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离散切换系统研究综述

摘要
摘 要：本文针对离散时间切换系统的稳定性研究进展进行综述。首先，给出一般情况下离散切换系统的模型描述。其次，介绍离散切换系统稳定性分析的相关结果。最后，介绍子系统不稳定情况下，离散切换系统镇定的方法。
关键词：离散时间；切换系统；稳定性；镇定

0引言
切换系统[1]作为一类经典的混杂系统，它由一族子系统（子模态）以及描述它们之间联系的逻辑规则（即切换信号）构成，已经在实际工程中得到了广泛应用。
离散时间切换系统作为切换系统的一种特殊形式，有其独特的优越性和使用场合，如人口增长模型、计算机仿真中的连续系统离散化等。
近年来，对于离散切换系统的研究越来越多，在稳定性分析、镇定设计等方面都得到了很多优异的结果。本文较系统地总结了近几年离散时间切换系统在稳定性分析和镇定设计两个方面的研究成果。
1系统模型描述
离散切换系统通常用差分方程的形式给出，一般情况下，离散切换非线性系统表示为

其中是时间t的系统状态向量，是子系统索引集合，函数为切换信号。
2 稳定性分析
在离散时间切换系统的研究中，所有子系统都稳定是最常见的情形。根据逆Lyapunov 定理[2]，一致渐近稳定的切换系统一定存在共同 Lyapunov 函数，将该定理由连续时间切换系统推广到离散时间切换系统同样适用，所以稳定性分析的重中之重就是如何构造合适的Lyapunov函数。Kundu等人在文[3]中，利用多重类Lyapunov方法，证明了离散切换系统在特定切换信号下的全局渐近稳定性，并将其推广到了连续时间切换系统。Lu等人在文[4]中提出了多步多重Lyapunov函数方法，其中构造的Lyapunov函数并不是在每步都递减，而是在有限步之后递减。Zheng等人在文[5]中对于所有子系统都稳定或者临界稳定的离散正切换系统，通过构造正定Lyapunov函数，得到了离散线性正切换系统的指数稳定性的充分条件，并将其推广到了时变时滞和无界时滞系统中。
3 镇定设计
关于离散时间切换系统的另一个基本问题就是镇定问题，即设计切换规则或控制器的问题。Zhu等人在文[10]中研究了一类离散切换系统的镇定问题，通过广义系统的方法，设计了一类分段仿射镇定控制器，保证了指数稳定性，并给出了仿射增益。Li等人在文[11]中给出了区间不确定离散时间正切换系统的驻留时间稳定性和镇定的充分条件。Yan等人在文[13]中针对子系统受不确定因素扰动的离散切换线性系统，建立了二次型最优控制模型，提供了控制策略和切换律的设计方法。而Deaecto等人在文[14]中基于二次时变Lyapunov函数，提出了离散切换线性系统指数镇定的新方案，该方法适用于开关函数和状态反馈控制联合设计，并且可以推广到处理输出反馈控制和滤波。
总结
本文针对离散时间切换系统的稳定性研究进行了简要介绍。首先，给出了一般情况下离散切换系统的模型。其次，介绍了离散切换系统稳定性分析的相关结果。最后，介绍了离散切换系统镇定的方法。
参考文献
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[14] Deaecto G S, Geromel J C. Stability and performance of discrete-time switched linear systems[J]. Systems & Control Letters, 2018, 118:1-7.
基金项目：国家自然科学基金项目(61903171)。
通讯作者：刘志(1986-),女,山东临沂人,博士研究生,副教授。

-全文完-