卡尔曼滤波器在运动目标中的跟踪研究.doc

南京理工大学紫金学院
毕业设计说明书(论文)

作 者:
戴学飞
学 号：

系：
电子工程与光电技术系
专 业:
电子信息工程
题 目:
卡尔曼滤波器在运动目的

跟踪中的研究及仿真

讲师
李娟

指导者：
(姓 名) (专业技术职务)
马玲
副专家

评阅者：
(姓 名) (专业技术职务)

2023 年 5 月

南 京 理 工 大 学 紫 金 学 院
毕业设计（论文）评语

学生姓名： 戴学飞 班级、学号： 11电信3班、
题 目： 卡尔曼滤波器在运动目的跟踪中的研究仿真
综合成绩：
指导者评语：

论文针对运动目的跟踪的问题，建立了简洁有效的数学模型，在问题的解决中引入了Kalman滤波器系统，对其滤波算法进行了推导，进一步理解了Kalman滤波器的迭代思想，并使用Matlab软件对Kalman滤波思想在运动目的跟踪问题中的应用进行了仿真验证，仿真结果表现对的无误。
论文综述完整。程序设计合理, 仿真结果对的。论述充足，结论合理。技术用语准确，符号统一，编号齐全，书写工整规范，整洁、对的。如能加入对加速度变化的运动目的进行跟踪则更好。
批准参与答辩，建议成绩良好。

指导者(签字)：
年 月 日
毕业设计（论文）评语
评阅者评语：

评阅者(签字)：
年 月 日
答辩委员会（小组）评语：

答辩委员会（小组）负责人(签字)：
年 月 日

毕业设计说明书（论文）中文摘要

卡尔曼滤波是卡尔曼基于线性最小方差估计的基础上，提出的最优线性递推滤波方法，具有在数学结构上比较简朴、计算量小、存储量低、实时性高的优点。卡尔曼滤波在控制理论和控制系统工程中拥有着巨大影响力，并且在工程实践上具有重要意义。因此，卡尔曼滤波器广泛应用于雷达数据解决等领域。
本文针对平面内匀速直线运动目的的跟踪问题，采用卡尔曼滤波方法来实现对运动目的的跟踪。Matlab软件仿真结果显示跟踪效果较好，证明采用此法跟踪运动目的有效可行，具有一定研究价值。

关键词 卡尔曼滤波；目的跟踪；最优；Matlab仿真

毕业设计说明书（论文）外文摘要

Title Research on Object Tracking Based on Kalman Filter

Abstract
Kalman filter is based on linear minimum variance estimation and the optimal linear recursive filtering method by the Kalman , with in the mathematical structure is relatively simple, computation quantity is small, low storage and high real-time performance advantages. Kalman filter in the control theory and control systems engineering has a great influence, and has important significance in engineering practice. Moving target tracking is widely used in radar data processing. Aiming at the tracking question of a moving target with constant velocity along a line in a flat surface, we can use Kalman filtering method, simulation with Matlab results show that the effect of tracting is very perfect. It has good values.

Key Words Kalman Filter ; Object Tracking ; Optimal; Matlab

目 次

1 绪论 1
1．1 研究意义以及目的 1
1．2 国内外研究现状 2
1．3 论文内容以及结构篇章 3
2 Matlab软件简介 5
2.1 软件简介 5
2.2 Matlab基本功能 5
2.3 Matlab优点 5
2.4 Matlab的应用 6
3 卡尔曼滤波器原理 8
3.1 状态转移 8
3.2 状态预测 9
3.3 协方差矩阵 9
3.4 噪声协方差矩阵的传递 10
3.5 观测矩阵 11
3.6 状态更新 11
3.7 噪声协方差矩阵的更新 12
3.8 卡尔曼滤波的五个公式 12
3.9 卡尔曼变量和参数 13
4 蒙特卡洛仿真实验的数学思想 14
4.1 蒙特卡洛方法的产生与发展 14
4.2 蒙特卡洛基本原理 16
5 基本动态系统模型 17
5.1 运动目的数学模型建立 17
5.2 Matlab程序代码及其注释 18
5.3 Matlab仿真结果以及分析 20
5.4 对运动目的跟踪非线性问题的初步探讨 26
结 论 27
致 谢 28
参考文献 错误！未定义书签。

1 绪论
1．1 研究意义以及目的
卡尔曼滤波器是最优的递归算法。针对于许多实际问题的解决它是效率最高的，最佳的，最有用的方法。卡尔曼滤波器已经在机器人导航与控制系统，传感器数据融合，军事雷达和弹道轨迹外推等领域被广泛应用。在最近的几年，它在计算机图像解决方面占据着非常重要的地位，如人脸辨认，图像边沿检测与图像分割技术和操作系统等技术领域。
卡尔曼滤波器最初是专为飞行器导航而研制的，已成功地被应用在很多领域。卡尔曼滤波器重要用来预估那些只能被系统自身间接或不精确观测的系统状态。因此卡尔曼滤波器在很多工程系统和嵌入式系统中占据着重要的地位。
雷达测量系统中，目的跟踪往往是人们非常关注的方面，但测量运动目的的位置、速度和加速度在每时每刻都存在噪声信号。卡尔曼滤波是基于运动目的动态信息，设法消除噪声干扰，从而获取目的位置的最佳估计。这个估计过程重要有三个方面，第一个方面是对运动目的当前位置的估计，第二个方面是对运动目的未来位置的估计，第三个方面是对运动目的过去位置的估计。
假如需要对某一运动中的目的进行跟踪，一方面需要做的是对运动目的进行跟踪观测，一般情况下得到的观测信息是不准确的，由于它包含着所需要的信息以及随机观测噪声和干扰信号。如何从这些观测信息和噪声的信号中提取所需要的数据和各种参数，因此根据预测的未来状态的观测数据和运动目的跟踪方法的关键是预测方法。卡尔曼滤波递推算法的原理是运用噪声和观测噪声以及输入和输出值进行的测量，它是具有记录特性的估计系统。重要思想是：运用前一时刻对当前时刻的预测，当前的观测值来更新对状态量的估计（得到当前时刻的最优预测值），从而求出下一时刻的预测值，实现递归的预测，达成及时准确跟踪的效果。
基本卡尔曼滤波器（KF）的约束条件下，即，系统必须是线性的，但大多数的系统都是非线性系统，因此大多数情况下，需要用到扩展卡尔曼滤波（EKF）来对非线性系统进行估计。随着卡尔曼滤波理论的升华，和一些实用的卡尔曼滤波技术不断被提出，如自适应滤波和次优滤波技术以及滤波散发克制技术等等已广泛应用到各个领域。其他滤波理论也不久得到重视，如线性离散系统的滤波（序列平方根滤波，信息平方根滤波，UD分解滤波）[3]。
卡尔曼滤波作为一种数值估计优化方法，与应用领域的背景结合性很强。因此卡尔曼滤波用于解决很多实际问题时，重要的不仅仅是算法优化问题与实现，更重要的是运用获取的领域知识对被结识系统进行形式化描述，建立起合适的数学模型，再从这个模型出发，进行滤波器的设计与实现工作。
由于卡尔曼滤波具有实时递推，存储容量非常小和设计起来比较简朴等优点，所以卡尔曼滤波器在工程领域应用十分广泛。比如在信号解决、卫星控制、石油勘探、故障诊断、GPS定位、检测与估计、控制、通信、航空航天、制导、目的跟踪、多传感器信息融合，机器人学和生物医学领域。
1．2 国内外研究现状
马里兰大学的实时监控系统W4可以基于单摄像头对人体或者人体的各个部分进行实时地跟踪。所谓W4是指，在哪里，什么人，什么时候，干什么，换句话说是指该系统可以拟定什么目的，什么时候，什么地方，干什么。W4是基于身体和头部，手等功能目的形状分析，基于背景分离功能的自适应前背景分离技术，和区域分裂合并到目的的交互功能。目前，在美国，日本，欧洲已进行了大量关于运动目的检测和跟踪的研究工作，W4是一种基于视觉监控系统可以对室外运动目的进行实时检测和跟踪，而IBM等大公司资助相关的研究领域，希望能将研究成果应用于商业领域。Pfinder是一款基于运动目的的颜色和形状特性使用实时追踪系统对大视角范围的运动目的进行追踪与测量的系统。同时也出现在许多国际会议与讨论小组。Pfinder系统的实现有助于帮助对室内人员的行为进行监控与行为鉴定。同时在交通系统中，Tai等人研究了一个视频监控系统用来交通事件检测的，可以自动检测车辆和其运营轨迹的鉴定。VISATRAM系统可以对每个车道的车辆行为监控，保障交通畅通Haag和Nagel专门机动车辆跟踪的问题进行了进一步研究与发现，Pai等人基于十字路口的行人检测与跟踪实现行人数量记录的功能。
目前，在国外一些基本的视频目的检测与追踪系统已经比较成熟了。例如，卡内基梅隆大学的视频安全和控制方案研究。根据计划，科研人员开发了一款端到端的测试系统，集成了具有许多先进视频安全监控技术，如基于静态背景和运动背景对运动目的进行实时测量与追踪，普通的目的记别（如人，汽车，卡车）分类，特殊的对象（如学校的公共汽车和有特殊标记的物体）的姿势估计和分类辨认，以及和相机的独立控制，多摄像机协同跟踪人体步伐分析等。
在国内的研究中也出现了一定的规模，举行了相关会议，探讨了相关的研究成果和未来的发展方向。20世纪60年代末，我国开始对视频目的检测与追踪技术进行研究通过40数年的不懈努力与投入，我国在这一领域得到了相称大发展，许多先进的图像解决和模式辨认方法应用于这一领域，同时一些实际系统的得到开发机会。中国的先进的影像辨认和智能化限度，一般跟踪技术，多目的的实时测量，低对比度和复杂的视频图像信息解决与国外相比还存在较大的差距。在实际过程跟踪方面仍然存在着许多问题，如数据同步，模糊图像，跟踪稳定性差等，由于这些方面的实用信息从国外获得的很少，所以在这一领域进行了进一步的研究，以提高我国的国防实力，加强公民行为起着重要的作用。目前，一些高校和科研机构都开展了这项工作。
相比之下，智能视频监控技术在国内的研究起步较晚，但随着数字图像解决技术，计算机视觉等多种红外、雷达、激光传感器技术的不断发展，运动目的检测与跟踪技术的研究提供了必要的理论基础和技术支持，发明环境的研究不可比拟的优越性。如视觉与听觉信息解决国家拥有着重点实验室，比如北京大学高智能机器感知系统实验室在三维视觉信息解决与智能机器人领域的研究取得了许多成果[4]。
1．3 论文内容以及结构篇章
本论文在对卡尔曼递推滤波算法进行数学推导的基础上研究卡尔曼滤波原理在雷达跟踪中的应用。针对一平面内运动目的，运用卡尔曼滤波方法进行目的轨迹跟踪, 采用蒙特卡洛方法通过Matlab7.0软件进行滤波跟踪仿真，具体涉及卡尔曼滤波增益和误差方差阵计算，最后对误差进行分析。为简便研究分析，将运动目的的观测的噪声假设为高斯白色噪声，并且讨论一般的非平稳的情况。
本论文的内容安排如下：
第一章绪论是对本课题研究的目的以及意义进行分析。只有在了解课题研究背景和研究现状的前提下，才干更好地开展设计工作。
第二章对Matlab软件作简要介绍，这是对卡尔曼滤波模型进行模拟的最佳软件。
第四章介绍了蒙特卡洛仿真实验的数学思想，并针对函数积分问题求解中的应用做了具体的分析，最后总的介绍了蒙特卡洛基本原理。
第三章和第五章是本论文的重点。第三章具体介绍了卡尔曼滤波器的基本原理，分析了各个公式的意义以及作用，并对卡尔曼滤波器重要方程式进行总结，各种卡尔曼参数进行说明。第五章在第三章对卡尔曼滤波器原理具体剖析的基础之上，针对一个平面内小汽车运动目的的雷达跟踪问题，使用卡尔曼递推滤波方法求解。以及运用软件Matlab进行运动目的仿真验证，并且分析运动目的速度和位置的方差。并且对运动目的跟踪非线性问题的初步探讨。
2 Matlab软件简介
2.1 软件简介
Matlab的简称是矩阵实验室（Matrix Laboratory），是由美国MathWorks公司开发的高级技术计算机语言和交互式环境的商业数学软件，其重要有两大部分组成的，Matlab和Simulink。
Matlab和Mathematica、Maple三者并称数学三大软件。Matlab重要突出的方面体现在对数学类科技应用问题上的数值计算。Matlab有很多功能，比如可以进行矩阵运算实现算法、创建用户界面、绘制函数和数据、连接其他编程语言的程序等 [1]。
2.2 Matlab基本功能
Matlab是一个完美地将数据结构和编程特性以及图形用户界面结合到一起的数学软件，由美国MathWorks公司开发研制的。它为自己的用户提供了矩阵运算功能和灵活的数组运算功能等，这些都是用户经常使用的一些功能。它与此同时还可以与Fortran语言和C语言进行混合编程，大大提高了编程效率，因此进一步扩大了它的功能。其中特别重要的有以下几点：1）复杂的矩阵或数组数据的单元操作，能直接解决矩阵或数组。2）编程语言结构十分紧凑，内涵非常丰富，编程效率相称高，用户使用很方便。3）绘制图型功能十分强大，复杂的二维图形和三维图形用户只需要编写很短的程序代码就可以绘制出来了。4）为用户提供了丰富的调用函数，用户可直接使用，不需要用户自己编程，提高了编程效率，比如用户需规定解微分方程或微分方程组的解那么就可以使用系统提供的Dsolve函数、假如需规定解线性方程组的解那么使用提供的Solve函数就行了[1]。
2.3 Matlab优点
Matlab中通过使用为用户提供的可视化动态仿真环境———Simulink，可以实现对动态系统的非常直观建模以及对动态系统的仿真与分析，并且Matlab也支持连续时间、离散时间以及连续和离散时间互相交替的线性系统和非线性系统进行仿真测试功能，因此可以使一个非常复杂系统的输入和仿真都变得十分简朴明[3]。
Matlab可以合用于许多学科、部门的各种规定，Matlab的基本数据单位是矩阵。和C语言，FORTRAN语言等编程语言相比，Matlab的指令表达式跟数学和工程中的运算形式是几乎完全相似的，所以运用Matlab来求解相同问题的解要比用C语言，FORTRAN语言等语言更加简朴容易，并且Maple等软件的优点也被Matlab吸取了，因此Matlab成为一款不仅仅功能强大并且十分实用的数学软件。在新的版本中C语言、FORTRAN语言、C++语言、JAVA语言也可以被兼容进去使用了。用户可以自己编写相应的程序存到Matlab的程序调用库中，方便用户自己可以下一次编写程序时直接调用这些以前编写好的程序。同时，Matlab库中已经导入了很多程序编写爱好者已经编写好的各种各样的程序代码，这些都是一些非常经典的程序代码，用户可以自己直接下载并且使用。
2.4 Matlab的应用
用户可以根据直角坐标和极坐标选择的需要，柱面和球面坐标系统绘制平面曲线和空间曲线和曲面的外观图和网络图，也可以绘制矢量图，直方图，直方图等。此外, Matlab将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大的功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大限度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（C、FORTRAN)的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平[8]。
在电路和信号与系统以及数字信号解决等自动控制原理都是可以基于Matlab来实现的。在这突出介绍下Matlab的绘图功能。Matlab绘制图形实例如下所示：
基于Matlab软件绘制数列图形指令:
syms n
n=1000:10000; xn=(1+1./n).^n;
plot(n,xn,':'); grid on
绘图结果如图2.1所示：

图2.1函数极限
图像直观地表白了n当有限增大时,数列的变化趋势,用户通过绘图可以理解极限概念和含义。
3 卡尔曼滤波器原理
3.1 状态转移
卡尔曼滤波的本质是一种递推估计过程，只要知道上次状态估计和观测状态可以很容易地得到当前状态值，它和其他的估计技术与众不同，卡尔曼滤波器不需要观测和估计的历史记录，卡尔曼滤波器是一个纯粹的时域滤波器，它和其他的频域滤波器最大的区别在于，比如低通、高通、带通、带阻等频域滤波器，这些是需要在频域中设计，然后在转变届时域中使用。但卡尔曼滤波器可以直接在时间域内设计和使用，它适合于实时解决数据。
一个运动的目的，它当前状态可以写成矩阵形式就是一个二维的列向量 ，即它由位置和速度构成
假如已知上一时刻状态那么当前时刻的状态的位置及目的运动速度可以用以下的表达方法
（3.1）
（3.2）
的状态的位置及目的运动速度的输出变量都只是其输入变量的线性组合，这体现了卡尔曼滤波器是最佳的线性滤波器，由于它只能描述状态与状态之间的线性关系。
由于线性关系，把它写成矩阵的形式：
（3.3）
进一步提取出两个状态变换矩阵
和 （3.4）
其中为状态转移矩阵，作用在于如何从上一时刻的状态来推测当前时刻的状态。为控制矩阵，它表达控制量如何作用当前状态。
因此可以得出卡尔曼公式中第一个公式：。
32 状态预测
（3.5）
为对的估计量，由于物体的真实状态无法知道，只能根据所观测的数据尽也许的估计的真实值，接着需要根据观测来更新预测值，以便得到最佳值。
但是所有的推测过程都会包含噪声影响，噪声越大，不拟定性也就越大，如何表达这次推测带来多少不拟定性需要引入协方差矩阵。
3.3 协方差矩阵
先从一维情况说起，如下图3.1所示假设有一个一维的数据，由于噪声，每次测量的值都不相同，但是都是围绕在一个中心值的范围。表达它的最简朴方式就记下它的中心值和方差。这事实上是假设了它是一个高斯的分布。

图3.1 一维噪声数据分布
二维的情况如下图3.2所示，分别对两个坐标轴进行投影，在两个轴上都是高斯分布。

图3.2 二维噪声数据分布
假如两个维度是互相独立的就可以分别记下中心值和两个轴的方差。但是两个维度具有相关性的时候，比如在一个维度上噪声增大，另一个维度上噪声也增大，假如一个维度增大另一个维度减小，这个时候对两个坐标轴上投影和之前的是同样的都是高斯分布，所以要表达两个维度的相关性除了要记录两个维度的方差之外还要协方差来表达两个维度之间的相关限度。
写成矩阵的形式：
（3.6）
对角线上的两个值是两个维度的方差，反对角线上的两个值是相等的，是它们的协方差。在卡尔曼滤波器中所有关于不拟定性的表述都要用到协方差矩阵。
3.4 噪声协方差矩阵的传递
每一个时刻的不拟定性都是由协方差矩阵来表达的，如何让这种不拟定性在每一刻之间传递呢。
（3.7）
式（3.7）表达从上一时刻的协方差推测当前时刻的协方差。具体推导根据协方差矩阵的性质。
这个时候还要考虑一个问题，这个预测模型也不是百分之百准确的，它自身也是包含噪声的，所以要在后面加上一个协方差矩阵来表达预测模型自身带来的噪声。
所以公式写成：
（3.8）
式（3.8）就是卡尔曼滤波器的第二个公式，它表达不拟定性在各个时刻之间的传递关系。
3.5 观测矩阵
每一个时刻都能观测到物体的位置，观测到的值，记为，那么从物体自身的状态到观测状态之间有一个变化关系，记为，当然这种变换关系也只能是线性关系，由于卡尔曼滤波器是线性滤波器，所以理所当然的要把写成矩阵的形式 。也就是所谓的观测矩阵,和的维度是不一定相同的，假如是一个二维的列向量，是一个标量，所以用公式表达观测矩阵，其中为观测的噪声，这个观测的协方差矩阵用来表达，假如观测的值是一个一维的值，那么这个的形式也不是一个矩阵，也只是一个值，仅仅表达的方差，假设除了用雷达尚有别的测量方法可以观测到物体的某项特性,那么就也许是一个多维的列向量，它会涉及每一种测量方式的测量值，而每一种测量值都是真实值的一种不完全表现，可以从几种不完全表现中推断出真实的状态，而卡尔曼滤波器这种数据融合功能正是在这种测量矩阵中体现出来的。
3.6 状态更新
已有了观测量和它的协方差矩阵，这个时候需要整合进去对状态的估计。最佳估计值得公式是：
（3.9）
对式（3.9）分析，加上的这项表达实际的观测值与预期的观测值之间的残差，这残差乘上一个系数就可以修正的值了，这个十分的关键，它叫做卡尔曼系数，它也是一个矩阵。
（3.10）
这个式（3.10）的推导十分复杂，这里就定性的来分析一下。这个卡尔曼系数的作用重要有两个方面，一是权衡预测状态协方差和观测量的协方差矩阵的大小来决定是相信预测模型多一点还是相信观测模型多一点，假如相信预测模型多一点这个残差权重就会小一点，假如相信观测模型多一点那么这个残差权重就会大一点。二是把残差的表现形式从观测域转换到状态域。刚才说到观测值只是一个一维的向量，状态是一个二维的列向量，它们用的单位甚至是特性都有也许是不同的，那怎么用观测值的残差去更新状态值其实就要涉及到这个卡尔曼系数，事实上这个卡尔曼系数就是在做这样一个转换，观测到物体的位置，但是里面已经包含了协方差矩阵的信息，所以它运用位置和速度这两个维度的相关性，从位置的残差里推算出了速度的残差，从而可以对状态的两个维度同时进行修正。
3.7 噪声协方差矩阵的更新
（3.11）
更新最佳估计值得噪声分布，这个值是留给下一轮迭代时候用的，在这一步里状态的不拟定性是减小的，而在下一轮里由于传递噪声的引入不拟定性又会增大，卡尔曼滤波器就是在这种不拟定性的变化中寻求的一种平衡。但是要注意的是这个公式仅仅在最优卡尔曼增益时它才成立。假如算术精度总是很低而导致数值稳定性出现问题，或者特意使用非最优卡尔曼增益，那么就不能使用这个公式[13]。
3.8 卡尔曼滤波的五个公式
预测：
（3.12）
（3.13）
式（3.12）和式（3.13）是通过前一个时刻的状态来预测当前时刻的状态，这并不是最佳的估计值，它们还欠缺陷东西，这个欠缺的东西就是从观测里面带来的信息，由于还没考虑当前时刻的观测值。
更新：
（3.14）
（3.15）
（3.16）
式（3.14）式（3.15）和式（3.16）三个公式就用当前的观测值来更新和,通过更新后的值就是最佳估计值了。
3.9 卡尔曼变量和参数
表3.1 卡尔曼变量和参数
变量
定义
维数

当前t时刻位置

当前t时刻速度

t时刻状态矩阵
21

状态转移矩阵
22

控制矩阵
21

控制量

对的估计量
21

协方差矩阵
22

t-1时刻的协方差

t时刻的协方差估计

噪声协方差矩阵

观测值

观测矩阵
12

观测协方差矩阵
12

观测噪声

当前位置最佳估计值
21

卡尔曼增益矩阵

最佳估计的协方差

4 蒙特卡洛仿真实验的数学思想
4.1 蒙特卡洛方法的产生与发展
蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或者称记录实验方法，属于计算数学的一个分支，它是基于上世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的数学方法[7]。传统的经验方法之所以很难得到满意的答案是由于不能逼近真实的物理过程，而蒙特卡罗方法之所以解决问题与实际非常符合是由于可以真实地模拟实际物理过程，可以得到很圆满的结果。20世纪40年代以来，随着电子计算机技术的飞速发展，人们开始可以使用计算机技术来模拟这类实验。计算机可以取代很多事实上非常庞大而复杂的数字仿真技术，由于计算机具有较高的运算速率与存储容量大的特点，并且对实验结果的解决十分迅速，于是蒙特卡洛方法被重新提起，并且蒙特卡洛的应用领域越来越广泛特别是相比于可视化编程的各种方法不断出现，更加显示了蒙特卡罗方法的独特之处，视觉计算机数学模拟实验，用数学的方法解决。
4.1.1 蒙特卡洛方法求函数的积分
假如要计算下面函数的积分：
（4.1）
其中函数，假如直接对函数积分，结果为。
采用蒙特卡洛方法来求积分，先设两个随机变量和都在区间上服从均匀分布。这两个随机变量互相独立的，将的样本点投放到平面上，如下图4.1所示，那么落在区域的概率为区域的面积与正方形的面积之比（正方形面积为1），即：
（4.2）
可见对函数的积分问题就转化成了一个概率的计算问题，其优点体现在，概率可以用相对频数来近似，相对频数是可通过记录实验的方法求得。具体方法是将个随机点均匀地投放到平面上的正方形区域内，假如有个点落在区域内，那么相对频数为，公式如下所示：
（4.3）
式（4.3）是对积分的一个估计，估计的精度重要跟实验次数相关，也称为蒙特卡洛仿真次数。下面给出了用蒙特卡洛方法计算积分的MATLAB程序。
syms x;
y1=int(0.5-(0.5-x).^2,0,1);
zhenshizhi=eval(y1)
N=0;
x1=unifrnd(0,1,1,M);
y1=unifrnd(0,1,1,M);
for i=1:M
if y1(i)<=(0.5-(0.5-x1(i)).^2)
N=N+1;
end
end
fangzhenzhi=N/M
仿真结果如图4.1所示：

图4.1积分图
从以上的例子可以看出应用蒙特卡洛仿真的一般环节：
1）建立合适的概率模型；
2）进行多次反复实验；
3）对反复实验结果进行记录分析（估计相对频数、均值等）、分析精度。
4.2 蒙特卡洛基本原理
当所规定解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的盼望值时，它们可以通过某种“实验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。[10]蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特性，运用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解[10]。可以把蒙特卡罗解题归结为三个重要环节：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量[6]。
本论文对于运动目的跟踪模型的仿真即采用蒙特卡洛方法。
5 基本动态系统模型
5.1 运动目的数学模型建立
卡尔曼滤波器是最佳线性滤波器，由于它只能描述线性时域系统，对于运动目的的状态转移，输入和输出必须是线性关系，随着时间推移，状态转移都会产生一个新的状态，同时每次状态转移都会加入新的控制量，并且每一次的预测都会带来噪声干扰，系统的状态到对目的的观测也是一个线性的关系，从状态量到观测量这个过程也会存在噪声的干扰。卡尔曼滤波器基本动态系统模型如图5.1所示，向量、矩阵、高斯噪声分别由圆、正方形、六角星表达，其观测噪声和预测噪声协方差在右下方正方形中标出。

图5.1 卡尔曼滤波器基本动态系统模型
假设有一辆小汽车在路上行驶，假设道路无限长，并且笔直，用小汽车的位置和速度来表达它当前时刻的状态。驾驶员可以踩油门也可以踩刹车使其产生一个向前的加速度或者一个向后的加速度，表达对车的一个控制量，假如没踩油门也没踩刹车，则=0车就会做匀速直线运动。在小汽车的左端放置一个雷达，以便可以测出小汽车的位置和速度，但是在整个测量和观测过程中，都存在噪声，设为高斯白噪声，为了简便起见，本文设小汽车运动速度为5m/S，10m/S,20m/S的匀速直线运动。雷达扫描周期分别为1s、2s和3s进行了分析。这个运动目的的数学模型，可以用以下差分方程表达：
（5.1）
（5.2）
和分别表达小汽车在时刻的位置和速度，表达小汽车在的加速度，为了简朴起见，我们在这里设加速度为0。那么得出小汽车的状态转移方程：
（5.2）
式（5.2）中，，为均值为0的高斯噪声，其协方差矩阵为。
其观测方程为：
（5.3）
式子中为一个一维的标量，它表达雷达在时刻测量出小汽车的位置，为时刻小汽车的测量矩阵，为该过程测量的高斯白噪声，协方差矩阵为。
由于目的的动态模型是线性的，过程噪声和测量噪声服从高斯分布且互相独立，所以可以运用卡尔曼滤波技术对目的的位置和速度进行估计，其估计的均方误差是最小的。对运动目的位置和速度的最佳滤波预测如表5.1所示：
表5.1 位置和速度的最佳滤波预测
预测

预测误差协方差

Kalman增益

滤波

滤波协方差

5.2 Matlab程序代码及其注释
clc;
Z=5*(1:100); %观测值
noise=randn(1,100); %方差为1的高斯噪声
Z=Z+noise; %观测带噪声的小汽车位置数值
X=[0;0]; %汽车的初始状态
P=[1 0;0 1]; %状态协方差矩阵
F=[1 1;0 1]; %状态转移矩阵
Q=[0.0001,0;0 0.0001]; %状态转移协方差矩阵
H=[1 0]; %观测矩阵
R=1; %观测噪声方差
C=0;
M=0;
L=0;
figure; %画图，画出滤波100次的图
hold on;
%卡尔曼滤波100次开始
for i=1:100
V=5; %产生真实的速度
X_ = F*X; %状态预测公式
P_ = F*P*F'+Q; %状态协方差矩阵的传递
K = P_*H'/(H*P_*H'+R); %卡尔曼增益矩阵
X = X_+K*(Z(i)-H*X_); %状态的更新
P = (eye(2)-K*H)*P_; %噪声协方差矩阵的更新
a(i)=X(1);
c(i)=X(2);
f(i)=Z(i)
%画出估算速度的方差和估算位置的方差
C=(X(2)-V)^2+C;
D=C/i;
M=(X(1)-Z(i))^2+M;
L=M/i;
plot(i,D,'K',i,L,'B');
legend('估算的速度的方差','估算位置的方差');
end
figure(2)%画图
plot(a,c,a,V,'R');
legend('估算的速度' ,'真实的速度');
5.3 Matlab仿真结果以及分析
一方面设定扫描周期为1秒，初始状态，小汽车真实运动运动速度为5m/S。如图5.2所示：

图5.2 5m/S卡尔曼滤波的结果

图5.3 5m/S速度和位置估的方差
设定扫描周期为1秒，初始状态，小汽车真实运动运动速度为10m/S。如图5.4所示：

图5.4 10m/S卡尔曼滤波的结果

图5.5 10m/S速度和位置估的方差
设定扫描周期为1秒，初始状态，小汽车真实运动运动速度为20m/S。如图5.6所示：

图5.6 20m/S卡尔曼滤波的结果

图5.7 20m/S速度和位置估的方差
设定扫描周期为2秒，初始状态，小汽车真实运动运动速度为5m/S。如图5.8所示：

图5.8 雷达扫描为2S的卡尔曼滤波结果

图5.9 雷达扫描为2S的速度和位置方差
设定扫描周期为3秒，初始状态，小汽车真实运动运动速度为5m/S。如图5.10所示：

图5.10 雷达扫描为3S的卡尔曼滤波结果

图5.11 雷达扫描为3S的速度和位置方差
卡尔曼滤波结果的图中，横轴表达小汽车的位置，纵轴表达小汽车的速度。在卡尔曼滤波的速度和位置的方差图中，横轴表达滤波的次数，纵轴表达方差值。
通过度析图5.2和图5.4以及图5.6，发现针对于不同运动速度的小汽车。估计的速度曲线和真实的速度曲线拟合限度都很不错。卡尔曼滤波器就用了很少的几次迭代就接近了真实的速度，并且之后就一直出现在真实速度的水平范围，再结合图5.3和图5.5以及图5.7小汽车的位置和速度方差图，显示随着滤波次数的增长，不同运动速度的小汽车位置和速度方差值都在变小，这些都说明了