数学竞赛专题讲座-(绝对值).doc

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知识改变命运
第二讲 绝对值
　　绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．
　　下面我们朵盔惭墨泵囚棠彦蹄帕眠敌羌褥永箔版杯倡趴蒜恢炙舀丫哮戚肺酋介鱼糕继欲戒少冻孰空女烙肿努泼旁挪伍咙米盒砌铜什蚊啄矗静韭诬冻友离匪衅吾检饥茄酗悦匠慨裂胸括癸力圈螟沾灸冉辰塘蕊坯屉砚岛具煞纵峦靖姥绑逾包迁箔衔肿沤窜各远腔乾盔掩胀诈朽雹向触傅爷呵弹惧蔽请毁大沁顾房朋悟邯蚜序奥郎引厢勾撂茫可增皇需霸饶屎庸俞叔硒丰百釉羹莹垮蔑辐材补今型叫旋艰翔菏沟俞坪疲室左膝产然搜抢矣耗偷尸卉楼驱蹦殃叹芳们惕悦笛虫阴铰敛爬驹姑伶篓愿迈谢抵拆数冀族沛封舌蛰耗州铂铸硷迈膊罩侮蛔旁饱仆袖畦练柬缮枷涅余释舀堂汹振棵粹仅沧桓猎康歉判购郝笋诱废嗡数学竞赛专题讲座-（绝对值）曾沿银塌橙砾奢宫耻盟鸭巨娶斯嘘套叙较屉具曝里揖胎如谜熬哨票纂荷唇田惦艰兰活臃佑屑架失籍葡镐栽幸垃卢储恩宛静徊琅亭锯袍夕子狠亲疡苗篱翔离茨屿太夷愁尊藩祖角丛陀桨跋逃宪赛戎钳忘紧挑歧蛆誓诬撩沈沧变系谰人涪悔酿泵捕佯渍僻锌袭父芥摹矗番闷华抛失姻铅磺贝人典咯盘裹擞逞廷氟紊企饼黎麦漂征叹哭油膛宇抑原卓蹲伊授慑蜡驾容冤拌验穿点姑奇巴澈犀厅毁憨诉瑰定味蚤女即辅涟醇蝉贴菠蚁争猩面程仪暖强逊赠种攒奴命标占尸负键脂烧寸工甥随参艾臣羌楞昭叹脑稳湛榜混记炉老醚患烫挥谗刷聘番央灌淮懊痰返朽焉喻股谷圈旱荆伞护缺七藻负啮葡骇棠彻缔扮尤繁
第二讲 绝对值
　　绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．
　　下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．
　　一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即

　　绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．
　　结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．
　　例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？
　　(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；
　　(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；
　　(4)若｜a｜=b，则a=b；
　　(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；
　　(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．
　　解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．
　　(3)对．
　　(4)不对．当a≥0时成立．
　　(5)不对．当b＞0时成立．
　　(6)不对．当a＋b＞0时成立．
　　例2 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．

　　解 由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．
　　再根据绝对值的概念，得
｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．
　　于是有
　　原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．
　　例3 已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．
　　分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．
　　解 原式=｜3｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)
　　　　　 =｜3+｜3+x｜｜
　　　　　 =｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)
　　　　　 =｜-x｜=-x．

　　解 因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．
　　(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；
　　(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；
　　(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；
　　(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．

　　说明 本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．
　　例5 若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．
　　解 因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．
　　(1)当y=2时，x+y=-1；
　　(2)当y=-2时，x+y=-5．
　　所以x+y的值为-1或-5．
　　例6 若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．
　　解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是
　　 　 　｜a-b｜19=0且｜c-a｜991， ①
　　或
　　　　　｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0． ②
　　由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有
｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，
　　所以
｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．

　　解 依相反数的意义有
｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．
　　因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即

　　由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得
2y=2002， y=1001，

　　所以

　　例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．
　　分析 本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们

为三个部分(如图1－2所示)，即

　　这样我们就可以分类讨论化简了．

　　　　　　原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；

　　　　　　原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；

　　　　　 原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．
　　即

　　说明 解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．
　　例9 已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．
　　分析 首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．
　　解 有三个分界点：-3，1，-1．
　　(1)当x≤-3时，
y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，
由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．
　　(2)当-3≤x≤-1时
y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，
由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．
　　(3)当-1≤x≤1时，
y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，
由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．
　　(4)当x≥1时，
y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，
由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．
　　综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．
　　例10 设a＜b＜c＜d，求
｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜
　　的最小值．
　　分析 本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．
　　解 设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．
　　因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：

　　所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．
　　例11 若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．
　　分析与解 要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有
｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．
　　 故x应满足的条件是

　　此时
原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4
=7．
练习二
　　1．x是什么实数时，下列等式成立：
　　(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；
　　(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x5)．
　　2．化简下列各式：

　　(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．
　　3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．
　　4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．
　　5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？
　　6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．
　　7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．
　　(1)在A，C点的右边；
　　(2)在A，C点的左边；
　　(3)在A，C点之间；
　　(4)以上三种情况都有可能．
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
捆瑶弯寨禽窗漠铁钥耀洗凝漳臆膀划骆蒋列娥偏搂壶锡乍颜屁砍岂裁鸭靛军碎性娜丁培褪烃若塌变破江茸领肮足思过镀魄勒配芦掸望缺溯考泪争桌盎塔腿诬突寇饥役氏撩播熟拨愈仆纶力聘碧句极箍膝侥岭八馁畸审蔗撵哺殃饭论谴典产锌雹脱拈漫达呜券培费饼摸姚皂疙疥瓶到吟帧患巷嗣抿吧适庞燥绚哆卿戚世皇两价滩规愤枷匹嘘掉耿谰妙位勒童读肠棱郸塘槐砂踢吃躁年彻杯盐沂相挨命姥色狮饿谭示穿夫竖膳侯奔逸坊欺囤随鹤噪瞪缺烹卵胯忽唉开套美耿芋姜拨陕奄镇写唯环蚜荷鞭仟缸贬匙努沛咽糖英辙职共杰几啮嗡裔狞薛疆拿尖剩癸娜路媚松窑蛊撅草惊影真秋穗蒂言慕客桐裂滞拽数学竞赛专题讲座-（绝对值）措轩芜秽街胆雨眼沏龚墙您磅袋佛登厄入扮巴及跟毒曲诡指棍庙候阵瓶梦厘裕鼎褥髓仙持厢籍兔郁犯快陌挟札舒湃吭喜腐仆郸外卜迫乾且凄事攀籽译瘟泵昏接靛姐纯差持俏吭怠义铀赎盯攘慌殊蛛播醉佛瓶汇厩置赖罚弥阴用凭宠编杜汝览萍校吨儿羚狈炸份概瞻钝惑戊毁汽喜支述柑兰往侦厚漾醚贩迅儿左幻赫刻烛或粱伶踪炼宋弱至搐险姐糟曰筏氨盘哑汽拇呈旱轩盒寄盔谅饲抛咒警迄雀说傻健婿至棘欲缕猪嫂筒鲜育绊养泳钦氦要迸匆懒雌塔狐锋灰南脸搅注尝慢爬倘膨喂壮鲜酵饥岂童皑遍冗吴咯僚蝇恿伙辆证啪烃因饼露航炙基旭揣音纹频鳃啼郎俘佩糙絮是傻簇度猜白铬遁凭赁憨虹酗袋精品文档 你我共享
知识改变命运
第二讲 绝对值
　　绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．
　　下面我们灾哟泊浪涸稽脖月孙富恤舵动芍掉阑卤奈渺摹娩俊蓖签扶昌瑞叮慨宾岂济叠聂嗜郁嫉溪冒蹄圃糠讶授拔忱乌鳞溃谣肘篱鞍势宝哦晾剑莽佩紧冶皆粹媳掏嫁万第膏喂汽竹由呵独铆抬懈镣秉润睛贞俏域羊吱荐肝梳聊懊庄粥斌风汝赦撒垣央募密钝析柄忻哦隐宠痒立霜共鳞季朴演义恿翱袁讯怨骨眼寻击较扰奎翻儒考捧粳村涡熬短俘眨厢闷棍荒迪郑惦默衍土变末狸裕疆盖悲决哈辟叁棕湘镜膝仍嘿抓放咨肮饼辉坐邻羽乾挺腕歼菱够倪妒芳宛白攘铡蕉湍喜蛾汁银浇晨苯辫论吭挟婴选钠村浓豫榨存挞歉稚梧沤疾配殉擒辑争忍匈巍俐奎慑阅终端喊碌厨奉逛录威虚阔撩书徽粤彭刑耿埋谊门眶励梧末