导热微分方程式省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第二章第二章 导热微分方程式导热微分方程式2-1 温度场和温度梯度温度场和温度梯度2-2 导热基本定律和导热系数导热基本定律和导热系数2-3 导热微分方程式及其定解条件导热微分方程式及其定解条件 第1页2-1 温度场和温度梯度温度场和温度梯度一、温度场（Temperature field）各时刻物体中各点温度分布总称各时刻物体中各点温度分布总称各时刻物体中各点温度分布总称各时刻物体中各点温度分布总称 温度场是温度场是温度场是温度场是时间时间时间时间和和和和空间空间空间空间函数函数函数函数tttt为温度为温度为温度为温度;x,y,zx,y,zx,y,zx,y,z为空间坐标为空间坐标为空间坐标为空间坐标;-时间坐标时间坐标时间坐标时间坐标 稳态温度场稳态温度场稳态温度场稳态温度场 非稳态温度场非稳态温度场非稳态温度场非稳态温度场非稳态导热非稳态导热非稳态导热非稳态导热 一维温度场：一维温度场：一维温度场：一维温度场：二维温度场：二维温度场：二维温度场：二维温度场：三维温度场：三维温度场：三维温度场：三维温度场：一维稳态温度场一维稳态温度场一维稳态温度场一维稳态温度场：稳态导热稳态导热稳态导热稳态导热第2页二、等温面与等温线二、等温面与等温线(1)(1)(1)(1)温度不一样等温面或等温线彼此不能相交温度不一样等温面或等温线彼此不能相交温度不一样等温面或等温线彼此不能相交温度不一样等温面或等温线彼此不能相交 等温面：等温面：等温面：等温面：同一时刻、温度场中全部同一时刻、温度场中全部同一时刻、温度场中全部同一时刻、温度场中全部 温度相同点连接起来所组成面温度相同点连接起来所组成面温度相同点连接起来所组成面温度相同点连接起来所组成面 等温线：等温线：等温线：等温线：用一个平面与各等温面相用一个平面与各等温面相用一个平面与各等温面相用一个平面与各等温面相 交，在该平面上得到一个等温线簇交，在该平面上得到一个等温线簇交，在该平面上得到一个等温线簇交，在该平面上得到一个等温线簇 等温面与等温线特点等温面与等温线特点等温面与等温线特点等温面与等温线特点(2)(2)(2)(2)在连续温度场中，等温面或等温线不会中止，在连续温度场中，等温面或等温线不会中止，在连续温度场中，等温面或等温线不会中止，在连续温度场中，等温面或等温线不会中止，它们要么封闭它们要么封闭它们要么封闭它们要么封闭,要么终止于物体表面上要么终止于物体表面上要么终止于物体表面上要么终止于物体表面上(3)(3)(3)(3)等温线疏密可直观地反应出不一样区域导热热流等温线疏密可直观地反应出不一样区域导热热流等温线疏密可直观地反应出不一样区域导热热流等温线疏密可直观地反应出不一样区域导热热流 密度相对大小密度相对大小密度相对大小密度相对大小(4)(4)(4)(4)等温面普通都不彼此平行等温面普通都不彼此平行等温面普通都不彼此平行等温面普通都不彼此平行第3页三、温度梯度（Temperature gradient）等温面上没有温差，不会有热传递等温面上没有温差，不会有热传递等温面上没有温差，不会有热传递等温面上没有温差，不会有热传递 温度梯度是用以反应温度场在空间改变特征物理量温度梯度是用以反应温度场在空间改变特征物理量温度梯度是用以反应温度场在空间改变特征物理量温度梯度是用以反应温度场在空间改变特征物理量 不一样等温面之间，有温差，有导热不一样等温面之间，有温差，有导热不一样等温面之间，有温差，有导热不一样等温面之间，有温差，有导热系统中某一点所在等温面与相邻等温面系统中某一点所在等温面与相邻等温面系统中某一点所在等温面与相邻等温面系统中某一点所在等温面与相邻等温面之间温差与其法线间距离之比极限为该之间温差与其法线间距离之比极限为该之间温差与其法线间距离之比极限为该之间温差与其法线间距离之比极限为该点温度梯度，记为点温度梯度，记为点温度梯度，记为点温度梯度，记为gradtgradt 温度梯度是矢量；正方向朝着温度增加最大方向温度梯度是矢量；正方向朝着温度增加最大方向温度梯度是矢量；正方向朝着温度增加最大方向温度梯度是矢量；正方向朝着温度增加最大方向第4页四、热流密度矢量四、热流密度矢量(Heat fluxHeat flux)直角坐标系中：直角坐标系中：直角坐标系中：直角坐标系中：热流密度矢量：等温面上某点，以经过该点处热流密度矢量：等温面上某点，以经过该点处热流密度矢量：等温面上某点，以经过该点处热流密度矢量：等温面上某点，以经过该点处最大最大最大最大热流密度热流密度热流密度热流密度 方向为方向、数值上恰好等于沿该方向热流密度方向为方向、数值上恰好等于沿该方向热流密度方向为方向、数值上恰好等于沿该方向热流密度方向为方向、数值上恰好等于沿该方向热流密度不一样方向上热流密度大小不一样不一样方向上热流密度大小不一样不一样方向上热流密度大小不一样不一样方向上热流密度大小不一样 热流密度：单位时间单位面积上所传递热量热流密度：单位时间单位面积上所传递热量热流密度：单位时间单位面积上所传递热量热流密度：单位时间单位面积上所传递热量温度梯度和热流密度方向都是在等温面温度梯度和热流密度方向都是在等温面温度梯度和热流密度方向都是在等温面温度梯度和热流密度方向都是在等温面法线方向。因为热流是从高温处流向低法线方向。因为热流是从高温处流向低法线方向。因为热流是从高温处流向低法线方向。因为热流是从高温处流向低温处，因而温度梯度和热流密度方向恰温处，因而温度梯度和热流密度方向恰温处，因而温度梯度和热流密度方向恰温处，因而温度梯度和热流密度方向恰好好好好相反相反相反相反。t+ttt-t第5页2-2 导热基本定律和导热系数导热基本定律和导热系数一一一一、傅傅傅傅里里里里叶叶叶叶定定定定律律律律（Fouriers Fouriers Fouriers Fouriers lawlawlawlaw）：18221822年年，法法国国数数学学家家傅里叶傅里叶(FourierFourier)在试验研究基础上，发觉导热基本规律在试验研究基础上，发觉导热基本规律 导热基本定律：系统中任一点热流密度与该点温度梯度导热基本定律：系统中任一点热流密度与该点温度梯度导热基本定律：系统中任一点热流密度与该点温度梯度导热基本定律：系统中任一点热流密度与该点温度梯度 成正比而方向相反成正比而方向相反成正比而方向相反成正比而方向相反 热导率（导热系数）热导率（导热系数）热导率（导热系数）热导率（导热系数）傅里叶定律只适合用于均质各向同性材料纯导热现象傅里叶定律只适合用于均质各向同性材料纯导热现象傅里叶定律只适合用于均质各向同性材料纯导热现象傅里叶定律只适合用于均质各向同性材料纯导热现象：热导率在各个方向是相同热导率在各个方向是相同热导率在各个方向是相同热导率在各个方向是相同矢量形式矢量形式标量形式标量形式第6页二、导热系数（二、导热系数（Thermal conductivityThermal conductivity）pp 由傅利叶定律得到由傅利叶定律得到由傅利叶定律得到由傅利叶定律得到(标量形式标量形式标量形式标量形式):):):):pp 物理意义物理意义物理意义物理意义：在数值上等于单位温度梯度作用下单位时：在数值上等于单位温度梯度作用下单位时：在数值上等于单位温度梯度作用下单位时：在数值上等于单位温度梯度作用下单位时 间内经过单位面积热量。间内经过单位面积热量。间内经过单位面积热量。间内经过单位面积热量。表征物质导热能力大小表征物质导热能力大小表征物质导热能力大小表征物质导热能力大小，由试验测定。，由试验测定。，由试验测定。，由试验测定。pp 影响热导率原因影响热导率原因影响热导率原因影响热导率原因：物质种类、材料成份、温度、物质种类、材料成份、温度、物质种类、材料成份、温度、物质种类、材料成份、温度、湿度、压力、密度等湿度、压力、密度等湿度、压力、密度等湿度、压力、密度等pp 导热系数反应了物质微观粒子传递热量特征。导热系数反应了物质微观粒子传递热量特征。导热系数反应了物质微观粒子传递热量特征。导热系数反应了物质微观粒子传递热量特征。第7页u 不一样物质导热机理不一样物质导热机理 气体导热系数气体导热系数气体导热系数气体导热系数依靠分子依靠分子依靠分子依靠分子无规则热运动无规则热运动无规则热运动无规则热运动和相互碰撞实现热量传递和相互碰撞实现热量传递和相互碰撞实现热量传递和相互碰撞实现热量传递 液体导热系数液体导热系数液体导热系数液体导热系数主要依靠晶格振动也有分子无规则运动和碰撞主要依靠晶格振动也有分子无规则运动和碰撞主要依靠晶格振动也有分子无规则运动和碰撞主要依靠晶格振动也有分子无规则运动和碰撞 固体热导率固体热导率固体热导率固体热导率依靠依靠依靠依靠自由电子自由电子自由电子自由电子迁移和晶格振动，主要依靠前者迁移和晶格振动，主要依靠前者迁移和晶格振动，主要依靠前者迁移和晶格振动，主要依靠前者 a)a)金属热导率：金属热导率：金属热导率：金属热导率：依靠依靠依靠依靠晶格振动晶格振动晶格振动晶格振动传递热量；传递热量；传递热量；传递热量；b)b)非金属热导率：非金属热导率：非金属热导率：非金属热导率：T T 导热系数导热系数导热系数导热系数 T T 导热系数导热系数导热系数导热系数 T T 导热系数导热系数导热系数导热系数 T T 导热系数导热系数导热系数导热系数第8页u 不一样物质导热系数不一样物质导热系数不一样物质导热系数不一样物质导热系数当当当当0.12 W/(m)(GB4272-92)0.12 W/(m)(GB4272-92)0.12 W/(m)(GB4272-92)0.12 W/(m)(GB4272-92)时，时，时，时，这种材料称为保温材料。高效能保温这种材料称为保温材料。高效能保温这种材料称为保温材料。高效能保温这种材料称为保温材料。高效能保温材料多为蜂窝状多孔结构。材料多为蜂窝状多孔结构。材料多为蜂窝状多孔结构。材料多为蜂窝状多孔结构。1.1.1.1.防潮防潮防潮防潮 2.2.2.2.防止挤压防止挤压防止挤压防止挤压 3.3.3.3.在中低温中在中低温中在中低温中在中低温中 第9页 导热系数取值const，不考虑温度对其影响 ，认为是温度线性函数第10页2-3 导热微分方程式及定解条件导热微分方程式及定解条件傅里叶定律：傅里叶定律：傅里叶定律：傅里叶定律：确定热流密度大小，应知道物体内温度场确定热流密度大小，应知道物体内温度场确定热流密度大小，应知道物体内温度场确定热流密度大小，应知道物体内温度场 理论基础：傅里叶定律理论基础：傅里叶定律理论基础：傅里叶定律理论基础：傅里叶定律 +能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律一、导热微分方程式 假设：假设：假设：假设：(1)(1)所研究物体是各向同性连续介质所研究物体是各向同性连续介质所研究物体是各向同性连续介质所研究物体是各向同性连续介质(2)(2)热导率、比热容和密度均为已知热导率、比热容和密度均为已知热导率、比热容和密度均为已知热导率、比热容和密度均为已知首要任务首要任务首要任务首要任务第11页在导热体中取一微元体在导热体中取一微元体导入与导导入与导出净热量出净热量依据依据依据依据能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律，单位时间内微元体热平衡关，单位时间内微元体热平衡关，单位时间内微元体热平衡关，单位时间内微元体热平衡关系式：系式：系式：系式：微元体产微元体产生热量生热量微元体微元体内能改变量内能改变量123第12页xyzdQxdQx+dxdQydQy+dydQz+dzdQz单单单单位位位位时时时时间间间间内内内内、沿沿沿沿 x x 轴轴轴轴方方方方向向向向、经经经经 x x 表表表表面面面面导导导导入入入入热量：热量：热量：热量：单单单单位位位位时时时时间间间间内内内内、沿沿沿沿 x x 轴轴轴轴方方方方向向向向、经经经经 x+dx x+dx 表表表表面面面面导出热量：导出热量：导出热量：导出热量：单位单位单位单位 时间内、沿时间内、沿时间内、沿时间内、沿 x x 轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量轴方向导入与导出微元体净热量 1 导入与导出微元体净热量导入与导出微元体净热量第13页净热量：净热量：单位单位单位单位 时间内、沿时间内、沿时间内、沿时间内、沿 x x 轴轴轴轴方向导入与导出微元体净热量方向导入与导出微元体净热量方向导入与导出微元体净热量方向导入与导出微元体净热量单位单位单位单位 时间内、沿时间内、沿时间内、沿时间内、沿 y y 轴轴轴轴方向导入与导出微元体净热量方向导入与导出微元体净热量方向导入与导出微元体净热量方向导入与导出微元体净热量单位单位单位单位 时间内、沿时间内、沿时间内、沿时间内、沿 z z 轴轴轴轴方向导入与导出微元体净热量方向导入与导出微元体净热量方向导入与导出微元体净热量方向导入与导出微元体净热量第14页2 单位时间微元体内热源发烧量单位时间微元体内热源发烧量3 单位时间微元体热力学能增量单位时间微元体热力学能增量第15页净热量内热源发烧量净热量内热源发烧量=内能增量内能增量导热微分方程式导热微分方程式导热过程能量方程导热过程能量方程xyzdQxdQx+dxdQydQy+dydQz+dzdQdQz z三维非稳态常物性导热微分方程式三维非稳态常物性导热微分方程式第16页热扩散率热扩散率物性参数物性参数物性参数物性参数 、c c c c和和和和 均均均均 为常数为常数为常数为常数,无内热源无内热源无内热源无内热源 物性参数为常数，物性参数为常数，物性参数为常数，物性参数为常数，无内热源无内热源无内热源无内热源,稳态稳态稳态稳态 物性参数为常数，物性参数为常数，物性参数为常数，物性参数为常数，无内热源无内热源无内热源无内热源,一维一维一维一维稳态稳态稳态稳态二、导热微分方程式简化拉普拉斯方程拉普拉斯方程第17页三、其它坐标下导热微分方程三、其它坐标下导热微分方程 对于圆柱坐标系对于圆柱坐标系 直角坐标直角坐标第18页四、导热过程单值性条件 导热微分方程式理论基础：导热微分方程式理论基础：导热微分方程式理论基础：导热微分方程式理论基础：单值性条件：确定唯一解附加补充说明条件单值性条件：确定唯一解附加补充说明条件单值性条件：确定唯一解附加补充说明条件单值性条件：确定唯一解附加补充说明条件 完整数学描述：导热微分方程完整数学描述：导热微分方程完整数学描述：导热微分方程完整数学描述：导热微分方程+单值性条件单值性条件单值性条件单值性条件傅里叶定律傅里叶定律傅里叶定律傅里叶定律+能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律它描写物体温度随时间和空间改变关系；没有包括详它描写物体温度随时间和空间改变关系；没有包括详它描写物体温度随时间和空间改变关系；没有包括详它描写物体温度随时间和空间改变关系；没有包括详细、特定导热过程。通用表示式。细、特定导热过程。通用表示式。细、特定导热过程。通用表示式。细、特定导热过程。通用表示式。对特定导热过程：需要得到满足该过程补充说明对特定导热过程：需要得到满足该过程补充说明对特定导热过程：需要得到满足该过程补充说明对特定导热过程：需要得到满足该过程补充说明 条件唯一解条件唯一解条件唯一解条件唯一解 单值性条件包含四项：单值性条件包含四项：单值性条件包含四项：单值性条件包含四项：几何条件几何条件几何条件几何条件物理条件物理条件物理条件物理条件初始条件初始条件初始条件初始条件边界条件边界条件边界条件边界条件第19页u 单值性条件单值性条件 几何条件几何条件几何条件几何条件如：物性参数如：物性参数如：物性参数如：物性参数 、c c 和和和和 数值，是否随温数值，是否随温数值，是否随温数值，是否随温度改变；有没有内热源、大小和分布；度改变；有没有内热源、大小和分布；度改变；有没有内热源、大小和分布；度改变；有没有内热源、大小和分布；又称时间条件，反应导热系统初始状态又称时间条件，反应导热系统初始状态又称时间条件，反应导热系统初始状态又称时间条件，反应导热系统初始状态 说明导热体边界上过程进行特点，反应过程与周围环境相互说明导热体边界上过程进行特点，反应过程与周围环境相互说明导热体边界上过程进行特点，反应过程与周围环境相互说明导热体边界上过程进行特点，反应过程与周围环境相互作用条件作用条件作用条件作用条件说明导热体几何形状和大小说明导热体几何形状和大小说明导热体几何形状和大小说明导热体几何形状和大小如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等说明导热体物理特征说明导热体物理特征说明导热体物理特征说明导热体物理特征 物理条件物理条件物理条件物理条件 初始条件初始条件初始条件初始条件 边界条件边界条件边界条件边界条件稳态导热过程不需要时间条件稳态导热过程不需要时间条件稳态导热过程不需要时间条件稳态导热过程不需要时间条件与时间无关与时间无关与时间无关与时间无关对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内温度分布对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内温度分布对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内温度分布对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内温度分布分类：第一类、第二类、第三类边界条件分类：第一类、第二类、第三类边界条件分类：第一类、第二类、第三类边界条件分类：第一类、第二类、第三类边界条件第20页u 边界条件边界条件 第一类边界条件第一类边界条件已知任一瞬间导热体边界上已知任一瞬间导热体边界上已知任一瞬间导热体边界上已知任一瞬间导热体边界上温度温度温度温度值值值值：稳态导热：稳态导热：稳态导热：稳态导热：t tw w=constconst非稳态导热：非稳态导热：非稳态导热：非稳态导热：t tw w=f=f(x,y,z,x,y,z,)o o x xt tw1w1t tw2w2例：例：例：例：第21页 第二类边界条件第二类边界条件依据傅里叶定律：依据傅里叶定律：依据傅里叶定律：依据傅里叶定律：已知物体边界上已知物体边界上已知物体边界上已知物体边界上热流密度热流密度热流密度热流密度分布及改变规律分布及改变规律分布及改变规律分布及改变规律：第第第第二二二二类类类类边边边边界界界界条条条条件件件件相相相相当当当当于于于于已已已已知知知知任任任任何何何何时时时时刻刻刻刻物物物物体体体体边边边边界界界界面面面面法法法法向向向向温温温温度梯度度梯度度梯度度梯度值值值值稳态导热：稳态导热：稳态导热：稳态导热：qw w非稳态导热：非稳态导热：非稳态导热：非稳态导热：特例：绝热边界面：特例：绝热边界面：特例：绝热边界面：特例：绝热边界面：第22页思索思索等温线与绝热边界位置关系应该为等温线与绝热边界位置关系应该为_，沿等温线沿等温线_存在热量传递，沿绝热边界存在热量传递，沿绝热边界_存在热量传递。存在热量传递。垂直相交垂直相交不不可能会可能会第23页 第三类边界条件第三类边界条件傅里叶定律：傅里叶定律：傅里叶定律：傅里叶定律：当当当当物物物物体体体体壁壁壁壁面面面面与与与与流流流流体体体体相相相相接接接接触触触触进进进进行行行行对对对对流流流流换换换换热热热热时时时时，已已已已知知知知任任任任一一一一时时时时刻刻刻刻边边边边界界界界面面面面周周周周围围围围流流流流体体体体温温温温度度度度 以以以以及及及及边边边边界界界界与与与与流流流流体之间体之间体之间体之间复合换热系数复合换热系数复合换热系数复合换热系数t tf f,h hqw w牛顿冷却定律：牛顿冷却定律：牛顿冷却定律：牛顿冷却定律：第24页导热微分方程式求解方法导热微分方程式求解方法导热微分方程单值性条件求解方法导热微分方程单值性条件求解方法导热微分方程单值性条件求解方法导热微分方程单值性条件求解方法 温度场温度场温度场温度场积分法、分离变量法、积分变换法、数值计算法积分法、分离变量法、积分变换法、数值计算法积分法、分离变量法、积分变换法、数值计算法积分法、分离变量法、积分变换法、数值计算法第25页 本章作业本章作业 2-2,2-5第26页 a a反应了导热过程中材料导热能力反应了导热过程中材料导热能力反应了导热过程中材料导热能力反应了导热过程中材料导热能力 与沿途物质储热能力与沿途物质储热能力与沿途物质储热能力与沿途物质储热能力 c c 之间关系之间关系之间关系之间关系.a a越大，表明热量能在整个物体中很快扩散，温度扯平能力越大，表明热量能在整个物体中很快扩散，温度扯平能力越大，表明热量能在整个物体中很快扩散，温度扯平能力越大，表明热量能在整个物体中很快扩散，温度扯平能力 越大，故称为越大，故称为越大，故称为越大，故称为热扩散率热扩散率热扩散率热扩散率u 热扩散率热扩散率a 分子分子分子分子 是物体导热系数。是物体导热系数。是物体导热系数。是物体导热系数。分母分母分母分母 c c是单位体积物体温度升高是单位体积物体温度升高是单位体积物体温度升高是单位体积物体温度升高1 1所需热量。所需热量。所需热量。所需热量。越大，表明在相同温度梯度下能够传到更多热量越大，表明在相同温度梯度下能够传到更多热量越大，表明在相同温度梯度下能够传到更多热量越大，表明在相同温度梯度下能够传到更多热量 c c越小，温度上升越小，温度上升越小，温度上升越小，温度上升1 1所吸收热量越少，能够剩下更多热量所吸收热量越少，能够剩下更多热量所吸收热量越少，能够剩下更多热量所吸收热量越少，能够剩下更多热量继续向物体内部传递，使物体各点温度更加快升高。继续向物体内部传递，使物体各点温度更加快升高。继续向物体内部传递，使物体各点温度更加快升高。继续向物体内部传递，使物体各点温度更加快升高。是是 与与1/(c)两两个因子结合个因子结合 a a越大，材料中温度改变越快速，越大，材料中温度改变越快速，越大，材料中温度改变越快速，越大，材料中温度改变越快速，a a也是材料传输温度改变能也是材料传输温度改变能也是材料传输温度改变能也是材料传输温度改变能 力大小指标，故有力大小指标，故有力大小指标，故有力大小指标，故有导温系数导温系数导温系数导温系数之称。之称。之称。之称。第27页