2017届高考理科数学第一轮课时复习习题27.doc

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课时作业(十六)　导数的综合应用
1．已知函数f(x)＝lnx－。
(1)若a＞0，试判断f(x)在定义域内的单调性；
(2)若f(x)＜x2在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围。
解析：(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝＋＝。
∵a＞0，∴f′(x)＞0，
故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数。
(2)∵f(x)＜x2，∴lnx－＜x2。
又x＞0，∴a＞xlnx－x3。
令g(x)＝xlnx－x3，
h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，
h′(x)＝－6x＝。
∵x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0，
∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数。
∴h(x)＜h(1)＝－2＜0，即g′(x)＜0，
∴g(x)在(1，＋∞)上也是减函数。
g(x)＜g(1)＝－1，
∴当a≥－1时，f(x)＜x2在(1，＋∞)上恒成立。
2．某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6＜x＜11)，年销售为u万件，若已知－u与2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件。
(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；
(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润。
解析：(1)设－u＝k2，(k＞0)
∵售价为10元时，年销售量为28万件，
∴－28＝k2，解得k＝2。
∴u＝－22＋＝－2x2＋21x＋18。
∴y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)＝－2x3＋33x2－108x－108(6＜x＜11)。
(2)y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)＝－6(x－2)(x－9)。
令y′＝0，得x＝2(舍去)或x＝9，
显然，当x∈(6,9)时，y′＞0；
当x∈(9,11)时，y′＜0。
∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的。
∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135，
∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元。
3．(2015·重庆卷)设函数f(x)＝(a∈R)。
(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围。
解析：(1)对f(x)求导得
f′(x)＝＝
，
因为f(x)在x＝0处取得极值，
所以f′(0)＝0，即a＝0。
当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，
故f(1)＝，f′(1)＝，从而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝(x－1)，化简得3x－ey＝0。
(2)由(1)知f′(x)＝，
令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，
由g(x)＝0解得x1＝，
x2＝。
当x＜x1时，g(x)＜0，
即f′(x)＜0，故f(x)为减函数；
当x1＜x＜x2时，g(x)＞0，
即f′(x)＞0，故f(x)为增函数；
当x＞x2时，g(x)＜0，
即f′(x)＜0故f(x)为减函数。
由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，
知x2＝≤3，解得a≥－，
故a的取值范围为。
4．(2016·浙江十校联考)已知函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R)。
(1)求f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝x2－4x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围。
解析：(1)f′(x)＝a＋＝(x＞0)。
①当a≥0时，由于x＞0，故ax＋1＞0，f′(x)＞0，
所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)。
②当a＜0时，由f′(x)＝0，得x＝－。
在区间上，f′(x)＞0，
在区间上，f′(x)＜0，
所以函数f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为。
综上所述，当a≥0时，
f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，
当a＜0时，f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为。
(2)由题意得f(x)max＜g(x)max，
而g(x)max＝2，
由(1)知，当a≥0时，
f(x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，
故不符合题意。
当a＜0时，f(x)在上单调递增，
在上单调递减，
故f(x)的极大值即为最大值，
f＝－1＋ln
＝－1－ln(－a)，
所以2＞－1－ln(－a)，解得a＜－。
故a的取值范围为。
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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