基于马尔可夫模型的多等级灾害下复杂系统可靠性和维修分析.pdf

第 卷第 期运 筹 与 管 理 ，年 月 收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（，）；教育部人文社科规划基金资助项目（）；河南省高等学校青年骨干教师培养计划项目（）；河南省高校科技创新人才支持计划项目（）；河南省科技攻关项目（）作者简介：兑红炎（），男，河南新郑人，博士，教授，研究方向：系统可靠性和重要度；刘凯鑫（），女，河南商丘人，硕士，研究方向：系统可靠性；陶俊勇（），通讯作者，男，内蒙古赤峰人，博士，教授，研究方向：复杂系统故障诊断和可靠性。基于马尔可夫模型的多等级灾害下复杂系统可靠性和维修分析兑红炎，刘凯鑫，陶俊勇（郑州大学 管理学院，河南 郑州 ；国防科技大学 智能科学学院，湖南 长沙 ）摘要：近些年来，自然灾害发生的频率逐渐增加，复杂系统的规模越来越大，导致了巨大的经济损失。由于自然灾害的预测较难，且灾害极易对复杂系统造成巨大冲击，因此，对复杂系统的可靠性和维修分析显得尤为重要。本文研究多等级灾害下的复杂系统的维修策略。首先基于马尔可夫模型对多态复杂系统性能进行分析，基于系统性能变化对复杂系统的损失进行分析，然后以系统总损失最小为目标来确定故障组件的维修集合。由于资源限制，假设每次只能修复一条故障线路，而且不同线路对系统损耗的影响不同，因此必须确定修复故障线路的顺序，本文利用综合重要度来确定维修集合中组件的维修顺序。最后以 节点标准配电系统为例，对其进行可靠性和维修分析，提出给定故障组件集合下的维修策略，从而验证了模型的可行性。关键词：可靠性；维修；马尔可夫模型；组件重要度中图分类号：文章标识码：文章编号：（）：，（，；，）：，“”，；，：；引言复杂系统指的是由一个或多个组件构成的系统，系统组件之间的依赖关系完全未知或难以建模，与普通系统不同，复杂系统具有不确定性的特点 。随着我国经济的快速发展，复杂系统的规模变得越来越大，随之而来的是系统风险性的增加。当灾害使复杂系统中的组件故障时，可能使得整个复杂系统发生重创，造成巨大经济损失。年 月苏伊士运河发生堵塞，引起了“蝴蝶效应”，据世界保险业巨头安联保险集团估计，苏伊士运河堵塞对国际贸易造成的损失在每周 亿至 亿美元之间。随着灾害的不断发生，人们逐渐将目光聚焦到系统的灾前预防和灾后维修上面，以期降低灾害对系统的损失。由于灾害预测比较困难，且灾害造成的损失巨大，因此把研究重点放在复杂系统的可靠性和灾后维修分析上很有必要。关于复杂系统可靠性的研究，王丽英等 建立了多运行水平马尔可夫可修系统模型，以聚合马氏过程理论为基础对系统进行可靠性分析。张权等 ，提出了可修系统可靠性分析，并给出对应的马尔可夫模型。刘宝亮等 将复杂系统运行水平相同的状态划分为多个运行水平，定义了系统的点可用度、区间可用度、点区间混合可用度的可靠性新型指标，基于新型指标对系统可靠性进行分析。兑红炎等 分析了节点综合重要度对系统可靠性的影响机理，识别对系统可靠性变化影响最大的节点。王海鹏和段富海 将模糊数学和灰色系统理论引入贝叶斯网络模型中，提出一种基于区间特征量的复杂不确定系统可靠性分析方法。等 将结构可靠性和系统可靠性结合起来，提出了一种考虑不确定性的复杂系统可靠性量化方法。等 等对具有认知不确定性和共因失效的复杂多状态系统进行了可靠性分析。关于复杂系统的维修分析，等 从可靠性工程的角度提出了运 筹 与 管 理 年第 卷新的一种基于可用性的弹性度量，基于弹性度量开发了一种动态贝叶斯系统来预测工程系统的恢复值。等 提出了一个三层模型，综合考虑了预防性维修和灾后维修，明确地将中断设施的恢复策略决策与保护设施免受蓄意攻击的决策结合起来。关于重要度的研究，等 基于 重要度定义了组件维修优先级，有效地指导了组件的预防性维修。等 提出了一个扩展的综合重要度以指导如何有效地选择预防性维修的组件，使系统性能最大化。潘星等 考虑系统性能和维修时间，用组件恢复对系统性能的影响与最大可能影响的比值乘以维修时间，衡量了组件重要度。王成等 构建了系统可靠性模型和组件更换优化模型，采用边际效应思想和重要度理论，提出了一种基于成本效益重要度的复杂系统保障维修策略。以上研究没有分析自然灾害对复杂系统维修的影响，且自然灾害的变化是多等级的。本文研究多等级灾害下的复杂系统的灾后维修策略。基于马尔可夫模型系统地分析组件状态变化对系统性能的影响机理，综合考虑灾害的多等级性提出复杂系统的损失公式，并提出复杂系统综合重要度公式。基于损失公式和综合重要度确定复杂系统的灾后维修策略。基于马尔可夫模型的多等级灾害下的复杂系统期望损失分析复杂系统由 个组件构成，第 个组件 的正常性能为，系统性能 是 个组件的性能的函数，表示为 （），。正常情况下，所有组件正常工作，当灾害发生时，某些组件发生故障，组件性能下降。设所有组件的集合表示为 ，故障组件的集合表示为 ，处于正常工作状态的组件集合表示为 。本文考虑灾害的多等级性，当给定灾害现在所处的等级状态，则灾害等级将来发展的概率规律与过去无关，可认为灾害等级的状态转移过程是离散状态空间上的时齐的连续时间马尔可夫过程。对于不同类型的灾害，根据灾害性质进行等级划分。设灾害等级 （），是取值在 ，上的时齐的连续时间马尔可夫过程，灾害等级按照，依次递增。时段内灾害等级由 转移至 的转移率为 ，灾害等级的转移率矩阵 为 。令（）（），它表示（，）时段内灾害处于状态 的概率。当等级为 （）的灾害 发生时，组件 在 时刻的性能变为（）。定义 变量（）表示组件是否故障，若，组件灾后性能（），（）；若 ，组 件 性 能（），（）。灾害发生后的系统性能是各组件灾后性能的函数，如公式（）所示。（，）（）（）在本文中，系统中每个组件有 种状态，且组件的状态转移符合马尔可夫过程。设 （），是取值在 ，离散状态空间上的时齐马尔可夫过程，代表组件的状态。其中 （）的取值越大，代表性能越高，取值 时，性能达到正常性能。在 级灾害发生时，故障组件 在 时刻的状态用（）表示，组件的状态（）和实际性能（）之间的关系如公式（）所示，其中 是状态系数。（）（）（）灾害发生和维修使得组件发生状态转移，组件状态的转移率矩阵 为 。其中 表 示 组 件 由 状 态 转 移 至 状 态 的 转 移 率，。灾害 发生时使得组件 由状态 转移到状态（），（）的取值是状态空间 上的任一取值，若（）取值为 ，则此组件由状态 转移至状态 的转移率为，直接损失为。维修使得故障组件性能提升，由灾后状态（）转移至更好的状态。本文认为故障组件均可经过维修转移至最佳状态，设单次只能维修一个组件，由于维修时间需要限制在时间区间（，）内，因此只有部分故障组件会被选择进行维修，定义故障组件的维修集合为 。定义一个 变量，取值为 代表故障组件 被成功维修，且；取值为 代表不对其进行维修，且 。直接损失指的灾害对基础设施所造成的伤害，只与 故 障 组 件的 灾 后 状 态有 关，即由 灾 后 状态（）维修至最佳状态 所需的全部费用。设故第 期兑红炎，等：基于马尔可夫模型的多等级灾害下复杂系统可靠性和维修分析障组件 在 等级灾害下的直接损失为（），则 级灾害下系统的直接损失（）是所有被维修的组件的直接损失的总和，如公式（）所示。由于灾害等级的不确定性，用不同等级灾害下的组件和系统直接损失的期望值分别作为组件和复杂系统最终的直接损失，如公式（）（）所示。（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）间接损失是指系统由于系统性能下降所造成的损失。由于灾害等级的不确定性，设 级灾害发生时系统的间接损失是 （），用不同等级下的间接损失的期望值作为最终的间接损失 ，如公式（）所示。（）（）（）多等级灾害下的复杂系统维修分析图 展示了不同等级灾害发生时，系统性能的变化情况。以 级灾害发生时系统性能的变化情况为例进行说明。复杂系统在正常工作时的性能表示为，时刻 级灾害发生，系统性能下降至最低；时刻开始对故障组件进行维修，维修使得故障组件由灾后状态转移至最佳状态，由于单次只能维修一个故障组件，系统性能是逐渐提升；时刻维修终止，系统性能恢复至 （，），恢复后的性能等于或者低于，其中（，）（，）。阴影部分表示 级灾害下系统的间接损失 （），表示为系统正常性能与灾后的系统实际性能差值的积分，如公式（）所示。级灾害下的总损失表示为 （），是 级灾害下直接损失和间接损失的和，如公式（）所示。复杂系统的总损失表示为 ，是系统直接损失和间接损失的和，如公式（）所示，同时也可表示为各级灾害下损失 （）的期望值，如公式（）所示。（）（，）（）（）（）（）（）（，）（）（）（）（，）（）（）（）（，）（）（）图 不同等级灾害下系统性能曲线图维修过程中，故障组件均可由灾后状态 维修至最佳状态，状态转移率为，组件的维修时间服从参数为 的指数分布，由状态 维修至状态 所需时间为 ，即为维修时间。用维修时间的期望值 作为组件由状态 维修至状态的维修时间。级灾害发生时，故障组件的灾后状态变为（）。设故障组件 在 级灾害下的维修时间为，如公式（）所示。综合考虑灾害的多等级性，故障组件 的维修时间为，如公式（）所示。整个复杂系统的维修时间为 ，对应图 中的，如公式（）所示，且总维修时间应该限制在（，）内，如公式（）所示。（），（）（）（）（）（）（），（）（）（）首先以总损失最小为目标，确定故障组件的维修集合。然后定义了一个复杂系统综合重要度，基于综合重要度排序确定故障组件的维修顺序。（）（）（）（）（）运 筹 与 管 理 年第 卷公式（）中，代表故障组件的维修集合，（）（，）表示 级灾害下维修集合是 时系统的间接损失，其中 （，）表示维修集合是 时系统的性能。公式（）表示确定故障组件的维修集合可以使得总损失最小。在复杂系统规划中，了解哪个组件（港口，水路连接等）对复杂系统性能的影响最大至关重要。重要度用于确定与系统改进相关的操作方向和优先级，目的在于找到维护系统状态的最有效方法。本文将重要度与系统总损失相结合，提出复杂系统综合重要度的概念，目的是在确定故障组件的维修集合的基础上，确定组件维修的先后顺序。等 提出了组件综合重要度的概念，如公式（）所示。（），（，）（，）（）其中，表示组件 处于状态 的概率，表示组件由状态 转移至状态 的转移率，（，）表示系统中组件 处于状态 时，系统状态等于 的概率，（，）表示组件 处于状态 时，系统状态等于 的概率。表示系统处于状态 时对应的系统性能。（）是组件 的综合重要度，表示组件 从状态 转移至状态 （）所导致的系统性能损失率。本文借鉴公式（）的思想，将组件状态的转移强度、灾难的多等级性和损失考虑进重要度，提出复杂系统综合重要度的概念，以研究组件状态变化对系统总损失的影响，如公式（）所示。，（）（，）（，）（）其中 表示 级灾害发生时组件的灾后状态；代表 级灾害发生时组件 处于 的概率，由于本文给定了灾害发生时故障组件的灾后状态，故取值为 ；，代表组件由灾后状态 转移至正常状态 的转移率；（）表示时间区间（，）内灾害位于 等级的概率；（，）表示 级灾害下将故障组件 维修至最佳状态 时系统的最小总损失；（，）表示 级灾害下故障组件 没有被维修时系统最小总损失。是组件的综合重要度，衡量将组件 维修至正常状态对系统总损失的减少程度，该值越大，说明该组件越重要，其维修顺序越靠前。案例分析本文利用 节点标准配电系统为例来证明模型的可行性，如图 所示。节点标准配电系统包含 个母线节点，条线路，节点共有三种，发电节点为 ，用户节点为 ，均已在图 中标出，其余节点为配电节点。每条线路代表一个组件，每条电网支路由若干条线路构成，不考虑线路产生的热量。各输电线路的输送容量表示组件性能，电网支路指由发电节点到配电节点的路线，电网中各支路的最大输送容量的和作为电力系统的性能。图 节点标准配电系统拓扑图设灾难的等级共有 种，令（）（），它表示线路处于 状态的概率。给出灾难等级的转移率矩阵 为 。假设灾难等级在时间区间（，）内不变，的值为 天，求得灾害在（，）内停留在某个等级的概率如表 所示。表 （，）时段内灾难位于某个等级的概率灾难等级概率 设线路的状态共有 种，（），。给 赋值为 ，则（），分别表示线路的输送容量变为正常输送容量的 ，。由线路 的 输 送 容 量和 状 态 之 间 的 关 系（）（），可由线路状态求得线路的实际输送容量。给出线路状态转移率矩阵如下。给定灾害发生时的故障组件的集合为 ，假设不同等级灾害发生时的故障线路的集合是一样的。线路第 期兑红炎，等：基于马尔可夫模型的多等级灾害下复杂系统可靠性和维修分析状态如表 所示，其中状态 表示等级为 的灾害发生时线路的状态，状态 表示等级为 的灾害发生时的线路状态，状态 表示等级为 的灾害发生时线路的状态。不同灾害对应的直接损失如表 所示。表 故障线路状态表线路 状态 状态 状态 表 故障组件直接损失表（万元）线路 （）（）（）在以上数据的基础上进行求解，求解流程如下所示。（）考虑维修时间的限制，首先求得满足维修时间限制的维修集合 共有 种可能，如表 所示。表 维修集合及对应总损失（万元）维修集合 总损失 ：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，（）统一直接损失和间接损失的单位为万元，设每度电的单价是 元。可以分别求出各维修集合下系统的总损失，如图 和表 所示。图 不同维修集合下的系统总损失图 组件的综合重要度由图 和表 的结果可知，相比于其他维修集合，当维修集合是 ，即对故障线路 ，进行紧急维修时，系统的总损失最小，为 万元。故选择故障线路 ，进行紧急维修。（）基于综合重要度公式，可求得各线路的综合重要度的值。因为资源的限制，单次只能维修一条故障线路，且不同线路对系统损失的影响不同，所以必须确定故障线路 ，的维修顺序。根据公式（），计算线路的综合重要度值，确定线路的重要度值。根据综合重要度模型，故障线路 ，的综合重要度值如图 所示。根据图 ，可以得出故障组线路 的综合重要度值为 ；线路 的综合重要度值为 ；的综合重要度值为 ；线路 的综合重要度值 为 ；线 路 的 综 合 重 要 度 值 为 ；线路 的综合重要度值为 ；线路 的综合重要度值为 。由于本文所提综合重要度表征维修故障线路对系统总损失的影响程度，综合重要度的值越大，说明维修该故障线路使得系统总损失减少程度越高，故障线路的维修优运 筹 与 管 理 年第 卷先级越高。因此，故障线路的维修优先级从高到低依次为 ，。结论本文对多等级灾害下的复杂系统进行可靠性和维修分析。基于马尔可夫模型对多等级灾害下的复杂系统进行建模，综合考虑灾害等级和复杂系统组件的多态性，分析了不同等级灾害发生时复杂系统的性能变化情况。基于系统性能变化情况，提出了系统损失公式和综合重要度公式，建立了复杂系统的维修模型，以总损失最小为目标确定维修集合，按照组件的综合重要度大小排序确定组件的维修顺序。参考文献：刘晓平，唐益明，郑利平 复杂系统与复杂系统仿真研究综述 系统仿真学报，（）：王丽英，崔利荣，孙海珍 多运行水平马尔可夫可修系统可靠性分析 北京理工大学学报，（）：张权，崔利荣，孔德景，等 半马尔科夫下电场可修系统可靠性分析 数学的实践与认识，（）：张权，崔利荣，李艳君 可修系统中半马氏过程的稳态分布 数学的实践与认识，（）：刘宝亮，崔利荣，温艳清 多运行水平马尔可夫可修系统的新型可靠性指标研究 北京理工大学学报，（）：兑红炎，陈立伟，周毫 基于系统可靠性的节点综合重要度变化机 理 分 析 运 筹 与 管 理，（）：王海朋，段富海 复杂不确定系统可靠性分析的贝叶斯网络方法 兵工学报，（）：，：，：，：，：，：，：潘星，蒋卓，杨艳京 基于弹性的体系组件重要度及恢复策略 北京航空航天大学学报，（）：王成，许建新，张振明，等 基于成本效益重要度的复杂系统 可 靠 性保 障 策 略 西 北 工 业 大 学 学 报，（）：，（）：第 期兑红炎，等：基于马尔可夫模型的多等级灾害下复杂系统可靠性和维修分析