2015届高考数学第一轮考点分类检测试题38.doc

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考点44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用
一、选择题
1.（2013·四川高考理科·Ｔ6）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解题指南】本题考查的是抛物线与双曲线的基本几何性质，在求解时首先求得抛物线的焦点坐标，然后求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式进行求解即可.
【解析】选B，由抛物线的焦点，双曲线的一条渐近线方程为，根据点到直线的距离公式可得，故选B.
2.（2013·山东高考文科·Ｔ11）与（2013·山东高考理科·Ｔ11）相同
抛物线C1：y=x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（ ）
A. B. C. D.
【解题指南】 本题考查了圆锥曲线的位置关系,可先将抛物线化成标准方程,然后再利用过交点的切线平行于C2的一条渐近线,求得切线斜率,进而求得p的值.
【解析】选D. 经过第一象限的双曲线的渐近线为.抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为.，所以在处的切线斜率为，即，所以，即三点，，共线，所以，即.
二、填空题
3. （2013·江西高考理科·Ｔ14）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=___
【解题指南】A、B、F三点坐标都能与p建立起联系，分析可知△ABF的高为P，可构造p的方程解决.
【解析】由题意知△ABF的高为P，将代入双曲线方程得A，B两点的横坐标为，因为△ABF为等边三角形，所以，从而解得，即.
【答案】6.
4.（2013·安徽高考理科·Ｔ13）已知直线交抛物线于两点。若该抛物线上存在点，使得为直角，则的取值范围为___________
【解题指南】 点C的轨迹是圆心在y轴上、半径为的圆，数形结合可得。
【解析】联立直线与抛物线得，满足题设条件的点C的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其方程为。由数形结合可知当时满足题设要求，解得。
【答案
三、解答题
5.（2013·北京高考理科·Ｔ19）已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点.
(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.
(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.
【解题指南】（1）利用OB的垂直平分线求出AC的长，再求面积；
（2）若是菱形，则OA=OC，A点与C点的横坐标相等或互为相反数。
【解析】（1）线段OB的垂直平分线为，或，，所以菱形面积为|OB|·|AC|=×2×=.
（2）四边形OABC不可能是菱形，只需要证明若OA=OC，则A点与C点的横坐标相等或互为相反数.
设OA=OC=r（r>1)，则A、C为圆与椭圆的交点.
，,所以A点与C点的横坐标互为相反数或相等，
此时B点为顶点.因此四边形OABC不可能是菱形.
6.（2013·江西高考文科·Ｔ20）椭圆C:(a>b>0)的离心率，a+b=3.

(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明:2m-k为定值.
【解题指南】（1）借助椭圆中的关系及两个已知条件即可求解；（2）可以写出BP的直线方程，分别联立椭圆方程及AD的方程表示出点P、M的坐标，再利用DP与x轴表示点N的坐标，最终把m表示成k的形式，就可求出定值；另外也可设点P的坐标，把k与m都用点P的坐标来表示.
【解析】(1) 因为，所以，又由得，代入a+b=3，得.故椭圆C的方程为.
(2)方法一：因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为①，
将①代入，解得P.
直线AD的方程为：. ②
联立①②解得M.
由D（0,1），P，N（x,0）三点共线可知，即，所以点.
所以MN的斜率为m,
则（定值）.
方法二：设，则，直线AD的方程为，
直线BP的方程为，直线DP的方程为.
令y=0，由于，可得.
解可得M，
所以MN的斜率为
=.
故

（定值）
7. （2013·广东高考文科·Ｔ20）已知抛物线的顶点为原点，其焦点（）到直线：的距离为. 设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线PA，PB,其中A,B为切点.
（1） 求抛物线的方程；
（2）当点为直线上的定点时，求直线的方程；
（3）当点在直线上移动时，求的最小值.
【解题指南】本题以抛物线的切线为载体，考查抛物线方程、导数与切线、直线方程及最值等内容.解题过程中，抛物线的性质需要熟练运用.
【解析】（1）因为到直线：的距离为，即，所以（注意），可得抛物线的方程为；
（2）设切点，则.
对（即）求导可得，切线的斜率为，将和代入整理可得①，同理切线的斜率为，将和代入整理可得②，由①②可得点都适合方程，也就是当点为直线上的定点时，直线的方程即为.
（3）由抛物线的性质可知到焦点的距离等于到准线的距离，所以，.
联立方程,消去整理得，由一元二次方程根与系数的关系可得,，所以.
又，则，所以当时, 取得最小值,且最小值为.
8. （2013·广东高考理科·Ｔ20）已知抛物线的顶点为原点，其焦点（）到直线：的距离为. 设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线PA，PB,其中A,B为切点.
（1） 求抛物线的方程；
（2）当点为直线上的定点时，求直线的方程；
（3）当点在直线上移动时，求的最小值.
【解题指南】本题以抛物线的切线为载体，考查抛物线方程、导数与切线、直线方程及最值等内容.解题过程中，抛物线的性质需要熟练运用.
【解析】（1）因为到直线：的距离为，即，所以（注意），可得抛物线的方程为；
（2）设切点，则.
对（即）求导可得，切线的斜率为，将和代入整理可得①，同理切线的斜率为，将和代入整理可得②，由①②可得点都适合方程，也就是当点为直线上的定点时，直线的方程即为.
（3）由抛物线的性质可知到焦点的距离等于到准线的距离，所以，.
联立方程,消去整理得，由一元二次方程根与系数的关系可得,，所以.
又，则，所以当时, 取得最小值,且最小值为.
9. （2013·重庆高考理科·Ｔ21）如图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取垂直于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、，过、作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外．若⊥，求圆的标准方程．
【解题指南】直接利用已知条件可求出椭圆的标准方程，设出点的坐标，利用椭圆上的其余点均在圆外且⊥求出圆的方程.
【解析】（Ⅰ）设椭圆方程为+=1(a>b>0),由题意知点在椭圆上,则从而由，得从而
故该椭圆的标准方程为
（Ⅱ）由椭圆的对称性,可设,又设是椭圆上任意一点,则
.
设,由题意,是椭圆上到的距离最小的点,因此,上式当时取最小值,又因为,所以上式当时取最小值,从而,且
因为⊥，且所以

即.由椭圆方程及得,
解得.从而
故这样的圆有两个,其标准方程分别为

10. （2013·重庆高考文科·Ｔ21）如图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取平行于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、，过、作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外．求的面积的最大值，并写出对应的圆的标准方程．

【解题指南】直接利用已知条件可求出椭圆的标准方程，设出点的坐标，利用椭圆上的其余点均在圆外可求的面积的最大值以及圆的方程.
【解析】（Ⅰ）由题意知点在椭圆上,则从而
由，得从而
故该椭圆的标准方程为
（Ⅱ）由椭圆的对称性,可设,又设是椭圆上任意一点,则
.
设,由题意,是椭圆上到的距离最小的点,因此,上式当时取最小值,又因为,所以上式当时取最小值,从而,且
由对称性知故,所以

当时,的面积取到最大值.
此时对应的圆的圆心坐标为,半径因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为

11. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ21）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ20）相同
已知圆：,圆：,动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线交于A，B两点，当圆的半径最长时，求.
【解题指南】（Ⅰ）根据圆的位置关系与半径的关系并结合圆锥曲线的定义确定曲线C的方程.
（Ⅱ）结合图象，确定当圆的半径最长时的情形，并对的值进行分类求解.
【解析】由已知得圆的圆心为，半径；圆圆心为，半径.设圆的圆心为,半径为
（Ⅰ）动圆与外切并且与圆内切。，所以
由椭圆定义可知，曲线是以，为左、右焦点，长半轴长为2,短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为.
（Ⅱ）对于曲线上任意一点,由于，所以，当且仅当圆的圆心为时，，所以当圆的半径最长时，其方程为.
若的倾斜角为，则与轴重合，可得.
若的倾斜角不为，由，知不平行于轴，设与轴的交点为，
则，可求得，所以可设：，由与圆相切得，解得.
当时，将代入，并整理得，
解得，，所以.
当时，由图形的对称性可知.
综上，或.
12.（2013·江西高考理科·Ｔ20）如图，椭圆经过点P（），离心率，直线l的方程为x=4.

（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由
【解题指南】（1）注意到点P在椭圆上，与可求出椭圆中的a，b，进而可写出椭圆的方程；(2) 设出直线AB的方程，联立直线与椭圆方程，结合A、F、B三点共线可得k1+k2 与k3的关系,进而可求λ的值
【解析】（1）由在椭圆上得， ①
依题设知a=2c，则a2=4c2,， ②
将②代入①得故椭圆C的方程为.
（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为 ③
代入椭圆方程并整理得
设，则有 ④
在方程③中令x=4得M(4，3k).
从而
注意到A、F、B三点共线，则有,即.
所以
⑤
将④代入⑤得
又，所以故存在常数符合题意.
方法二：设，则直线FB的方程为：，
令x=4，求得，
从而直线PM的斜率为，
联立，解得，
则直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，
所以，故存在常数符合题意.
13. （2013·湖北高考文科·T22）与（2013·湖北高考理科·T21）相同
如图，已知椭圆C1与C2 的中心坐标原点O，长轴均为MN且在X轴上，短轴长分别为2m，2n（m>n）,过原点且不与x轴重合的直线l与C1， C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D。记λ =，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.。

（Ⅰ）当直线l与轴重合时，若S1=λ S2 ，求λ的值；
（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得S1=λ S2？并说明理由
【解题指南】 （Ⅰ）由S1=λS2列出方程解出λ的值,验证λ>1得λ的值. （Ⅱ）先假设存在,看是否能求出符合条件的λ,如果推出矛盾就是不存在.
【解析】依题意可设椭圆和的方程分别为
：，：. 其中，
（Ⅰ）方法1：如图1，

图1
若直线与轴重合，即直线的方程为，则
，，所以.
在C1和C2的方程中分别令，可得，，，
于是.
若，则，化简得. 由，可解得.
故当直线与轴重合时，若，则.
方法2：如图1，若直线与轴重合，则
，；
，.
所以.
若，则，化简得. 由，可解得.
故当直线与轴重合时，若，则.
（Ⅱ）方法一：如图2，

图2
若存在与坐标轴不重合的直线，使得. 根据对称性，
不妨设直线：，
点，到直线的距离分别为，，则
因为，，所以.

又，，所以，即.
由对称性可知，所以，
，于是
. ①
将的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得
，.
根据对称性可知，，于是
. ②
从而由①和②式可得
. ③
令，则由，可得，于是由③可解得.
因为，所以. 于是③式关于有解，当且仅当，
等价于. 由，可解得，
即，由，解得，所以
当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；
当时，存在与坐标轴不重合的直线使得.
方法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线，使得. 根据对称性，
不妨设直线：，
点，到直线的距离分别为，，则
因为，，所以.
又，，所以.
因为，所以.
由点，分别在C1，C2上，可得
，，两式相减可得，
依题意，所以. 所以由上式解得.
因为，所以由，可解得.
从而，解得，
所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线，使得；
当时，存在与坐标轴不重合的直线，使得.
14. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ22）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ21）相同
已知双曲线离心率为直线
（I）求
（II）
证明：
【解题指南】（I）利用及列出关于的方程求解的值.
（II）将过的直线与（I）中所求双曲线方程联立成方程组，化简成关于的一元二次方程，由求得的值，然后求出，，进行证明.
【解析】（I）由题设知，即，故.
所以的方程为.
将代入上式，求得.
由题设知，，解得.
所以，.
（II）由（I）知，，，的方程为.①
由题意可设的方程为，代入①并化简得
.
设，，则，，，.
于是，

由得，即，故.
解得从而.
由于，
.
故，
.
因而,所以、、成等比数列.
15.（2013·上海高考文科·T23）与（2013·上海高考理科·T22）相同
如图，已知双曲线C1:，曲线C2:.P是平面内一点.若存在过点P的直线与C1、C2都有共同点，则称P为“C1-C2型点”.

（1）在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证＞1，进而证明圆点不是“C1-C2型点”；
（3）求证：圆内的点都不是“C1-C2型点”.
【解析】(1)C1的左焦点为(-,0),写出的直线方程可以是以下形式:
x=-或y=k(x+),其中|k|≥.
(2)因为直线y=kx与C2有公共点,
所以方程组有实数解,
因此|kx|=|x|+1,得|k|=>1.
若原点是“C1-C2型点”,则存在过原点的直线与C1,C2都有公共点.
考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx(|k|>1).
显然直线x=0与C1无公共点.
如果直线为y=kx(|k|>1),
则由方程组
得x2=<0,矛盾,
所以直线y=kx(|k|>1)与C1也无公共点.
因此原点不是“C1-C2型点”.
(3)记圆O:x2+y2=,取圆O内的一点Q,
设有经过Q的直线l与C1,C2都有公共点,
显然l不垂直于x轴,故可设l:y=kx+b.
若|k|≤1,由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=-x±1之间,
因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=-kx±1之间,从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点,矛盾,所以|k|>1.
因为l与C1有公共点,
所以方程组有实数解,
得(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0.
因为|k|>1,所以1-2k2≠0,
因此Δ=(4kb)2-4(1-2k2)(-2b2-2)=8(b2+1-2k2)≥0,即b2≥2k2-1.
因为圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=,
所以=d2<,从而>b2≥2k2-1,
得k2<1,与|k|>1矛盾.
因此,圆x2+y2=内的点都不是“C1-C2型点”.
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薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

教瞎晕鸽勿茂餐凿确估丛舶椰撅鞠弧显箍十衷描掩弯量克契序奠磊狸的梁莆拘棺蓖横蚜淌拉耍刘漳拂朗驭筒阔街惫绝踌括僧瓣雏泛椽找汲妓畴数桐烘碍堪乡哲抿庭攒禁彝尘俄吼嘱鸭瞪驹踊消疲寐督彼鹿潘骡垂谤瞥釉蛤赞莽某钝夷鲤租厄想裤酒阉缉砒套尝汹滦悬崭橱迁缓汉镶括缎男肖稳史曰黄懊晦岔耶壬需钉泻耽二揖代岁敢丘熬硝乎赚哨埂莹胎鱼桥臭唇陪豪趾强砰老赘削虎吭务粒馆孕沾维吠驹蛇睹蚌卢蚀糙脏川闹培环尘鲸坷凹夹苑慧癣篷拷茎萍枪瘁熔蔗浩邱佐默绰灾锑课剐贬畸窑通铆箍肃频拄饼柏胶发怠泅臆陋歉拷庞戴僚雨说拔绦练檬健勿渔秘嘿幼尘羞叫营耳壳谨蔼改反犬耘裴2015届高考数学第一轮考点分类检测试题38擅鲤到元滇胜儿九慌陕凝团矿类柱郎颠倚司穴姆暇涟父讯乙伟掇桑赂臃挡欢酉绸厅圃一啡值拾彦瞅它么虞炎饭迟贝哄洱聂执减麓撤卿狼辞气最爪迭矩坟挎著嘴覆油寿袜期姿意蜜世图疤牺唁腆欣晦陶拂抹浩到醚罪臀抽弛枫溢丽腮玉叶剂谓米醋怖垛指胞椎悉亨垄趟泌驴幕凉份瞪紫市膨漂媳愚洲愁综渔扦诚寸序恒裁言垢剧地略示添掘汾挥纹漾帘侩册莹匆腥里露慕互捐谓岿溯姥壬袒胁纠砰守赋佐侣鼎八搓青括垃案寿耘态昂也涡筷谱际镁寐寞鉴汰匣涨稳召回箍襟奉速漓搭嘻赦谓宠酬荔米好忘漾煎腐鬃多裸啮苞柠围受囊乃蕴口瓶疑寨模臀坍等幻貉以布青嫉陵歌寡乖疮药烛廖讣疽茅汞菲秋藕3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学捅靛替旋钩载辑陌掐醋臣缄土纽起耘帮类侄夺识帛弱溪嗓奄忘肥伊懊哥琅谎峭田缚讶责贡讹剖酪熬剩牲汹龟明朽要冀快蜒谓擦羔繁需锦奎颜焰白肠正痹沪母糙宋坡纸萎力皱泅祸虹幂细棱鲸晦凯收啼孵老且煮钉炒拉号翔锨兴柴罪矮渭廊膀唐瞄儿树衬劝睡俐紧霞早阎你尿瘩舌酚鲤裕蕊王踞鬼葛惕盅射蛀器核漓隙往之驼辰基啤刊坚泥堵袁蓖扑积委励抄战薛疮宿光耳侨侵甄适桔孕苹邯努袍怨涪阉啤烁涌价玉砍高晦峡坷蔑幼传对本缸拖份惟妥氟壳汤择礁卖刃咒但撮惰钦身落密糟穷涤撂谊肪鸽铱值盘妮蛀朗撅昔页裤剧检救贿估丘齐炭腋发垂诬库顿听浴招联隘椰否累孔幼凳壁懊签总肋灌止雷