高三理科数学第一轮专题检测训练13.doc

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(推荐时间：50分钟)
1． 已知向量m＝(sin x,1)，n＝(A>0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.
(1)求A；
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域．
解　(1)f(x)＝m·n＝Asin xcos x＋cos 2x
＝A＝Asin.
因为A>0，由题意知A＝6.
(2)由(1)得f(x)＝6sin.
将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到y＝6sin＝6sin的图象；
再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y＝6sin的图象．
因此g(x)＝6sin.
因为x∈，
所以4x＋∈，
故g(x)在上的值域为[－3,6]．
2． 某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位：cm)．跳高成绩在175 cm以上(包括175 cm)定义为“合格”，成绩在175 cm以下定义为“不合格”．鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员， 学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队．

(1)求甲队队员跳高成绩的中位数；
(2)如果从所有的运动员中用分层抽样共抽取“合格”与“不合格”的人数共5人，则各抽取多少人？
(3)若从所有“合格”运动员中选取2名，用X表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．
解　(1)中位数＝＝177 cm.
(2)根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，
用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是＝，
所以选中的“合格”有12×＝2人，
“不合格”有18×＝3人．
(3)依题意，X的取值为0,1,2.则
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝.
因此，X的分布列如下：
X
0
1
2
P

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.
3． 如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD.底面ABCD为直角梯形，
∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝PB，BC＝2AD.点E在棱PA上，
且PE＝2EA.
(1)求证：CD⊥平面PBD；
(2)求二面角A－BE－D的余弦值．
(1)证明　以B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，
BP所在直线为z轴，建立如图所示坐标系．
设AD＝1，则
B(0,0,0)，C(2,0,0)，D(1,1,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，E，
＝(－1,1,0)，＝(0,0,1)，
＝(1,1,0)．
∴·＝0，即CD⊥BP.
·＝0，即CD⊥BD，
又PB∩BD＝B，∴CD⊥平面PBD.
(2)解　设平面EBD的法向量n＝(x，y,1)，
＝
∴⇒
∴n＝，
又平面ABE的法向量为，设二面角的平面角为θ，
∴cos θ＝＝＝.
即二面角A－BE－D的余弦值为.
4． 已知数列{an}是一个公差大于零的等差数列，且a3a6＝55，a2＋a7＝16，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝2bn－2.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，Tn＝c1＋c2＋…＋cn，试比较Tn与的大小，并予以证明．
解　(1)依题意，设等差数列{an}的公差为d(d>0)，
则有
将②代入①得(16－3d)(16＋3d)＝220，
即d2＝4，∵d>0，∴d＝2，a1＝1，∴an＝2n－1，
当n＝1时，S1＝2b1－2，b1＝2，
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝(2bn－2)－(2bn－1－2)
＝2bn－2bn－1，
∴bn＝2bn－1.
∴{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列．
即bn＝2n.
(2)cn＝＝，
Tn＝＋＋…＋ ③
Tn＝＋＋…＋＋ ④
∴③－④得，Tn＝＋＋＋…＋－
＝＋＋＋…＋－
＝＋－＝－
∴Tn＝3－.
Tn－＝3－－＝，
要比较Tn与的大小，
只需比较2n与2n＋1的大小即可．
由2<2×1＋1；22<2×2＋1；23>2×3＋1,24>2×4＋1，…
可猜想当n≥3时，2n>2n＋1.
证明如下：1°当n＝3时，显然成立．
2°假设n＝k(k≥3)时，猜想成立，即2k>2k＋1，
当n＝k＋1时，
2k＋1＝2·2k>2(2k＋1)＝4k＋2
＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)>2(k＋1)＋1.
∴当n＝k＋1时，猜想也成立．
由1°，2°知，对一切n≥3的正整数，都有2n>2n＋1.
综上，当n＝1,2时，Tn<，当n≥3时，Tn>.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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