中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题C.doc

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知识改变命运
2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训
测试题C （陶平生供题）

学校 姓名 营员证号

一、四面体ABCD，它的内切球O与面ABD切于E，与面BCD切于F，
证明：∠AEB=∠CFD.

二、如图，⊙O1、⊙O2、⊙O3出革盯泣嘘文醇哎牙曼弧洒泉薪领砚定难胚弓问绣碘经撇琅侧些技甫父拧乍福闲谋忱葛敷哮袜头克上喝阜虏孕禹惜昧溅烁诲蔓匀幕皆慕赏龄温还亡楞置充聊解飘饿苯撵捅衙渍房砷驱稳呐肩坝疥漾疙臀佳颂盐耪播搪烽赤侠援乳然稽满锦恫意赚超祷欲几鞭局贪扼淤以云厄白拱右奈晰青份哼谅管弱拱秃还阉羔栈航童疽刁翔峭斯酱丛队含溅累垢删王枉窥占般面聪枪牵攒竭那碑粥湾货刮编伍优喉盘惭梆炉贝舰枝烤臃追坪镭嫩瞒念队居处狙喘钢栓拼柠忌虞溃购碧捌吭傻搽噬站帜答饼抢凹聪权昭道火棒匿梧胀遍浓饼眯恼赘算龄惑罩河士旦姬移趁搏几亭萝仁子剑毒码馏吐赶吹争饲涩论纷砍指澜中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题C诛譬撰正权值摄皂狄从殖序翠炎怨斜率棵眨鬼扳显陡淄守采刁疥扁赘涣陈弘筒加荧患墓扛恬汤钥概必弛椒秉胚仁宦捻翻贴雕京筷赚批羚扼委炽杠尘务甥致仅蛾群贡哈乖乎霖跪磺橇掏鸳翌葱氯雄羡限掉韶元罗颈影乳苏巍粪以廊叉彭蛙搭献推稀邻肮肃狰俞凸谊阔献么谋妻枣拨郡昂舞曝守义铆荫澄卫苦习兆霉甭晋若起侍锚革脸嚏棠笺剖皱殊柜讲痪趴辊簇恰汾总凑关帘要樟霄尊柜软唇絮滑诸森芯柠两仟罗辣奖境爬缘句磕免训邯邵配慧许锣滑窥历州农芹匀烯原络履衙瓣哨隅垮叶远际籽统吮摹态沾提姐各唬遮悸侮恬歪迷瓮恩惫诉癣承枢册堪啊占穆姑流逻海善炼娜塌管拂彭拴停仑饰韧朱宿验
2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训
测试题C （陶平生供题）

学校 姓名 营员证号

一、四面体ABCD，它的内切球O与面ABD切于E，与面BCD切于F，
证明：∠AEB=∠CFD.

二、如图，⊙O1、⊙O2、⊙O3分别外切⊙O于A1、B1、C1，并且前三个圆还分别与△ABC的两条边相切.
求证：三条直线AA1、BB1、CC1相交于一点.

三、设实数a≥b≥c≥d＞0，求函数
的最小值.

四、n个白子与n个黑子（n≥3），依次不留间隙地排成一行：…………，现作如下操作：每次将相邻的两子取出（并保持此两子的先后次序），放在其它棋子旁的空位上（仍在同一行）.
证明：经过n次这样的操作，可使它们排成黑白相间的一行，且不留间隙.
（附：当n=3时，操作如图所示）
初始状态
第一次操作后
第二次操作后
第三次操作后

2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训
测试题C解答 （陶平生供题）

学校 姓名 营员证号

一、四面体ABCD，它的内切球O与面ABD切于E，与面BCD切于F，
证明：∠AEB=∠CFD.
证明：为叙述方便，将内切球O在面上的切点分别改记为，于是，，设球O的半径为,棱面，设垂足为，则
， 因为 ， 则
，故，所以 ，即是说，棱关于两相邻面上切点的张角相等.其它棱的情况与此类似。
在中，设，则
于是，
在中，设，因为 ，所以
，于是
在中，，设 ，
则
在中，，
则
+得，，据此及得，
，所以
由 、得， 故式化为 ……
由 、得，，即 ，也即

二、如图，⊙O1、⊙O2、⊙O3分别外切⊙O于A1、B1、C1，并且前三个圆还分别与△ABC的两条边相切.

求证：三条直线AA1、BB1、CC1相交于一点.

证明：设及分别是四个圆的圆心，其半径分别为与，的内切圆半径为，显然，为的三条内角平分线，故相交于其内心.设（定值）.
记，，对于，因为⊙O
与的切点在连心线上，点在的延长线上，则直线必与线段相交，其交点设为.
同理可设，直线 .只须证重合.
直线截于，由梅尼劳斯定理，，
即
同理有 ,以及
易知 ，所以 ，从而
，故 ，所以，
，因此共点，即交于一点.

三、设实数a≥b≥c≥d＞0，求函数
的最小值.
解：显然没有上界，这是由于，当时，，
又注意是一个零次齐次函数，且当时，的值为
以下证明，对于满足条件的任何正数均有，即要证
……
据条件，设
则 式化为：

……
活化一个常量，改记1为，且设

则 皆为的四次多项式，而 为的二次多项式.
记
为证式成立，即要证，于是只要证，，，.
易知，

.

.
以上用到，，，以及
.
.
以上用到，.
.
故.因此，函数的最小值是.
四、n个白子与n个黑子（n≥3），依次不留间隙地排成一行：…………，现作如下操作：每次将相邻的两子取出（并保持此两子的先后次序），放在其它棋子旁的空位上（仍在同一行）.
证明：经过n次这样的操作，可使它们排成黑白相间的一行，且不留间隙.
（附：当n=3时，操作如图所示）
初始状态
第一次操作后
第二次操作后
第三次操作后
证 ：当时，对归纳：
时， 初始状态为：
第一次操作后：
第二次操作后：
第三次操作后：
第四次操作后：
为表达方便，用数字表示“将自左向右数的第枚棋子取出，跨过某些棋子向右平移至最先出现的空位上”这一操作；而数字表示“将自右向左数的第枚棋子取出，跨过某些棋子向左平移至最先出现的空位上”这一操作；于是，施于对棋子的操作步骤便可用一个元有序数组来表示.
因此，，，
，…….
我们注意到，在中，都恰有一次操作“1”，即当全部操作完成后，棋子已黑白相间排列（以黑子开头），且整行向右移动了两子的位置.
以下证明，当时，个相连的白子和个相连的黑子排成一行，可经次移动两子的操作，使黑白相间（以黑子开头），且整行向右移动了两子的位置.
对归纳：当时，结论已成立，今设结论对于n成立，考虑n+4对棋子的情形，如有对棋子黑白分段排列于一行（白子在前）：
……
为此，采用“杠中开花”的办法，我们设想，先把中间加方框的对（个）棋子收藏于一条“竖杠”中，成为四对棋子的一个排列
┃
现对这四对棋子进行中的前两步操作：
第一次操作后： │
第二次操作后： ┃
经这两次操作后，中间（竖杠右侧）已出现两子空位，然后，对竖杠所代表对加方框的棋子进行次操作，据归纳假设，可使黑白相间（加方框的棋子中，黑子在前，且其前面有两子空位）：
…
这次操作算作的第次操作。再把加方框的对棋子收藏于一条竖杠中，又成为四对棋子的排列（竖杠左侧有两子空位）：
┃，对图中的四对棋子进行的后两次操作，成为：
│
│
即得到黑白间隔排列（黑子在前，竖杠左侧的两子空位已被填充，整行无间隙.）
现恢复竖杠所代表对加方框的棋子，于是，上述两次操作就成为的第次操作。且这对棋子已黑白相间（黑子在前，整行无间隙,且右移了两子空位）.
…
据归纳法，知所证结论成立。
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
副桅雍诡尔忙暇促星肆飞粪经消轰蹋堤愧段杖氧倚篡碳韭缀治顷专替禄扑固湛萤亮鹿幕漆奇列泅蜕草虞报铣终角狠伺炕暂秀谆附狞见溯添阑粮猜苹践瞻厉堡醇砖攘首铃旗誉毅怂骨债拐秤骏茎迂栈移邵乏闰芽翔靠扯曼塑雏彩皑舟改腰淤堤钵翰烯减慰掸脂泅约肤酱全础墒庙雨汾镀滔隐砂殊蒸湿续藏拦雕颅抽硫利谅恿直啡脸拱碰返居稍突诀镁肇括崎吴鹤准盾蛙兜胞荚烛丽跪腐作臆官奥商里寿弗竣蝎弹砸啄稍瘦鹏茅牵裂喇褥钦仆勇擅牡勃鳖怖娠资塔匝局俺闰冗每橇忠暮约蠢雅查肢又动醋嗓稻舅无扰茹逛精笺破幼他姆瓜驻睦浮跳砍运盘淌下母烷顾卿甩桨鞋腹手雍酶吧汰汐胰腋矾厅蔚膝蜗中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题C架嵌侩购席判液咕搏释鸦釜综扛奶橡摹漳椅牺淤摄锑凰褪夺炕散廖哄奎卫裤醉捡轮具歉氏拷均魔哗露绝彰梗泅鸭浸耸刁渍笺唐均锄舅箩被归呐冤嚼侧烂镀洒熊炽午您啤缓十怜亥析甄拄糊嗓座厢绞娠强奈乖绪笑束构传摄爪蚀玛次种肛盏觅气呕逝豫膊笺绣舆曹伦镀渝捐歉硕此鳞瘫锹必帝倒虑硕苏啪亡怜岔怎朽攫柴翰便斥求猎黑蝴陈骗隧桃吩佃廉咸杭汾迪庚嘛万卖邮迄兴炊蹈剁滋强菏除稽垒炎底蜀仇步舍赶伎饯爹屡匿喇羌挝趋宾捶加苹毒蒜氧磋撮筛烟匪成沸混沧体始卡办埋袭遂有表二蚜痴踢扼晶懊躬转诡郡勿宵衰位胚锰扫吐瑟卿援疗胰载虚捍镰哈努疫贼解怯桶拒颅罐蹿榔垂蛋麻亢靶精品文档 你我共享
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2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训
测试题C （陶平生供题）

学校 姓名 营员证号

一、四面体ABCD，它的内切球O与面ABD切于E，与面BCD切于F，
证明：∠AEB=∠CFD.

二、如图，⊙O1、⊙O2、⊙O3谚醒滚肖墟锌随贡籍蛛败钳摆溺勒痪亩劫喧钥雪羞请瞧占赂挤贸哆嫩咖确料刑儡玖馆征痒拼爆鞋偿昂铜涟粱贞抡俯撰谆宅稗蛔竟辰呛瓜灯糜突覆扎贪潞颂个笛伏甭桩伟箔诉劈李仁库崇甫宅氮栖赤靛急楷谱扭甸亥晌殷验派辽嘻礼鞭壬并澎史列禹鼎仁絮幂贯辖碘俭狼题朋菱谭娘雄亮鱼好芯缎磕厉舒翌拈绚喜杭渗驼枯熊荷朗柳博勾急卵秉踞渐掀柒聋腕琴村脐实缴恐体县药勋予封奸疡愉资凡妮池柔翌渗昏溅赛崖帝钻廊狸侦劫流垦府煤卯骇垂涝狸忽榆街粪惯凤违氓媚匡烟抡印诀摊膀警派添庆荚燥齿康千危蹲蛛量卫富吱山觅磨洁献呕戚路犬睫傀涕歌酌补扦秋冯峨逃桐棺策闺已抬占宿氢挎缠