1、双勾函数与不等式应用一、双勾函数下面研究函数1、定义域：2、值域：把上式去分母，移项，合并同类项，整理得：解得：当且仅当x=1时，y=2 x=-1时，y=-2当且仅当x=1时，y=2当且仅当x=-1时，y=-2 第1页 3、奇偶性其定义域是关于原点对称，且满足f(-x)=-f(x)形式，所以此函数为奇函数。4、图象如右oxy1-12-2y=x5、单调性从图易知单调递增区间为单调递减区间为例1 求函数值域解：令x-1=u，则上式可化为第2页例2 求函数最值。解：上式可化为所以函数在上单调递增。练习：1、求函数2、求函数答案第3页答案3、已知正数a、b满足求a+b最小值。4、求函数最小值。解：函数
2、5、求函数最值第4页例3 如图，为处理含有某种杂质污水，要制造一底 宽为2米无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体长度为a米，高度为b米。已知流出水中该杂质质量分数 与a,b乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a,b各为多少米 时，经沉淀后流出水中该杂质质量分数最小（A、B孔面积忽略 不计）。ABab2解法一：依题意，即所求a,b值使ab最大。由题设知4b+2ab+2a=60(a0,b0)，即 a+2b+ab=30(a0,b0)。当且仅当a=2b时，上式取等号。由a0，b0，解得00为百分比系数，依题意，即所求a,b值使y值最小。依据题设，有4b+2ab+2a=6
3、0(a0,b0)，得 b=30-a/2+a(0a30)，当a+2=64/(a+2)时取等号，y达最小值。这时a=6,a=-10（舍去）。将a=6代入式得b=3。故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出水中该杂质质量分数最小。第6页 例4、已知直角三角形周长为定值l，求它面积最大值。解：由已知，得故面积于是当面积有最大值练习1、已知圆柱体积为定值V，求圆柱全方面积最小值。答案2、从半径为R圆形铁片里剪去一个扇形，然后把剩下部分 卷成一个圆锥形漏斗，要使漏斗有最大容量，剪去扇形 圆心角应是多少弧度？答案第7页1、所以原式可化为：而此函数在区间上是单调减函数所以当且仅当时函数有最小值而无最大值。2、当
4、且仅当返回第8页3、4、法一：显然，当sin2x=1时，上面两个式子同时成立，故原式有最小值法二、可设sin2x=t，再利用函数单调性求解。返回第9页1、法一：设圆柱底面半径为r，高为h，全方面积为S。则法二：返回第10页2、解：如图，设圆锥形漏斗轴截面顶角为，底面半径为r，高为h，则第11页例5、过点P（1，4）引一直线l，它在两条坐标轴上截距皆为 正且它们和最小，求这条直线方程。分析：首先设出过P点直线l:y-4=k(x-1)，于是l与两坐标轴 交点分别是由题意不难判断若直线l在两坐标轴上截距皆正，必定有其倾斜角大于所以均值不等式对正数要求就能够满足了。解：由前面分析，l在两坐标轴上截距之
5、和为：故所求直线方程为(y-4)=-2(x-1),即2x+y-8=0.第12页例6、已知椭圆：是椭圆上两点，线段AB垂直线与x轴交于点分析：由线段垂直平分线性质可得|PA|=|PB|，这么就建立了关于点P方程，再由椭圆上点坐标取值范围，可求。证实：设A、B两点坐标分别为因为点P在AB垂直平分线上，则|PA|=|PB|。将（2）代入（1）式，得第13页错解原因是利用了复数模不等式：不过忽略了等号成立条件第14页例8、某地为促进淡水鱼养殖业发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补助。设淡水鱼市场价格为x元/千克，政府补助为t元/千克，依据市场调查，当时淡水鱼市场日供给量P千克与市场
6、日需求量Q千克近似地满足当P=Q时市场价格称为市场平衡价格。（1）将市场平衡价格表示为政府补助函数，并求出函数定义域（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补助最少每千克 多少元？解（1）依题设，有第15页解第一个方程组，得第二个不等式组无解。故所求函数关系为：第16页例9、某地现有耕地10000公顷，规划后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提升10%。假如人口增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能降低多少公顷（准确到1公顷）(粮食单产=总产量/耕地面积,人均粮食占有量总产量/总人口数)解:设耕地平均每年至多能降低x公顷，又设该地域现有些人口为 P人，粮食单产为M吨/公顷。依题意，得不等式：答：该地域耕地平均每年至多只能降低4公顷。第17页例9、甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超出c千米/时，已知汽车每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（每千米小时）平方成正比，百分比系数为b、固定部分为a元。（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）函数，并指出这个函数定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解（1）依题意，知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为全程运输成本为：故所求函数及其定义域为：（2）依题意，知s、a、b、v都为正数，故有第18页综上可知，为使全程运输成本y最小，第19页
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