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小学生运算思维品质培养的实验研究 北京师大 林崇德 霍懋征等 一、问题的提出一、问题的提出 小学生的数学能力应涉及小学生的数学能力应涉及哪些结构哪些结构，是，是如何发展的如何发展的，这在教育界，这在教育界和心理学界众说不一。在过去自己的一些粗浅的研究中初步看到，对和心理学界众说不一。在过去自己的一些粗浅的研究中初步看到，对于小学生数学能力发展特点的研究，必须要使研究方式处在于小学生数学能力发展特点的研究，必须要使研究方式处在动态动态之中，即充足考虑到教育的主导作用，这样才干使研究获得可靠的、之中，即充足考虑到教育的主导作用，这样才干使研究获得可靠的、科学的结论。同时，我们还看到，小学生在运算过程中其思维品质是科学的结论。同时，我们还看到，小学生在运算过程中其思维品质是相称重要的，相称重要的，研究思维品质，研究思维品质，可以作为研究数学能力的突破点。可以作为研究数学能力的突破点。思维品质，是在个体的思维活动中智力特思维品质，是在个体的思维活动中智力特性的表现。人的思维就性的表现。人的思维就其发生和发展看，既服从于一定的共同规律，又表现出人与人之间的其发生和发展看，既服从于一定的共同规律，又表现出人与人之间的个体差异。这种个体差异就是思维品质，又可叫做思维的智力品质，个体差异。这种个体差异就是思维品质，又可叫做思维的智力品质，在小学生数学运算中，突出的思维品质是灵敏性、灵活性、深刻性和在小学生数学运算中，突出的思维品质是灵敏性、灵活性、深刻性和独创性等四个方面。独创性等四个方面。思维的的灵敏性思维的的灵敏性就是思维过程的速度就是思维过程的速度;思维的灵思维的灵活性活性是指思维活动的灵活限度是指思维活动的灵活限度;思维的深刻性思维的深刻性也就是逻辑性，这是思也就是逻辑性，这是思维活动中抽象水平的表现，即抓住问题的本质和规律，开展系统的理维活动中抽象水平的表现，即抓住问题的本质和规律，开展系统的理性活动性活动;思维的独创性思维的独创性是指独立思考发明出有一定新奇性成分的智力是指独立思考发明出有一定新奇性成分的智力品质。这四个品质是区分儿童智力、才干的重要指标之一，也是提高品质。这四个品质是区分儿童智力、才干的重要指标之一，也是提高儿童数学学习儿童数学学习成绩的关键。成绩的关键。我们的研究是密切结合学校第一线教学工作进行的，其我们的研究是密切结合学校第一线教学工作进行的，其目的目的就在就在于探讨小学生在数学运算过程中，如何通过有效的教学途径来培养上于探讨小学生在数学运算过程中，如何通过有效的教学途径来培养上述儿童思维品质和提高教学质量、减轻学生的承担，并以我们的研究述儿童思维品质和提高教学质量、减轻学生的承担，并以我们的研究提 出提 出问题问题 概概念念界界定定 结果来讨论小学生数学能力的结构和提出一些小学数学教学的建议。结果来讨论小学生数学能力的结构和提出一些小学数学教学的建议。二、方法与环节二、方法与环节 我们通过横向方法与纵向方法相结合，教育与心理发展相促迸，我们通过横向方法与纵向方法相结合，教育与心理发展相促迸，使整个研究处在使整个研究处在动态动态。即从发展变化的观点来研究问题，。即从发展变化的观点来研究问题，围绕着围绕着小学生运算过程中思维的灵敏性、灵活性、深刻性和独创性等四个品小学生运算过程中思维的灵敏性、灵活性、深刻性和独创性等四个品质的培养，展开全面的实验研究。质的培养，展开全面的实验研究。(一一)实验班与控制班的拟定实验班与控制班的拟定 研究的被试者，系北京市幸福村学区二至五年级八个班学生，研究的被试者，系北京市幸福村学区二至五年级八个班学生，每个年级两个班每个年级两个班(一个实验班，二个控制班一个实验班，二个控制班)，为了便于记录，随机取，为了便于记录，随机取样，每班定样，每班定 35 名，共有被试者名，共有被试者 280 名。名。实验班与控制班的被试者，均系就近入学实验班与控制班的被试者，均系就近入学;其中二、五年级实验其中二、五年级实验班，都是儿童一人学就开始追踪研究，三、四两个年级追踪仅一年时班，都是儿童一人学就开始追踪研究，三、四两个年级追踪仅一年时间，研究前通过智力检查及语文与算术两科考试，成绩都无显著的差间，研究前通过智力检查及语文与算术两科考试，成绩都无显著的差异异(通过检查，通过检查，P0.1)，组成一一相应等组，组成一一相应等组;使用教材相同使用教材相同(都是全国都是全国通用教材通用教材);在校上课、自习及所留作业量相同，学生家长职业、成分在校上课、自习及所留作业量相同，学生家长职业、成分大大体相似，没有发现任何特殊的家庭辅导，或增长练习量的现象。体相似，没有发现任何特殊的家庭辅导，或增长练习量的现象。所不同的是选择实验班的教师，应能与实验者积极配合，突出教所不同的是选择实验班的教师，应能与实验者积极配合，突出教学方法的改革，以利于实验班儿童在运算中思维品质的培养。而控制学方法的改革，以利于实验班儿童在运算中思维品质的培养。而控制班按一般的教学方法进行，即不使用实验班的教学方法。班按一般的教学方法进行，即不使用实验班的教学方法。实验班教师系统地学习了儿童思维心理学知识与思维品质的培实验班教师系统地学习了儿童思维心理学知识与思维品质的培养方法，定期集体备课，统一实验指导思想与具体措施养方法，定期集体备课，统一实验指导思想与具体措施;定期按实验定期按实验措施搞措施搞培养思维品质教学观摩课培养思维品质教学观摩课，不断改善培养计划。，不断改善培养计划。(二二)实验措施的贯彻实验措施的贯彻 (如何采用措施如何采用措施)我们按照思维品质的内容，并总结了北京市十余位先进我们按照思维品质的内容，并总结了北京市十余位先进数学教师数学教师的经验，制定了小学生在运算中思维品质的的经验，制定了小学生在运算中思维品质的培养措施培养措施，内容如下，内容如下:1、培养思维的灵敏性，重要是培养对的迅速的运算能力。具体、培养思维的灵敏性，重要是培养对的迅速的运算能力。具体的措施有两条的措施有两条:(1)在对的的基础上始终有速度的规定。在对的的基础上始终有速度的规定。我们强调灵敏运算思维的前提是对的。对于低年级，教师狠抓儿我们强调灵敏运算思维的前提是对的。对于低年级，教师狠抓儿童的计算对的率，规定百分之百对的。贯彻到儿童身上，一是认真审童的计算对的率，规定百分之百对的。贯彻到儿童身上，一是认真审题，划出重点词，二是题题有验算题，划出重点词，二是题题有验算(如逆运算如逆运算)，三是错题当天更正，三是错题当天更正;贯彻到教师身上，加强“及时强化”，做到天天当堂批改作业，对的贯彻到教师身上，加强“及时强化”，做到天天当堂批改作业，对的打“打“”，错的不表态，让儿童在运算中获得及时的肯定与否认，从”，错的不表态，让儿童在运算中获得及时的肯定与否认，从记忆到思维记忆到思维，有一个及时刺激，增强对的的“条件联系”。，有一个及时刺激，增强对的的“条件联系”。在对的的基础上抓速度练习在对的的基础上抓速度练习:a、低年级，我们将对的而迅速的计算规定作为学习常规的重要、低年级，我们将对的而迅速的计算规定作为学习常规的重要内容。在速算练习时，我们不使用公开发行的固定的“速算卡片”，内容。在速算练习时，我们不使用公开发行的固定的“速算卡片”，由于时间一长，儿童就背熟了卡片中的习题和答案由于时间一长，儿童就背熟了卡片中的习题和答案;而是教师天天换而是教师天天换新习题，用黑板或写在纸上一道道出示，使儿童进行运算思维的速度新习题，用黑板或写在纸上一道道出示，使儿童进行运算思维的速度练习而不是机械记忆的训练。练习而不是机械记忆的训练。b、在形成一定学习“常规”的基础上，天天坚持五分钟左右的、在形成一定学习“常规”的基础上，天天坚持五分钟左右的速算练习。具体内容有：一是口算，如每人一题，一人计算，全班注速算练习。具体内容有：一是口算，如每人一题，一人计算，全班注视，发现错误，立刻更正，这样一人接一视，发现错误，立刻更正，这样一人接一人回答，十分紧张：二是速人回答，十分紧张：二是速算比赛，有规定期间比对的迅速完毕计算的数量的，有给练习题比完算比赛，有规定期间比对的迅速完毕计算的数量的，有给练习题比完毕的时间，儿童在比赛申产生爱好和“好胜”心理，逐步形成对的迅毕的时间，儿童在比赛申产生爱好和“好胜”心理，逐步形成对的迅速的运算习惯速的运算习惯;三是接力完毕一个复杂题，例如应用题类型复习，一三是接力完毕一个复杂题，例如应用题类型复习，一人说类型特性，另一人接着说解题方法，第三人出一道这类的应用题，人说类型特性，另一人接着说解题方法，第三人出一道这类的应用题，第四人说出答案，全班儿童，高度集中注意力，人人练习对的迅速地第四人说出答案，全班儿童，高度集中注意力，人人练习对的迅速地思考问题。思考问题。c、到中、高年级，强调在数学运算中能把对的、迅速与合理、到中、高年级，强调在数学运算中能把对的、迅速与合理、灵活结合起来。我们认为，思维结构是在法则支配下有一定方向、材灵活结合起来。我们认为，思维结构是在法则支配下有一定方向、材料和形式的系统。速算的合理、灵活性，很重要的一点料和形式的系统。速算的合理、灵活性，很重要的一点在于运用算术在于运用算术法则，于是我们鼓励儿童开动脑筋，充足运用速算方法和互换法则，于是我们鼓励儿童开动脑筋，充足运用速算方法和互换 律、律、结合律、分派律等算术法则，合理而迅速地运算。例如，对结合律、分派律等算术法则，合理而迅速地运算。例如，对(60+(357375-375356)+25)12，只要运用分派律，提出，只要运用分派律，提出 375，不久地获，不久地获得答案而不需按部就班演算了。得答案而不需按部就班演算了。(2)教给儿童一定的速算要领与方法。教给儿童一定的速算要领与方法。速算方法有上百种。我们是按照不同年级儿童所学不同的数学内速算方法有上百种。我们是按照不同年级儿童所学不同的数学内容，分别教给他们，儿个数相加，中间有互补的，可以先加容，分别教给他们，儿个数相加，中间有互补的，可以先加;连续数连续数的加法，可以归纳为首项加上末项，再乘以项数的一半即成的加法，可以归纳为首项加上末项，再乘以项数的一半即成;某数某数(0除外除外)乘以或除以乘以或除以 5、25、125、625可以用五倍的数计算等，使可以用五倍的数计算等，使他们能提高运算的速度。心理学认为，反复练习是形成习惯的重要条他们能提高运算的速度。心理学认为，反复练习是形成习惯的重要条件。教会速算方法，反复地练习，儿童就能从领略这些方法到应用这件。教会速算方法，反复地练习，儿童就能从领略这些方法到应用这些方法，这样逐步地“熟能生巧”，一旦变成习惯些方法，这样逐步地“熟能生巧”，一旦变成习惯-“生巧”，不仅“生巧”，不仅可以丰富数学知识，并且可以促进思维灵敏性品质的发展、可以丰富数学知识，并且可以促进思维灵敏性品质的发展、2、培养思维的灵活性，重要是培养儿童“一题多解”、“一题多、培养思维的灵活性，重要是培养儿童“一题多解”、“一题多变”的运算能力。变”的运算能力。我们认为，一题多解和一题多变是一种发散式的灵活的思维方我们认为，一题多解和一题多变是一种发散式的灵活的思维方式，它们不仅是培养思维品质灵活性的好方法，并且还是一个提高教式，它们不仅是培养思维品质灵活性的好方法，并且还是一个提高教学质量的老方法。衡量一学质量的老方法。衡量一个儿童的智力高低，重要是看解决题目的难个儿童的智力高低，重要是看解决题目的难易限度和灵活限度，而不只是看解题的多寡。一题多解和一题多变的易限度和灵活限度，而不只是看解题的多寡。一题多解和一题多变的教学与练习的环节与方法是教学与练习的环节与方法是:(1)抓儿童知识之间的“渗透”和迁移。心理学认为，迁移的实抓儿童知识之间的“渗透”和迁移。心理学认为，迁移的实质是概括，迁移是灵活地运用知识的基础。我们实验申的措施是“运质是概括，迁移是灵活地运用知识的基础。我们实验申的措施是“运用旧知识，学习新知识”，做到“新课不新”，使每个旧知识都是新知用旧知识，学习新知识”，做到“新课不新”，使每个旧知识都是新知识的基础识的基础;而每个新知识又是在旧知识基础上获得发展，这就为知识而每个新知识又是在旧知识基础上获得发展，这就为知识之间的“渗透”和迁移，提供了也许性。之间的“渗透”和迁移，提供了也许性。(2)引导儿童“发散式”的思考。思维有发散式的，也有辐合式引导儿童“发散式”的思考。思维有发散式的，也有辐合式的。前者求多解，后者求一解的。前者求多解，后者求一解;前者求前者求异，后者求同。我们认为这两异，后者求同。我们认为这两者是统一的，后者是前者的基础，前者是后者的发展。在培养发散式者是统一的，后者是前者的基础，前者是后者的发展。在培养发散式思维时，我们分三步进行思维时，我们分三步进行:第一步，通过儿童结识数量关系来培养，第一步，通过儿童结识数量关系来培养，例如，任何一道试题，都能有“一加二减”三道题，或有“一乘二除”例如，任何一道试题，都能有“一加二减”三道题，或有“一乘二除”三道题。第二步，让儿童根据题中两个已知数量之间的关系揖考能提三道题。第二步，让儿童根据题中两个已知数量之间的关系揖考能提出哪些问题来。例如对“甲班种树出哪些问题来。例如对“甲班种树 15 棵，乙班种树棵，乙班种树 30 棵”，儿童通棵”，儿童通过发散式思考，可以从提出两三个问题逐步发展到过发散式思考，可以从提出两三个问题逐步发展到 10 个左右的问题，个左右的问题，最后个别儿童竟提出最后个别儿童竟提出 23 个问题。这样训练，像滚雪球同样，越滚越个问题。这样训练，像滚雪球同样，越滚越大，使儿童根据题中的数量关系，通过“发散”，可以得到众多的新大，使儿童根据题中的数量关系，通过“发散”，可以得到众多的新的数量关系。第三步，进行应用题的发散思维训练。儿童可以把一道的数量关系。第三步，进行应用题的发散思维训练。儿童可以把一道应用题，通过改变条件或问题，从一步应用题，发散成五步、六步，应用题，通过改变条件或问题，从一步应用题，发散成五步、六步，甚至七步应用题甚至七步应用题;也可以把多步应用题，最后辐合为一道一步题。这也可以把多步应用题，最后辐合为一道一步题。这一点，现时教学大纲并不提倡。一点，现时教学大纲并不提倡。但我们认为，思维是对事物内在关但我们认为，思维是对事物内在关系的反映，步数多，数量关系多，要找出多步的关系，系的反映，步数多，数量关系多，要找出多步的关系，d 能有力地锻能有力地锻炼儿童的思维不断地从具体的向抽象的过渡，逐步灵活地把握数量之炼儿童的思维不断地从具体的向抽象的过渡，逐步灵活地把握数量之间内在的关系及变化，提高思维的抽象逻辑限度。间内在的关系及变化，提高思维的抽象逻辑限度。(3)教师的一个重要做法是每堂课都有精选例题，按类型、深度教师的一个重要做法是每堂课都有精选例题，按类型、深度编选适量的习题，再按深度提成几套，使儿编选适量的习题，再按深度提成几套，使儿童通过一题多解，一题多童通过一题多解，一题多变，灵活运用，以便在思维灵活性品质上有所发展。变，灵活运用，以便在思维灵活性品质上有所发展。3、培养思维的深刻性，即逻辑性。、培养思维的深刻性，即逻辑性。我们认为，小学生数学逻辑思维能力，应涉及数学概括能力、空我们认为，小学生数学逻辑思维能力，应涉及数学概括能力、空间想像能力、数学命题能力、逻辑推理能力和运用法则能力等五种。间想像能力、数学命题能力、逻辑推理能力和运用法则能力等五种。这里，数学概括能力是一切能力的基础。在实验中，我们在培养儿童这里，数学概括能力是一切能力的基础。在实验中，我们在培养儿童思维深刻性上，着重点放在提高他们的概括能力上。思维深刻性上，着重点放在提高他们的概括能力上。(1)小学阶段，数的概括能力含义是什么小学阶段，数的概括能力含义是什么?心理学已经指出，重要涉心理学已经指出，重要涉及及:a、结识数的实际意义结识数的实际意义(例如，“例如，“10”代表十个，“”代表十个，“1/2”是指半个，”是指半个，等等等等);b、对各类数的顺对各类数的顺序和大小的理解序和大小的理解(例如，例如，89 在在 98 之前，之前，98在在 89 之后，之后，89(98，98,89);c、数的分解组合的能力和归类能力数的分解组合的能力和归类能力(例例如，如，100 由由 50+50 组成，或由组成，或由 10 个个 10 组成，或由组成，或由 1 叨个叨个 1 组成，等组成，等)。其中数的分解组合能力是数的概括能力的核心。因此，在实验班的其中数的分解组合能力是数的概括能力的核心。因此，在实验班的教学中，突出抓数的分解组合的培养。例如，一年级上学期的重点教学中，突出抓数的分解组合的培养。例如，一年级上学期的重点是是 20 以内的进位加法和退位减法，正常进度用以内的进位加法和退位减法，正常进度用 53 课时，一位实验课时，一位实验班教师，并没有按照教科书那样对班教师，并没有按照教科书那样对 20 以内的数一个一个分别讲解，以内的数一个一个分别讲解，而是引导儿童对而是引导儿童对 20 以内的数比较实际意义，结识大小和顺序，进行以内的数比较实际意义，结识大小和顺序，进行组成与分解的练习，一共组成与分解的练习，一共只用了只用了 10 课时，献杰出完毕了教学任务课时，献杰出完毕了教学任务(用用市里的试题考试，全班仅有一人错了一道小题市里的试题考试，全班仅有一人错了一道小题)。(2)在培养儿童数学概括能力的基础上，逐步培养儿童逻辑推理在培养儿童数学概括能力的基础上，逐步培养儿童逻辑推理的能力。这具体抓了两条的能力。这具体抓了两条:一是在应用题教学中，紧紧扣住简朴应用一是在应用题教学中，紧紧扣住简朴应用题的十一种类型的教学，使儿童从类型出发，领略每种类型的解题原题的十一种类型的教学，使儿童从类型出发，领略每种类型的解题原理，并以此为大前提，进行演绎，掌握各类应用题的解答方法，体现理，并以此为大前提，进行演绎，掌握各类应用题的解答方法，体现出应用题教学中“一步是基础，两步是关键”的特点。十一类简朴应出应用题教学中“一步是基础，两步是关键”的特点。十一类简朴应用题的教学，按教学进度，要跨两年半到三年的时间，但考虑到应用用题的教学，按教学进度，要跨两年半到三年的时间，但考虑到应用题的教学中类型起演绎推理大前提作用，一位实验班教师全面分析了题的教学中类型起演绎推理大前提作用，一位实验班教师全面分析了十一类应用题的特点，按四种基本数量的关系，引导儿童加以归类，十一类应用题的特点，按四种基本数量的关系，引导儿童加以归类，结果只用一年时间就完毕了十一类应用题的教学任务。之后，儿童充结果只用一年时间就完毕了十一类应用题的教学任务。之后，儿童充足获得运算演绎推理式有关习题的时间和机会。二是引导儿童在同类足获得运算演绎推理式有关习题的时间和机会。二是引导儿童在同类习题的运算中，善于归纳出一般性的算术原理来。例如，通过让儿童习题的运算中，善于归纳出一般性的算术原理来。例如，通过让儿童计算计算 14=0.25，1*2/4*2=0.25=?获得分数性质。这样，不仅又快又获得分数性质。这样，不仅又快又好地使儿童领略分数性质，并且也使他们学到了归纳法。演绎和归纳好地使儿童领略分数性质，并且也使他们学到了归纳法。演绎和归纳是逻辑推理的重要形式，通过训练，实验班儿童较快地学会了自己提是逻辑推理的重要形式，通过训练，实验班儿童较快地学会了自己提出假设、验证假设，可以进行算术范围内的逻辑推理了。出假设、验证假设，可以进行算术范围内的逻辑推理了。(3)数学命数学命题题(判断判断)能力和空间想像能力的培养不是我们这次实能力和空间想像能力的培养不是我们这次实验的重点，但我们也加以注意了，特别是儿童的判断能力。我们酶实验的重点，但我们也加以注意了，特别是儿童的判断能力。我们酶实验班教师重视这样一条措施验班教师重视这样一条措施:在数学教学过程中在数学教学过程中;凡是碰到需要判断凡是碰到需要判断的机会，一定要启发儿童进行判断，教师不应代替，以发展他们的命的机会，一定要启发儿童进行判断，教师不应代替，以发展他们的命题题(判断判断)能力。所以我们实验班的课堂教学气氛是十分活跃的。能力。所以我们实验班的课堂教学气氛是十分活跃的。4、培养思维的独创性，发展发明性思维。、培养思维的独创性，发展发明性思维。发明性思维的特点具有独立性、发散性和新奇性。我们围绕这些发明性思维的特点具有独立性、发散性和新奇性。我们围绕这些特点采用如下措施特点采用如下措施:(1)加强培养儿童独立思考的自觉性，把独立思考的规定作加强培养儿童独立思考的自觉性，把独立思考的规定作 为低年级学习“常规”加以训练为低年级学习“常规”加以训练。(2)提倡“新奇性”，在解题中运用的方法越多越好，越独特越好，提倡“新奇性”，在解题中运用的方法越多越好，越独特越好，让儿童去挖掘解题的各种新方法。让儿童去挖掘解题的各种新方法。(3)突出地抓儿童自编应用题，以此突破难点，使儿童进一步理突出地抓儿童自编应用题，以此突破难点，使儿童进一步理解数量间的相依关系。我们教会实验班儿童十一种编题的方法解数量间的相依关系。我们教会实验班儿童十一种编题的方法:根据根据实物演示或操作编题实物演示或操作编题;根据调查访问编题根据调查访问编题;根据儿童生活实践编题根据儿童生活实践编题;根根据图画编题据图画编题;根据图解编题根据图解编题;根据实际的数字材料编题根据实际的数字材料编题;根据算术式题根据算术式题编题编题;仿照课本的应用题编题仿照课本的应用题编题;改编应用题改编应用题;根据应用撞的问题编题根据应用撞的问题编题;补补充题目缺少的条件或问题。这十一种编题的方法，大体分为两大类充题目缺少的条件或问题。这十一种编题的方法，大体分为两大类:前前 7 种为一类，反映编题过程规定抽种为一类，反映编题过程规定抽象概括的限度的差异性象概括的限度的差异性(以直觉以直觉编题十形象编题编题十形象编题+语词或数字编题语词或数字编题);后后 4 种为另一类，反映编题的过种为另一类，反映编题的过程，从模仿，通过半独立的过渡，最后发展到独立性编题的趋势。自程，从模仿，通过半独立的过渡，最后发展到独立性编题的趋势。自编应用题，体现了独立性、发散性编应用题，体现了独立性、发散性(每个学生儿乎编的题都有差异每个学生儿乎编的题都有差异)和和新奇性新奇性(每个学生都在按照自己的思绪对新异和困难的刺激提出决策每个学生都在按照自己的思绪对新异和困难的刺激提出决策)等思维独创性的特点。我们按照不同难易限度的编题方法，从一年级等思维独创性的特点。我们按照不同难易限度的编题方法，从一年级就开始练习，随着年级的递增，不断增长编题的难度，以培养儿童的就开始练习，随着年级的递增，不断增长编题的难度，以培养儿童的运算过程的独创性。运算过程的独创性。(三三)实验者的工作重点实验者的工作重点 我们这个研究与别的研究有一个突出的区别，就是不仅是测定被我们这个研究与别的研究有一个突出的区别，就是不仅是测定被试试者的心理及外部语言、行为的变化或分析其测验的结果，而是把重者的心理及外部语言、行为的变化或分析其测验的结果，而是把重点放在儿童思维品质的培养上，具体地关注着实验班教师对实验措施点放在儿童思维品质的培养上，具体地关注着实验班教师对实验措施的贯彻上。进行实验的单位认为我们在帮助他们培养的贯彻上。进行实验的单位认为我们在帮助他们培养数学骨干教师数学骨干教师。我们认为，培养教师的工作是我们对儿童思维能力及思维品质培。我们认为，培养教师的工作是我们对儿童思维能力及思维品质培养的前提。养的前提。我们的做法，除了上面提到的给实验班的教师讲授思维心理学，我们的做法，除了上面提到的给实验班的教师讲授思维心理学，组织集体备课，组织经验交流和进行观摩教学之外，每周还进一步实组织集体备课，组织经验交流和进行观摩教学之外，每周还进一步实验班听课。具体的做法是验班听课。具体的做法是:(1)对照实验措施，逐条检查实验班教师的教学内容、教学方法、对照实验措施，逐条检查实验班教师的教学内容、教学方法、课堂组织、时间安排，甚至于教态。课后，肯定实验措施贯课堂组织、时间安排，甚至于教态。课后，肯定实验措施贯彻的方面，彻的方面，指出在贯彻实验措施中的局限性。发现突出的教法，立即组织观摩课，指出在贯彻实验措施中的局限性。发现突出的教法，立即组织观摩课，及时在实验班教师中推广。及时在实验班教师中推广。(2)根据实验措施，逐条观测并记录儿童的反映根据实验措施，逐条观测并记录儿童的反映:a、练习对的、练习对的率和速度率和速度;b、对于各类习题，特别是多解或多变习题、推理习题、对于各类习题，特别是多解或多变习题、推理习题、规定自编应用题的习题的反映规定自编应用题的习题的反映(如举手发言的人数、课堂活跃的限如举手发言的人数、课堂活跃的限度度)，解题方法和水平，解题方法和水平;c、对于解题时思绪的自述、对于解题时思绪的自述(有时指定儿童写有时指定儿童写下当时思考的过程下当时思考的过程)，等等。我们将这些记录及时整理，以便及时总，等等。我们将这些记录及时整理，以便及时总结儿童在思维品质发展中思维活动的共同特性结儿童在思维品质发展中思维活动的共同特性;及时发现教及时发现教 师在培师在培养儿童思维品质中的成功经验与局限养儿童思维品质中的成功经验与局限性之处，可以调整讲课的方式方性之处，可以调整讲课的方式方法。法。(3)进一步控制实验班的实验因素，例如，不准增长练习量，进一步控制实验班的实验因素，例如，不准增长练习量，这这是检查实验效果的一个重要方面，理由是是检查实验效果的一个重要方面，理由是:a、假如实验班增长练习、假如实验班增长练习量，就是增长实验的附加变量，使实验效果难以检查量，就是增长实验的附加变量，使实验效果难以检查;b、我们实验、我们实验的一个重要目的，在于“提高教学质量，减轻学生承担”，因此，除的一个重要目的，在于“提高教学质量，减轻学生承担”，因此，除了一年级的实验班留少量的课外作业，以便培养学习常规外，二至五了一年级的实验班留少量的课外作业，以便培养学习常规外，二至五年级，力求当堂的作业课上所有完毕年级，力求当堂的作业课上所有完毕(大部分随堂批改，以做到“及大部分随堂批改，以做到“及时强化”时强化”)。课下不留一道作业题，也不用给学生补课来提高实验班。课下不留一道作业题，也不用给学生补课来提高实验班的成绩的成绩(除个别智力缺陷者之外除个别智力缺陷者之外)。(4)实验者也进一步到控制班课堂，作一般性观测，以便发现控实验者也进一步到控制班课堂，作一般性观测，以便发现控制班制班控制控制的情况，也对有关教师作一些教学法的指导，但原则上的情况，也对有关教师作一些教学法的指导，但原则上但是多地提意见。但是多地提意见。(四四)指标的拟定指标的拟定 数学能力的测定，有无客观的指标数学能力的测定，有无客观的指标?我们在自己的研究中作了我们在自己的研究中作了肯定的回答。肯定的回答。1 1、测定思维灵敏性。、测定思维灵敏性。以速度与对的度为指标，求出时间与对的率，拟定对的一迅速，以速度与对的度为指标，求出时间与对的率，拟定对的一迅速，对的一不迅速，不对的一迅速，不对的一不迅速的四种类型。对的一不迅速，不对的一迅速，不对的一不迅速的四种类型。时间记录是一项较难的工作，我们计时的方法是时间记录是一项较难的工作，我们计时的方法是:(1)给定一定数给定一定数量的习题，记下每个被试者完毕的时间，量的习题，记下每个被试者完毕的时间，求出不同班次求出不同班次(实验班或控实验班或控制班制班)的平均时间的平均时间;(2)给定一定期间，记录完毕结果给定一定期间，记录完毕结果;(3)给定一定数量给定一定数量的习题，规定几个计分段，例如，的习题，规定几个计分段，例如，4 分钟以内完毕，分钟以内完毕，4.5 分钟、分钟、5 分钟、分钟、5.5 分钟、分钟、6 分钟最慢的是几分钟，记下每个时间内完毕者的人分钟最慢的是几分钟，记下每个时间内完毕者的人次，算出比例，以便比较。次，算出比例，以便比较。2 2、测定思维灵活性。、测定思维灵活性。以一题多解的解法数、一题多变的变化数为客观指标，从四个以一题多解的解法数、一题多变的变化数为客观指标，从四个方面来进行测定方面来进行测定:(1)多解或“发散”的限度，例如，一解为一分多解或“发散”的限度，例如，一解为一分(这是在量上记录这是在量上记录)。(2)伸缩与精细的限度，例如“伸缩与精细的限度，例如“1=?”，加、减、乘、除四则运算，”，加、减、乘、除四则运算，分数等，也许出现不同的类型，反映了“质”的区别，规定记录类型、分数等，也许出现不同的类型，反映了“质”的区别，规定记录类型、等级等级(这是在质上记录这是在质上记录)。(3)迁移的水平，例如运用法则达成多解的限度。迁移的水平，例如运用法则达成多解的限度。(4)组合分析的水平，对较复杂的习题，求出另解、二解、三解，组合分析的水平，对较复杂的习题，求出另解、二解、三解，每解一题，必须找出一个新的每解一题，必须找出一个新的交结点交结点，进行重新组合分析。，进行重新组合分析。3 3、测定思维深刻性。、测定思维深刻性。以完毕下列五个方面逻辑抽象试题的成绩以完毕下列五个方面逻辑抽象试题的成绩(原则上满分为原则上满分为 100分，每个方面各分，每个方面各 20 分分)为指标。在小学生运算范围内，拟定具体的指为指标。在小学生运算范围内，拟定具体的指标是标是:(1)数学概括能力数学概括能力(规定不超过有理数的范围规定不超过有理数的范围)的测定有三项指标的测定有三项指标:对对数的实际意义的结识数的实际意义的结识;数的顺序和大小的理解数的顺序和大小的理解;进行数的分解组合进行数的分解组合的能力的能力(见上述的例子见上述的例子).(2)空间想像能力的测定也有三项指标空间想像能力的测定也有三项指标:对的地画出图形对的地画出图形(例如，例如，规定对的画出梯形、圆柱、圆锥体等各类图形，这是空间想像力的基规定对的画出梯形、圆柱、圆锥体等各类图形，这是空间想像力的基础础);各类几何体的面积、体积的计算各类几何体的面积、体积的计算;对变式的图形对变式的图形(例如将直角三角例如将直角三角形的直角部位朝上或斜躺形的直角部位朝上或斜躺)的对的判断。的对的判断。(3)数字命题能力有两种测定指标数字命题能力有两种测定指标:对的判断算术的性质、公式及对的判断算术的性质、公式及结论性的原理结论性的原理(例如，通过等式的计算，概括出上边提到的分数性质例如，通过等式的计算，概括出上边提到的分数性质);能否正、逆运算能否正、逆运算(事实上是拟定命题、逆命题、否命题、逆否命题在事实上是拟定命题、逆命题、否命题、逆否命题在算术范围内的关系及其算术范围内的关系及其运算运算)o (4)推理能力的测定是以完毕三种类型试题的范围和限度为指推理能力的测定是以完毕三种类型试题的范围和限度为指标标:归纳算式运算归纳算式运算;演绎运算演绎运算;类比推理类比推理(例如，在学习比例性质时，规例如，在学习比例性质时，规定儿童通过将除法、分数和比例进行比较，根据除法性质和分数性质，定儿童通过将除法、分数和比例进行比较，根据除法性质和分数性质，推导出比例的性质推导出比例的性质)的能力。的能力。(5)运用法则能力的测定，以完毕数字和文字两类形式的互换运用法则能力的测定，以完毕数字和文字两类形式的互换律、结合律、分派律三种习题的成绩为客观指标。律、结合律、分派律三种习题的成绩为客观指标。4 4、测定思维独创性。、测定思维独创性。以自编应用题的数量为指标，从两个方面进行测定以自编应用题的数量为指标，从两个方面进行测定:(l)测定直觉测定直觉编题十形象编题韦语词或数字编题的水平、限度编题十形象编题韦语词或数字编题的水平、限度;(2)测定模仿编题测定模仿编题+半独立编题丰半独立编题丰独立编题的水平、限度。独立编题的水平、限度。但试题的编制中必须注意两点但试题的编制中必须注意两点:一是所涉及的难度，即数学知一是所涉及的难度，即数学知识的范围，对每种类型的编题应当是一致的识的范围，对每种类型的编题应当是一致的;二是所涉及到的数字大二是所涉及到的数字大小，对每种类型的编题也应当是一致的。这样能较客观地反映出被试小，对每种类型的编题也应当是一致的。这样能较客观地反映出被试者在自编应用题的“发明”活动中的独立性、发散性和新奇性。者在自编应用题的“发明”活动中的独立性、发散性和新奇性。我们认为，这是一套客观易行的测定小学生数学能力的验证方法我们认为，这是一套客观易行的测定小学生数学能力的验证方法和测定指标，它能比较完整地测定小学生在运算中思维的个性特性，和测定指标，它能比较完整地测定小学生在运算中思维的个性特性，即思维的智力品质。即思维的智力品质。(五五)试题的制订试题的制订 根据上述的指标，我们编制了大量的试题，通过多次的根据上述的指标，我们编制了大量的试题，通过多次的筛选筛选，最后拟最后拟定了小学生思维品质的测定题目。定了小学生思维品质的测定题目。这里会产生一个问题这里会产生一个问题:我们的指标及其指导下编拟的试题是否客我们的指标及其指导下编拟的试题是否客观、可靠和对的地测得被试者的思维品质，这要考虑到信度和效度。观、可靠和对的地测得被试者的思维品质，这要考虑到信度和效度。1、信度，即测定的也许性。一个信度高的思维品质的测定，在、信度，即测定的也许性。一个信度高的思维品质的测定，在先后反复测定实验班与控制班的思维品质时，测定的手续与记分方法先后反复测定实验班与控制班的思维品质时，测定的手续与记分方法相同，所得的分数前后一致。我们在实验班和控制班多次测定运算思相同，所得的分数前后一致。我们在实验班和控制班多次测定运算思维的四个智力品质时，其相关系数维的四个智力品质时，其相关系数(r)是：是：(1)两次测定速算成绩，实验班，两次测定速算成绩，实验班，r=0.66，控制班，控制班 r=0.63;(2)三次测定一题多解成绩，实验班三次测定一题多解成绩，实验班 r=0.74(第一、二次相关第一、二次相关),r=0.71(第二、三次相关第二、三次相关)，控制班，控制班 r=0.69,r=0.66;(3)两次测定深刻性习题成绩，实验班两次测定深刻性习题成绩，实验班 r=0.69，控制班，控制班 r=0.64;(4)三次测定自编应用题成绩，实验班三次测定自编应用题成绩，实验班 r=0.71，r=0.77，控制班，控制班r=0.62,r=0.69。可见，我们的试题的制订及测定的结果有较高的信度。可见，我们的试题的制订及测定的结果有较高的信度。2、效度，即测定的对的性。一个效度高的思维品质测定的结果，、效度，即测定的对的性。一个效度高的思维品质测定的结果，必须是该测定所希望得到的结果。我们将实验班儿童的每个思维品质必须是该测定所希望得到的结果。我们将实验班儿童的每个思维品质都提成四等都提成四等:灵敏性灵敏性:对对的一迅速，对的一不迅速，不对的一迅速，不对的一的一迅速，对的一不迅速，不对的一迅速，不对的一不迅速不迅速;灵活性灵活性:灵活、较灵活、不太灵活、果板灵活、较灵活、不太灵活、果板;深刻性深刻性:逻辑抽象性强，逻辑抽象性较强，逻辑抽象性不太强，逻辑抽象性强，逻辑抽象性较强，逻辑抽象性不太强，非要直观支柱才干演算习题非要直观支柱才干演算习题;独创性独创性:发明力强，发明力较强，看不出有什么发明力，死板。发明力强，发明力较强，看不出有什么发明力，死板。我们让五年级实验班教师在测定前按其平时印象对每个被试者我们让五年级实验班教师在测定前按其平时印象对每个被试者的四个思维品质作出评价，随后求出同上述实验结果的相关系数的四个思维品质作出评价，随后求出同上述实验结果的相关系数:灵灵敏性敏性 r 0.60，灵活性，灵活性 r=0.73，深刻性，深刻性 r=0.62，独创性，独创性 r 0.68。可见，我们试题的制订及测定的结可见，我们试题的制订及测定的结果有较高的对的性。果有较高的对的性。通过适当通过适当筛选筛选，就为正式测定准备了一套测定的指标和试，就为正式测定准备了一套测定的指标和试题，即用速度测定儿童思维的灵敏性题，即用速度测定