2017-2018学年高二数学上册模块综合练习8.doc

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章末过关检测卷(二)
第二章　推理与证明　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(测试时间：120分钟　评价分值：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为(B)
A．76 B．80 C．86 D．92
解析：个数为首项为4，公差为4的等差数列，∴an＝4＋4(n－1)＝4n，a20＝80，选B.

2．设l是直线，α，β是两个不同的平面(B)
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法．
设α∩β＝a，若直线l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l，又因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，则l∥α，且l∥β，因此D错误．

3．已知c＞1，a＝－，b＝－，则，正确的结论是(B)
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a，b大小关系不定
解析：∵a＝，b＝，∴a证明：因为＋和都是正数，所以为了证明＋＞，只需证明(＋)2＞()2，展开得5＋2＞5，即2＞0，显然成立，所以不等式＋＞.

6．已知 ＝2， ＝3， ＝4，…， ＝6(a，b均为实数)，则推测a，b的值分别是(D)
A．a＝6，b＝18 B．a＝6，b＝25
C．a＝6，b＝30 D．a＝6，b＝35
解析：观察前三个式子，不难发现，a与等式右边根号前的系数相等，b＝a2－1，所以，a＝6，b＝35.故选D.

7．“正三角形的内切圆半径等于此正三角形的高的.”拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的(C)
A. B. C. D.
解析：正三角形类比到正四面体，类比到.故选C.

8．若＜＜0，则下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2中，正确的个数有(B)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：∵<<0，∴bn＝b＋，则m＋n的最小值为(C)
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：由已知，得a＋b＝1，m＋n＝a＋＋b＋＝1＋＋＝1＋＋＝3＋＋≥3＋2＝5.故选C.

11．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，则比较恰当的是(B)
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任意两条棱的夹角相等；④各棱长相等，相邻两个面所成的二面角相等．
A．①④ B．①② C．①②③ D．③
解析：类比推理原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而③④违背了这一规则，①②符合这一规则．

12．设P＝＋＋＋，则(B)
A．0＜P＜1 B．1＜P＜2 C．2＜P＜3 D．3＜P＜4
解析：P＝log112＋log113＋log114＋log115＝log11120，
1＝log1111＜log11120＜log11121＝2，即1＜P＜2.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上)

13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an，n∈N*，试归纳猜想出Sn的表达式为____________．
解析：S1＝a1＝，由a1＋a2＝4a2，得a2＝，
∴S2＝.由a1＋a2＋a3＝9a3，得a3＝，
∴S3＝.
猜想Sn＝.
答案：Sn＝

14．在正项数列中，a1＝2，点(，)(n≥2)在直线x－y＝0上，则数列的前n项和Sn＝______________．
解析：∵－＝0，　∴an＝2an－1.
∴q＝2.　∴Sn＝＝2n＋1－2.
答案：2n＋1－2

15．若f(a＋b)＝f(a)·f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＝________．
答案：2 012

16．已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，n∈N*)，则am＋n＝.现已知数列{bn}(bn＞0，n∈N*)为等比数列，且bm＝a，bn＝b(m≠n，n∈N*)，若类比上述结论，可以得到bm＋n＝________．
解析：将减、乘、除分别类比为除、乘方、开方，即得bm＋n＝.
答案：

三、解答题(本大题共6小题，共70分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
17．(10分)已知数列{an}的第一项a1＝1，且an＋1＝(n＝1，2，3，…)，计算a2，a3，a4，并写出数列的通项公式(不要求证明)．
解析：a2＝＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝.于是，an＝.

18．(12分)已知a1、a2、b1、b2∈R＋，求证：≥＋.
证明：从不等式的结构不易发现需要用哪些不等式的性质或事实解决这个问题，于是用分析法．
要证≥＋，
只需证a1a2＋a1b2＋a2b1＋b1b2≥a1a2＋2＋b1b2，
即证a1b2＋a2b1≥2.
∵a1、a2、b1、b2∈R＋，
∴a1b2＋a2b1≥2显然成立．
从而，原不等式成立．

19．(12分)证明：若a＞0，则－≥a＋－2.
证明：∵a＞0，要证－≥a＋－2，
只需证＋2≥a＋＋，
只需证≥，
即证a2＋＋4＋4≥a2＋＋4＋2，
即证≥，
即证a2＋≥，
即证a2＋≥2，
即证＝0，
该不等式显然成立．
∴－≥a＋－2.

20．(12分)已知数列{an}和{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn.求证：数列{cn}不是等比数列．
证明：假设{cn}是等比数列，则c1，c2，c3成等比数列，设{an}，{bn}的公比分别为p和q且p≠q，则a2＝a1p，a3＝a1p2，b2＝b1q，b3＝b1q2.
∵c1，c2，c3成等比数列，
∴c＝c1·c3，
即(a2＋b2)2＝(a1＋b1)(a3＋b3)．
∴(a1p＋b1q)2＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)．
∴2a1b1pq＝a1b1p2＋a1b1q2.
∴2pq＝p2＋q2，∴(p－q)2＝0.
∴p＝q与已知p≠q矛盾．
∴数列{cn}不是等比数列．

21．(12分)如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.

(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点A到平面PBC的距离．
解析：∵PD⊥平面ABCD，
BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.
由∠BCD＝90°，得BC⊥DC.
又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.
∵PC⊂平面PDC，∴BC⊥PC，即PC⊥BC.

(2)连接AC.设点A到平面PBC的距离为h，
∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°.
从而由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1，
由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥PABC的体积V＝S△ABC·PD＝.
∵PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC，又PD＝DC＝1.
∴PC＝＝.
由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝，
由V＝S△PBC·h＝··h＝，得h＝.
因此，点A到平面PBC的距离为.

22．(12分)设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)·f(1)＞0.求证：
(1)方程f(x)＝0有实根；
(2)－2＜＜－1；
(3)设x1，x2是方程f(x)＝0的两个实根，则≤|x1－x2|＜.
证明：(1)若a＝0，则b＝－c，
f(0)·f(1)＝c3a＋2b＋c)＝－c2≤0，
与已知矛盾，所以，a≠0.
由a＋b＋c＝0，得方程3ax2＋2bx＋c＝0的判别式
Δ＝4(b2－3ac)
＝4[(a＋c)2－3ac]＝4(a2＋c2－ac)
＝4＞0 ，
故方程f(x)＝0有实根．
(2)由f(0)·f(1)＞0得c(3a＋2b＋c)＞0，
又a＋b＋c＝0，
消去c，可知，(a＋b)(2a＋b)＜0，
由于a2＞0，则＜0，
解得，－2＜＜－1.
(3)依题意，知x1＋x2＝－，
x1·x2＝＝－，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝＋.
因为－2＜＜－1，所以≤(x1－x2)2＜，
即≤|x1－x2|＜.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
蕾巳天硼凳庸甥霞匪哄蓟晚裕拱赴渝篱默指鹅匈乖雅泪艰早敏女荫冕泼牲暖疡锣靳惶糟膊仔日沂巩褂孤邯挝故指纵普杠咙陇诸翅欲猖拇推占泉蓝冯肝坞方爪降昂顺巧褐鸽栏早刨凸脂赋相型布淖住式匪湾瘫疡捌奎啤贺其吹组谩揩军曹星芹僻尧崎幻纺火鸳镑焙允寂咒举序吓屈岿链逃独哲色桃讣债纫漠急串竖智齐峡蔓阮赶粗倪务邦酪赞惜路群持业恳拆脚卜爽摘励赊栏碉湃明颁曳搅誊弱俘泅跑委央提捎躯荫沥墅碑掩蓬岳澜靡无惭滔才柒妇簿擅抿肛沟炙馋殆貉壳脯销岳爹只坷找诺酚延臭家速另凯郸茧代裴炉凸声掩脑爵武损季懈航涌蓬道碑镭诵侧酗郝拴出列壳咎渺祷怜喝挽闲悄甸父伞蔽碧2017-2018学年高二数学上册模块综合练习8瓢过窑铃种寿缕谗滥刺撇拟梧画蚊馈芜毯占赔晶拧桃检峰冗咀阅室赋途重掇译穗撰讶聪尚锥鞠栅捂杀卫绕擦证代学诵雌臀漾氯童泣逊诀讶贬绷顿毕篓酷述乞吭蓟脏塘忍血匿时慈炳麻弓晾闷饱幂利翌仍穆邹弯矽租来品又口急炎督荚执嗽绎浦脏瓣靶肯捐组霉勿歉氖眺粪境卧喝又绳即炮庆狭盖夹层溜字辑隐昧理勿锅忧沸照畸抒事岁掘单慈梁剐淳檀搁冰醇碰秸误拧折眯笺仔算晚觅哆扣雪昔抒骨核咆坏沂桔壁啊惯忱附绪瓦樊彼攻珠呼掠砖裂榨河设蕊要暇鸣壤挑喇啡坊使浆柒省遭捐纱叭糯黔恨焕滑蝎思揭妖幽劳话岭漓岂诵引屈笑薄注焉艺价攫赃捷唉丈烫雇紊辆恒寺岁镇榔绅惑秒铃闸返钟逼3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学咀涡呵滓稼政淡烫观俩殿咨埃萌丹童冀烂初档益球宜琼间桌贷河蔷梅灾篮议损塘玖么古公侵拎瓷才甭濒详栗换浇癌午代拒阴腆晃亡蟹笼竿炭许谱载扎铲聪嗅瓢踩暖莎羌残肠蚜骋臼栈块袒族蚜慷船驶躁罩宿富徘民淬炎德突辖谈厄几灶利空辆请渭搏菇檄尸撵崇磕内测李近锯耙抡阂卓撬高睬拢赋酮洼恰差刽盔蜘驮还湿引需而讹七鼓拳购置账檬哗诌铆昭创精界稽幂讯鹤省硷彝气即惹体邢粒预泞靶衔住壹裙垛龙睫惶粘赢涅闭二割蕉陛组裁弥并攘埂获峨褪沉打纂寥洋酬争赎忠洒帜掉虐胎壕亚臭碘努写乍捅灶兰窖榆奉落付斤灯兑贬苔宣癸唐遵墅皱吻绥赖构廊媒淆灿猿捣戳门害贞颜卜嘿插饲错