我国既有多层住宅加装电梯费用分摊的合作博弈模型及其公理化刻画.pdf

第 卷第 期运 筹 与 管 理 ，年 月 收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（）作者简介：单而芳（），通讯作者，男，河北石家庄人，教授，博士生导师，研究方向：图上合作博弈，图论及其应用；于志强（），男，山东临沂人，硕士研究生，研究方向：具有联盟结构的合作博弈；吕文蓉（），女，山东济南人，博士研究生，研究方向：图上合作博弈；聂珊姗（），女，安徽合肥人，硕士研究生，研究方向：图上合作博弈。我国既有多层住宅加装电梯费用分摊的合作博弈模型及其公理化刻画单而芳，于志强，吕文蓉，聂珊姗（上海大学 管理学院，上海 ）摘要：本文结合我国当前城市既有多层住宅加装电梯费用分摊问题的实际，引入了具有联盟结构的赋权合作博弈模型。在该类博弈中，参与者将依据现实情况进行结盟，形成所谓的“优先联盟”。在此基础上，提出了被称为权分值的分摊规则，并证明了它可以由可加性、联盟内比例对称性、联盟间比例对称性和空化参与者性四个公理唯一确定。作为这个合作博弈模型的应用，本文将我国城市既有多层住宅加装电梯费用分摊问题可归结为具有联盟结构的赋权合作博弈模型，其中业主为参与者，而每一层的参与者们可看作一个优先联盟。当取适当的权值时，该分摊规则涵盖了我国大部分城市出台的既有多层住宅加装电梯业主费用分摊的指导标准，这为这些标准的完善、推广和实施提供了合理的理论依据。关键词：合作博弈；分配规则；联盟结构；权分值；既有多层住宅；加装电梯中图分类号：文章标识码：文章编号：（）：，（，）：（），（），（），（，），“”，“”，（，）：；引言当前，我国老龄化问题愈来愈突出，如何提升老年人的生活品质已成为我国面临的一个重要的社会问题。世纪八、九十年代，我国在城市化进程中建造了大量多层住宅，迫于技术和资金的压力，其中有相当一部分未安装电梯。上海市是全国最早进入老龄化且老龄化程度最深的城市之一。为方便老年人出行，上海市近年来加速推进全市既有多层住宅加装电梯工作进程，在 年出台了 关于进一步做好本市既有多层住宅加装电梯工作若干意见（简称 意见），在 年又接连出台了 既有多层住宅加装电梯业主出资比例指导标准 （简称 标准）以及 进一步明确本市既有多层住宅加装电梯审批管理等要求，可见上海市政府对此项举措力度之大。另外，我国其他地区和城市也相继推出了一些具体政策，逐步加大了这项“民心工程”的推进力度。国内学者对既有住宅加装电梯问题进行了一定研究。研究主要集中在可操作性 、必要性和难点 、成本分析 以及冲突分析 上。然而，在实际中，该问题难于推进的主要原因是业主之间的费用分摊问题，而文献对如何在业主间进行费用分摊的研 究 较 少，缺 少 恰 当 的 理 论 依 据。白 芙 蓉等 通过全寿命周期费用估算模型来计算电梯的加装费，并认为费用分摊应纳入补偿原则。刘晓君和孙勇凯 基于投资报酬理论，提出了用合作博弈中的 值计算成本分摊的方法。但目前这些理论方法在实际中缺少可操作性、缺乏实际应用场景。经典的可转移效用的合作博弈模型，简称 博弈 ，它假定所有参与者之间都能够进行合作，形成可行联盟。博弈的主要研究内容是大联盟效用的分配问题，值是 博弈中一个经典的分配规则，在涉及利益分配或者费用分摊的实际问题中具有广泛的应用 。然而，在某些实际问题中合作往往受到许多因素的约束，例如地域、文化、组织结构等，这些因素使得某些联盟并不能真正形成，导致经典 博弈模型不一定适合所面临的实际问题，这样 值便失去了合理性。为此，我们经常需要加入联盟结构来描述这些约束。和?构建了具有联盟结构的 博弈模型，该模型依据现实情况将参与者集分割成多个优先联盟，每个参与者只属于唯一的一个优先联盟。和 ，以及 等 均研究了具有联盟结构的 博弈中等分值和等分剩余值运 筹 与 管 理 年第 卷的公理化刻画问题，后者更是讨论了两个值的应用。单而芳等 、等 以及 等 则沿用两个值的分配思想，分别对平均树解、值以及 值做出有效推广。本文结合我国既有多层住宅加装电梯问题的实际，在 模型的基础上，提出了具有联盟结构的赋权合作博弈模型，这一模型推广了 等 提 出 的 模 型。在 该 模 型中，每个参与者和优先联盟均被赋予相应的权重，且规定只有属于同一优先联盟内的参与者才能够进行合作。然后在此模型上引入一种费用分摊规则，也即权分值，并利用可加性、联盟内比例对称性、联盟间比例对称性和空化参与者性四个公理给出了该费用分摊规则的公理化刻画，这些公理从不同侧面反映了分摊规则的特征。基于加装电梯问题实际，由于不同楼层业主对电梯的需求不同以及对利益的诉求不同，我们可将住宅每一层的业主们作为一个优先联盟，各业主看作参与者，这样，既有多层住宅加装电梯问题便可归结为一个具有联盟结构的赋权合作博弈模型，而权分值便可作为加装电梯的费用分摊方案。此外，结合上海市既有多层住宅加装电梯的实例，说明了当取特殊的权值时，权分值恰好与 标准 中的费用分摊方式一致，这为 标准 的实施提供了合理的理论依据。实际上，权分值为既有多层住宅加装电梯的费用分摊问题提供了更多可能的选择，这为我国不同地区推进既有多层住宅加装电梯的费用分摊问题提供理论保障。最后，本文将结合 标准 中给出的各楼层分摊比例指导区间，以上海市既有多层住宅加装电梯为例，运用权分值进行实例计算和分析。本文剩余部分内容安排如下：第二节将介绍本文需要的一些基本定义和记号。第三节提出权分值的概念，并给出其公理化刻画。第四节将参考 标准 中的内容，运用权分值进行实例分析，并给出一些注记。预备知识 博弈可转移效用的合作博弈模型，简称 博弈，由二元组（，）组成，其中（，）表示参与者（）的集合，叫做特征函数，定义在 的所有子集上，表示从集合 ：到实数 的一个映射，即 ：。（）表示联盟 内成员进行合作所产生的收益或者待摊的费用，称为联盟 的效用（），且规定 （）。我们把定义在 上所有 博弈的集合记为。为了方便起见，本文将参与者 简写为 ，（，）简写为（，）。博弈的一个重要研究内容是大联盟收益（费用）（）的 分 配（分 摊）问 题。在 博 弈（，）中，（，）表示一个支付向量（），其中 表示分配给第 个参与者的支付。博弈的一个单值解（）定义为一个函数：，也即分配给博弈（，）的一个支付向量，这个解就是通常所说的分配规则（），并且我们规定：（，）（）（）在合作博弈理论中，最著名的两个分配规则为 值和等分值 ，。对任意 博弈（，），等分值（，简记为 值）的定义为：（，）（）。具有联盟结构的赋权合作博弈模型我们用（），表示一个联盟结构，它是对大联盟 的一个划分，也即 ，且 ，这里 ，。每个称为一个优先联盟，而每个参与者只属于唯一的优先联盟中，同一优先联盟内的参与者具有优先交流权。用 表示 （）内优先联盟的个数。为了简便，本文以下部分将 （）简写为 。具有联盟结构的赋权合作博弈模型由三元组（，）组成，其中（，），代表一个联盟结构，该模型下，我们分别用，表示参与者 及优先联盟 被赋予的权重，我们记 上所有具有联盟 结 构 的 赋 权 合 作 博 弈 的 集 合 为。任 选（，），我们用二元组（，）表示对应的商博弈模型，其中特征函数 定义为：（）（）（），。可以看出，商博弈其实是将各个优先联盟作为“参与者”的 博弈模型。对称参与者和对称联盟在合作博弈中，对称的概念最早出现在 第 期单而芳，等：我国既有多层住宅加装电梯费用分摊的合作博弈模型及其公理化刻画值的刻画中 ，用来表示两个地位相同的参与者。后续本文对权分值的刻画用到两个对称的概念，具体表述如下：对称参与者：任选（，），若对任意的 ，参与者 ，均满足：（）（），则称参与者 ，为对称参与者。对称联盟：任选（，），若对任意的 ，优先联盟，均满足：（）（）（）（），则称优先联盟，为对称联盟。权分值及其公理化刻画本节将讨论具有联盟结构的赋权合作博弈中的费用分摊问题。等分值是将大联盟的待摊费用均分给每个参与者的一种分摊方式。显然，等分值不适用于我国既有多层住宅加装电梯的实例。为更好的贴合实际，本节将等分值推广到参与者加权的情形，定义并刻画了一种赋权等分值，也即权分值。权分值权分值实质为一两阶段值，它首先将大联盟的待摊费用 （）在优先联盟间进行分配，其次在优先联盟内进行再分配。结合加权的思想，我们给出权分值的定义：权分 值（，简 记 为 值）：任选（，），权分值定义为：（，）（）（）不难看出，当层内采用均分的方式时，即，时，权分值的表达式变为：（，）（），若将每个优先联盟 恰好对应于“既有多层住宅的各层”（除第一层外），当“层权”取适当值时，值将恰与上海市既有多层住宅加装电梯的费用分摊方式一致（见第 节）。下面我们对一般形式即（）式进行公理化刻画。权分值的公理化刻画为了刻画权分值，我们首先给出几个性质：可加性（，简记为 ）：任选（，），若 满足：（，）（，）（，），则称 具有可加性。联盟内比例对称性（，简记为 ）：任选（，），若参与者 ，为对称参与者，则联盟内比例对称性要求：（，）（，）。联盟间比例对称性（，简记为 ）：任选（，），联盟间比例对称性要求对于一切对称优先联盟 ，均有：（，）（，）。空化参与者性（，简记为 ）：任选（，），若参与者 均满足 （），则空化参与者性要求：（，）。定理 任选（，），权分值是唯一满足可加性，联盟内比例对称性，联盟间比例对称性和空化参与者性的分配规则。应用案例分析本节以上海市既有多层住宅加装电梯为背景，给出与之对应的具有联盟结构的赋权合作博弈模型，并运用权分值进行算例分析。上海市房屋管理局在 标准 中给出了上海市既有多层住宅加装电梯不同楼层业主的出资指导区间，在层内默认为均分的方式。但在实际生活中，由于层内各户 的建筑面积不同，距离电梯井的远近不同，同层的业主们可能不同意层内均分的分摊方式。本节将综合考虑这些因素，并参考 意见 和 标准 中的相关内容，应用 值进行案例计算与讨论。加装电梯案例分析我们以上海市某既有四层住宅为例进行讨论，其他既有多层可做类似讨论。问题导入：考虑一幢有四层楼的既有住宅，根据 标准 的内容，一层的业主不参与加装电梯费用的分摊，剩下三层各户的建筑面积如表 所示。我们考虑平层入户以及错层入户两种安装电梯的方式。根据 意见 的内容，在上海市既有住宅加装电梯的费用中，政府将补贴 ，且最高限额已提高至 万，我们按照政府的最高补贴额计算业主的费用分摊总额（）（万）。运 筹 与 管 理 年第 卷表 建筑面积明细表（）四层三层二层 参照表 的内容，我们可将同层的业主们归结为一个优先联盟，将楼内各户按照“从左往右，从下到上”的顺序依次命名为参与者 。由此，上述算例可归结为一个具有联盟结构的赋权合作博弈模型，其中 ，（），联盟结构如图 所示。图 联盟结构下面利用 值计算费用分摊明细，其中我们参考 标准 中给出的出资指导区间，根据指导区间的中位数确定每层的权重，对于层内的分摊方式，有两种方案：方案 层内平均分摊，结果如表 所示。表 方案 分摊明细（元）楼层权重每层分摊每户分摊平层入户 ，错层入户 ，方案 层内按权重分摊。影响同层业主权重的因素有很多，例如建筑面积、距离电梯井远近、住户人数等，本文将仅考虑建筑面积这一因素，并认为 与建筑面积成正比。例如，参与者 的住宅的建筑面积为 ，其权重 （），计算结果如表 所示。表 方案 分摊明细（元）楼层权重（层）每层分摊权重（户）每户分摊平层入户 ，错层入户 ，几点注记（）从算例可以看出，分摊方案 恰好与上海市既有住宅加装电梯的费用分摊方式一致。分摊方案 对应的权分值考虑了费用层内加权分摊的情形，该方案在广州市实施的既有住宅增设电梯费用分摊中已有应用，并与 广州市既有住宅增设电梯办法 中第八条吻合。（）在 案 例 中，我 们 定 义 的 联 盟 结 构 为，即将每一层定义为一个优先联盟，原因在于同层的业主（参与者）通常有相同的利益诉求，他们之间存在天然的合作关系。（）本文仅依据各户的建筑面积来确定权重，稍欠合理。事实上，此权重的确定需要综合多种因素，除文中提到的建筑面积、距离电梯井远近以及住户人数等可以实际测算的量，还包括业主对隐私保护的重视程度、以及对加装电梯的亟需程度等难以测度的量。（）不难发现，在两种加装方式费用相同的条件下，以方案 的方式，位于二层的业主们在错层入户下将分摊到更少的费用，而位于四层的业主们则在平层入户下有更少的分摊费用，这也解释了业主们为何会因电梯的加装方式产生纠纷。（）最后，权分值还可应用于企业绩效奖金分配、股票派息以及其他利民设施（水井、监控、健身器械等）的建设费用分摊中。第 期单而芳，等：我国既有多层住宅加装电梯费用分摊的合作博弈模型及其公理化刻画参考文献：上海市房屋管理局 关于公布既有多层住宅加装电梯业主出资比例指导标准 上海：上海市房屋管理局，罗才育 关于老旧楼加装电梯的可行性分析 装备维修技术，（）：王黎斌，周俊坚，沈立群 现有建筑加装电梯浅底坑技术风险分析 设备管理与维修，（）：白建昌 既有建筑加装电梯技术研究现状 中国电梯，（）：董乐明 老旧小区加装电梯存在的主要问题及对策分析 经济研究导刊，：俞庆彬 既有多层住宅加装电梯施工成本管理研究 工程经济，（）：蹇岚，吕龙，杨祖贤，等 昆明市老旧小区增设电梯之困境及应对策略 价值工程，（）：白芙蓉，邵慧，曾天浩 既有多层住宅建筑增设电梯费用模型构 建 与 应 用 建 筑 经 济，（）：刘晓君，孙勇凯 老旧住宅加装电梯住户间费用分摊补偿研究 数 学 的 实 践 与 认 识，（）：，：，单而芳，梁莉敏，张广 基于限制博弈的具有容量限制的易腐品联合运输费用分摊问题 中国管理科学，（）：南江霞，王盼盼，李登峰 非合作 合作两型博弈的 值纯策略纳什均衡解求解方法 中国管理科学，（）：王大澳，菅利荣，王慧 基于限制合作博弈的产业集群企业利益分配研究 中国管理科学，（）：王先甲，刘佳 基于合作博弈模型的公共河流水资源分配方案研究 中国管理科学，（）：，?，（）：，（）：，：单而芳，谢娜娜，张广 基于平均树值的无圈图博弈有效解 运筹与管理，（）：，（）：，（）：，：，：，：运 筹 与 管 理 年第 卷