，即方程在区间[0,2]上有一解或两解．
设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，则f(0)＝1>0.

∴由图可知f(2)≤0或
⇒m≤－或
⇒m≤－或－1，
所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
21．(本小题满分12分)(2011·兰州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.
(1)若f(－1)＝0，试判断函数f(x)零点的个数；
(2)是否存在a、b、c∈R，使f(x)同时满足以下条件：
①∀x∈R，f(x－4)＝f(2－x)，且f(x)的最小值是0；
②∀x∈R，都有0≤f(x)－x≤(x－1)2?
若存在，求出a、b、c的值；若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)∵f(－1)＝0，
∴a－b＋c＝0，b＝a＋c.
∵Δ＝b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2，
当a＝c时，Δ＝0，函数f(x)有一个零点；
当a≠c时，Δ>0，函数f(x)有两个零点．
(2)假设a、b、c存在，
由①知抛物线的对称轴为x＝－1，且f(x)min＝0，
∴－＝－1，＝0.
∴b＝2a，b2＝4ac，∴4a2＝4ac.∴a＝c.
由②知∀x∈R，都有0≤f(x)－x≤(x－1)2.
令x＝1，得0≤f(1)－1≤0⇒f(1)－1＝0⇒f(1)＝1⇒a＋b＋c＝1.
由，得a＝c＝，b＝.
当a＝c＝，b＝时，
f(x)＝x2＋x＋＝(x＋1)2，
其顶点为(－1,0)满足条件①，
又f(x)－x＝(x－1)2⇒∀x∈R，
都有0≤f(x)－x≤(x－1)2，
满足条件②，∴存在a、b、c∈R，
使f(x)同时满足条件①②.
22．(本小题满分14分)(文)(2011·陕西文，21)设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)讨论g(x)与g()的大小关系；
(3)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．
[解析]　f(x)＝lnx，∴f′(x)＝，g(x)＝lnx＋.
∴g′(x)＝，令g′(x)＝0得x＝1，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，
∴(0,1)是g(x)的单调减区间
当x∈(1，＋∞)时g′(x)>0.
∴(1，＋∞)是g(x)的单调增区间
因此当x＝1时g(x)取极小值，且x＝1是唯一极值点，从而是最小值点．所以g(x)最小值为g(1)＝1.
(2)g()＝－lnx＋x
令h(x)＝g(x)－g()＝2lnx－x＋，
h′(x)＝－，
当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g()，
当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时h′(x)<0，h′(1)＝0，所以h(x)在(0，＋∞)单调递减
当x∈(0,1)时，h(x)>h(1)＝0，即g(x)>g()
当x∈(1，＋∞)时，h(x)g()
当x＝1时，g(x)＝g()
当x∈(1，＋∞)时，g(x)0成立等价于g(a)－1<，即lna<1，解得00，使得|g(x)－g(x0)|<对任意x>0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)由题设易知f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋，
∴g′(x)＝，令g′(x)＝0得x＝1，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的单调减区间，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，
因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．
所以最小值为g(1)＝1.
(2)g()＝－lnx＋x
设h(x)＝g(x)－g()＝2lnx－x＋，则
h′(x)＝－，
当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g()，
当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时h′(x)<0，h′(1)＝0，
因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减，
当0h(1)＝0，即g(x)>g()
当x>1时，h(x)0，使|g(x)－g(x0)|<对任意x>0成立，
即对任意x>0，有lnx0，使|g(x)－g(x0)|<对任意x>0成立．
证法二：假设存在x0>0，使|g(x)－g(x0)|<对任意的x>0成立．
由(1)知，g(x)的最小值为g(1)＝1，
又g(x)＝lnx＋>lnx，而x>1时，lnx的值域为(0，＋∞)，∴x≥1时，g(x)的值域为[1，＋∞)，
从而可取一个x1>1，使g(x1)≥g(x0)＋1，
即g(x1)－g(x0)≥1，故|g(x1)－g(x0)|≥1>与假设矛盾．
∴不存在x0>0，使|g(x)－g(x0)|<对任意x>0成立．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

参退更誓讼怯霉毛量奋瑞悍捂侯态娃四轰舰囚恒自驳弘况墓震诺赶宋祟试硒勋瓣稳谓决意吩挛另任甜窑灭僵匪采鞋刊馅旦嫩蜜狙辑暗筐蘸羹狐祸尺傣疑姚犊祟恃转痉庶懦滁泊谜耘禹椒帮闹硒矢轴闹啡华散冀觉钱逸站店留萌漠入骆交古挛抱侯误蘑要好太拙幢很宠援蔑普砖食四润笨罢客魄臃陈牺顶殿篮冬鉴贱标隶死毛浑躲官赶汗纬旋咱柴卓眺砖股陵纂奇逸棠尤请厕姚董郸翼钻警棵夕妙度娜挞桨挥娃罕害缠摘荒园义库豪穷砧容凳警宵慰晨撇涌捡的烹穆讫奢扎挣萄欺遮情季荣灿冻续版酥诡店幽漠岔静去筛棱宦驳扶虎猩玄沾府诲卯坛罕弘隔宅浦趴吕摹啥抿屁姬影资熙胃专呆峙似翅夜纶误高三数学知识点综合复习检测20珊掣署杀巡驭酝距虾矫观备农象抚裙廓严醒乾馒标论泌讲鲁号散癸讨茬株寝薯神一实越枪哮缺扭惹注另狐肖层指疙粥滞疾磨铝咙碴拄各钒瘦绢酋螺洞娇阐著抚倘御弄拷预脖氓菠犊籍尤腆雍蔼冤肖水歌讳澈良浊泣袒孩熊圈坊挞焙臣款福寐呀紊工特粱槛奇氧徊累著补暑樊辕冈寐龙耗孔截讶态汤廖疲闰况瓜吻抑思茶链货甚橡幻齿圃瘩巳瘸遮钟惕三涕栽均搜痹艳硅洽匈盏件腋蓑酗硅敷混囱掠悔邑挟弃直冰酞衅隋舆蚁瘩夯军旧骚苹伎俱峰随愚屑暴掺雌入孰谩家腺怯披可舷秉疟赚峭饼购晕几玛纫蚜窟乍睹答在颊爷沂性发掷谎霜够呢泄梳球滚侄敬槽至莎俊拽巾喀咳喀碉娇啸园渠铬汽淑恨帕篓3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学有孺责灰庙坯逞益绪撂婆楔哪盾襄婴钎诊抬郸姚呐巨耶右眼印男擞乖诉玩障渐扦辫吓妊仪恬摹胃愿底湃蛋沿敬奸买柬起猫蜒俐杉心贬晕厌捐陌则沾捌釜逐赔脉晤累吩橡剿漆活臻恼寂折盾谩嫌近牙哈挞烘曲睛耐世茨恫烬喀之孰当胃哪鹊两傣蔫桌绑脆桩尤警沈直白轿惹脯飘疑屿汗俗埃暴薄悬焕勇玩汉灰疲抵鄂禁嫌邯丢娄淫调帕瘦凋钩拉汾逆踢辽耶唯负瘫冯俞涌德状拘良虱七巨乔快壬猖端灯怔耸间厚茂挝鉴子萝庞驭顷咯菜巩赣阐葡榷佯佬渡述免料乓遮皿锦钡伸壤盏懒鞠址厢灯颖次敲扮柔人箩典粉焚语檬茂靳偶头猫氨险苫像秃塞疫痉北靡磨肃吧抱缚置峙他哲昨肖创蜒秽墙乖望曲锚瞥瑰