高考数学知识点专题复习检测3.doc

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第四讲　不等式
一、选择题
1．a，b，c∈R，下列结论成立的是 (　　)
A．a>b，则ac2>bc2
B.>，则a>b
C．a3>b3，ab>0，则<
D．a2>b2，ab>0，则<
解析：a3>b3⇒a3－b3>0⇒(a－b)(a2＋ab＋b2)>0⇒(a－b)·>0⇒a>b，而
ab>0，因此>0⇒a·>b·⇒<.
答案：C
2．已知x＝a＋(a>2)，y＝b2－2(b<0)，则x、y之间的大小关系是 (　　)
A．x>y B．xy.
答案：A
3．若不等式x2－logax<0在内恒成立，则实数a的取值范围是 (　　)
A. B.
C．(0,1) D．(1，＋∞)
解析：不等式化为x21，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为(　　)
A．2 B. C．1 D.

解析：因为a>1，b>1，ax＝by＝3，a＋b＝2，
所以x＝loga3，y＝logb3.
＋＝＋＝log3a＋log3b＝log3ab
≤log32＝log32＝1，当且仅当a＝b时，等号成立．
答案：C
5．(2010·浙江)若实数x，y满足不等式组且x＋y的最大值为9，则实
数m＝ (　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析：画出，表示的平面区域如图，又x－my＋1＝0恒过(－1,0)点，

当m<0时，x＋y无最大值，故选项A、B错误，因此m>0，又满足条件的可行域必
须是一个三角形，联立解得A，
∴＋＝9，解得m＝1，故选C.
答案：C
二、填空题
6．(2010·江苏)设x，y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________．
解析：∵4≤≤9，∴≤≤，
∴≤≤.
又∵3≤xy2≤8，而＝＝，
且≤xy2·≤，∴2≤≤27.
答案：27
7．(2010·山东)若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析：因为≤a恒成立，所以a≥max，而＝
≤＝，当且仅当x＝时等号成立，∴a≥.
答案：a≥
8．(2010·安徽)设x，y满足约束条件若目标函数z＝abx＋y(a>0，b>0)
的最大值为8，则a＋b的最小值为________．
解析：(x，y)满足可行域如图所示，

∵abx＋y最大值为8(a>0，b>0)，
∴目标函数等值线l：y＝－abx＋z最大值时的最优解为解得A(1,4)，
∴8＝ab＋4，ab＝4.
又∵a＋b≥2；当a＝b＝2时取等号，
∴a＋b≥4.
答案：4
9．(2010·天津)设函数f(x)＝x2－1.对任意x∈，f－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)
恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：∵f－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)，∴－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－
1)，即－4m2x2≤x2－2x－3.
∵x∈，∴－4m2≤1－－恒成立．
令g(x)＝1－－
＝－32＋，
x∈，∈，
g(x)min＝g＝－，
∴－4m2≤－，即12m4－5m2－3≥0，
∴(3m2＋1)(4m2－3)≥0⇒4m2－3≥0⇒m≥或m≤－，
∴m∈∪.
答案：∪
三、解答题
10．设f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且对任意a，b∈[－1，1]，当a＋b≠0时，都有
>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小；
(2)解不等式：f(x－)
(3)证明：若－1≤c≤2，则函数g(x)＝f(x－c)和h(x)＝f(x－c2)存在公共定义域，并求
出这个公共定义域．
(1)解：任取x1，x2∈[－1,1]，当x1b.
∴f(a)>f(b)．
(2)解：∵f(x)是[－1,1]上的增函数，
∴f(x－)＝
[c2－1，c2＋1]．
∵－1≤c≤2，
∴(c2－1)－(c＋1)＝(c－2)(c＋1)≤0，
即c2－1≤c＋1.
又c2＋1>c－1，
∴g(x)定义域与h(x)定义域交集非空．
当－1≤c<0，或10，这时公共定义域为[c2－1，c＋1]，
当0≤c≤1时，c(c－1)≤0，这时公共定义域为[c－1，c2＋1]．
11．(2010·浙江五校联考)设x，y为正实数，a＝，b＝p，c＝x＋y.
(1)如果p＝1，则是否存在以a，b，c为三边长的三角形？请说明理由；
(2)对任意的正实数x，y，试探索当存在以a，b，c为三边长的三角形时p的取值范
围．
解：(1)存在．
当p＝1时，b＝，
x＋y＋>显然成立，
且x＋y－＝
因此p的取值范围为2－0.
(1)解不等式f(x)<0；
(2)当00，∴x>0，∴
①当a>1时，有
∵<，∴x>.
②当a＝1时，解不等式组得x>.
③当0，∴ a<1时，函数f(x)在[a，＋∞)上为增函数，在(－∞，a)上为减函数；当x＝a
时，函数f(x)的最小值为f(a)＝－a2；当a＝1时，f(x)＝∴f(x)的最
小值为－1.综上所述，x＝a时，f(x)有最小值为－a2.

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