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Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(1),70-75 Published Online January 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.131009 文章引用文章引用:马郡梓,冷旭东,班子涵.N 股 Montesinos 纽结的着色 Jones 多项式J.应用数学进展,2024,13(1):70-75.DOI:10.12677/aam.2024.131009 N股股Montesinos纽结的着色纽结的着色Jones多项式多项式 马郡梓马郡梓，冷旭东冷旭东*，班子涵，班子涵 辽宁师范大学数学学院，辽宁 大连 收稿日期：2023年12月10日；录用日期：2024年1月5日；发布日期：2024年1月12日 摘摘 要要 本文运用纽结三价图计算了当本文运用纽结三价图计算了当4n 时，时，n股股Montesinos纽结的着色纽结的着色Jones多项式。算法的关键是构造从多项式。算法的关键是构造从 图到图到n股股Montesinos纽结的三价图变换过程，该算法与纽结的三价图变换过程，该算法与3n=的情况有着本质不同。的情况有着本质不同。关键词关键词 着色着色Jones多项式，纽结三价图，多项式，纽结三价图，Montesinos纽结纽结 The Colored Jones Polynomial of N-String Montesinos Knots Junzi Ma,Xudong Leng*,Zihan Ban School of Mathematics,Liaoning Normal University,Dalian Liaoning Received:Dec.10th,2023;accepted:Jan.5th,2024;published:Jan.12th,2024 Abstract In this paper we calculate the colored Jones polynomial of n-string Montesinos knots for 4n using knotted trivalent graphs.The key point of the algorithm is to construct the operations from a graph to a Montesinos knot,and the algorithm has essential difference with the case 3n=.Keywords Colored Jones Polynomial,Knotted Trivalent Graph,Montesinos Knot *通讯作者。马郡梓 等 DOI:10.12677/aam.2024.131009 71 应用数学进展 Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 纽结可看作1S在3E中的嵌入，它的分类问题是三维流形中的重要课题，而多项式不变量在这其中发挥了重要作用。1984 年，V.Jones 1在算子代数的研究中意外发现了著名的 Jones 多项式，作为它的推广，着色 Jones 多项式(colored Jones polynomial)在 1986 年 E.Witten 2运用拓扑量子场论率先发现，后由N.Reshetikhin 等人3给出其数学上严格的定义：一般地，对任一半单复李代数 g，对其泛包络代数进行形变从而得到对应的量子群，它上面存在一种特殊的 Hopf 代数结构使得人们能够通过表示论构造相应的纽结不变量。当2gsl=，取 N 维表示时，对应着色 Jones 多项式。这种由量子群构造不变量的方法具有重要理论意义，但其具体计算往往复杂。对于着色 Jones 多项式，R.van der Veen 等人4率先采用纽结三价图(knotted trivalent graph，下文简称 KTG)针对三股排叉结的情形进行了计算，其算法大意如下：着色Jones 多项式可以推广到 KTG 上，而纽结可看作是一种特殊的 KTG，且任一 KTG 可由图经过三种基本变换得到，所以只要利用着色 Jones 多项式在这三种 KTG 变换下的变换公式，就能得到相应纽结的着色 Jones 多项式。本文的目的就是运用这种方法得到 n 股 Montesinos 纽结(4n)的着色 Jones 多项式，而该算法的核心部分与3n=的情况5有着本质不同，并不能看作后者的简单推广。2.预备知识预备知识 定义定义 2.1 1)一个标价图是一个一维单纯复形连同其嵌入，其中是一个带边曲面，且此嵌入的像是的脊(spine)。2)一个纽结三价图(KTG)是一个嵌入在3?里的三价标架图(作为曲面)。3)设是一个纽结三价图，()E 是它的所有边组成的集合，V 是它所有顶点组成的集合。一个的允许着色是一个映射():E?，其中vV，其中,vvva b c是顶点 v 相邻的三个着色满足如下两个条件：vvvabc+是偶数。,vvvvvvvvvabcbcacab+(三角不等式)。纽结三价图的特点在于其上存在一些有用的变换。这里我们主要用到如下三种变换:扭转Fe，分裂eU和三角变换A，如图 1，在边 e 上进行扭转 F 和分裂 U，在顶点上进行三角形变换A。引理引理 2.1 6任意一个纽结三价图都可以由图通过反复运用扭转，分裂和三角变换而得到。由此，我们一旦定义了图的着色 Jones 多项式，并且能描述它如何随着以上三个变换而变换，那我们就能定义任意一个纽结三价图的着色 Jones 多项式。定义定义 2.2 4一个带有允许着色的纽结三价图的着色 Jones 多项式,是由如下关于图和KTG 变换的公式定义的。22;,222a b cabca b coabcabcabc+=+，Open AccessOpen Access马郡梓 等 DOI:10.12677/aam.2024.131009 72 应用数学进展 Figure 1.Operations on KTGs 图图 1.纽结三价图上的三种变换 ()()()1,eFfe=，()()()()()(),;,eeeOUebd=，()(),Aa b c =.其中对称多项式系数定义如下：1212121!,!rrrraaaaaaa aaaa+=?，量子整数定义为 2222,!11kkvvkkkkvv=?.k-着色的平凡结的 Jones 多项式定义如下：()11,kkOkO k=+=.扭转变换 f 定义如下：()()()1221aa af av+=.在分裂变换的公式中，求和的范围是取尽被分裂的边 e 的所有可能的允许着色(由()()()(),ebd之间的三角不等式推出)。()()()21222,1222211za b czabcabcabcza b cabcabczzz +=+，其中，求和指标 z 的取值范围由二项式系数给出，且有 !nnkknk=.特别地，一个纽结是一个没有顶点的 0-标架(0-framed)纽结三价图。这里我们将纽结 K 的着色 Jones多项式重新定义为()()11,nKJnK n+=，其中 n 是纽结 K 的单独边上的着色，且()1n是用来将平凡结马郡梓 等 DOI:10.12677/aam.2024.131009 73 应用数学进展 的值规范成()OJnn=。3.Montesinos 纽结的着色纽结的着色 Jones 多项式多项式 Montesinos 纽结是一类具有代表性的纽结，它由若干个有理缠结(rational tangle)排成一圈相连生成，本文我们研究 n 股 Montesinos 纽结()120001122,nmmmnnKMrrrrrr=?，如图 2。Figure 2.Montesinos knot 图图 2.Montesinos 纽结 定理定理 3.1 设 K 是 Montesinos 纽结()120001122,nmmmnnMrrrrrr?，其中4n，12,1nm mm?，则 K 的着色 Jones 多项式为()()()()()()()12121111122000000001201221112000201120000001122111,;,;,mmmmmmnnijkjjikiknnijkijknnnrrrrrrnKnnnnnnnnnnJnf nOOn n n aan n n aaaaa +=+=?()()()()()()()()02030312121200212000200000033412312300033411111111220001200,;,;,nnjkinnnmmmiijjkknnijkmmrrrijijOn n n aaan n naaaa n n an nan n an nan n an nfafaf+=?()121212000012;,;,;,jkinnnijknaaammmmknijkkijkaaanOOOaa n nan nan n=?其中jia，0i都是偶数且满足：()00000113,5,2iiiiiaain+=?，00000111nnnnnaaaa+，()021,2,;1,2,imjian in jr=?.证明：证明：如图 3，注意，图中没有被标记着色的边默认用 n 着色。从图开始，我们先在两个顶点处各做一个三角变换得到图2，且有()20000002123123,;,aan n naa=.马郡梓 等 DOI:10.12677/aam.2024.131009 74 应用数学进展 在2的两个三角形的右侧顶点分别做一次三角变换得到图3，再对03进行分裂得到图4，且有()200033342,n n n a=。030343000334;,Oa=然后对最右侧的两个顶点做三角变换，再对04进行分裂，依次做下去得到图n，则有 (a)(b)(c)(d)Figure 3.Operations from a graph to a Montesinos knot 图图 3.从图到 Montesinos 纽结的变换 马郡梓 等 DOI:10.12677/aam.2024.131009 75 应用数学进展 ()()()()0012001203032000110000001122120002000221334000334200001231,;,;,;,;,nnnnnnnnnnnnnnnnnOOn n n aaaaaOn n n an n n aaaan n naa =?0023,在n中每个0ia所在边的下顶点进行imr次三角变换得到图n，同时有()()()121111111122000,nmmmiijjkknnnnijka n n an nan n an nan n an n+=?.然后在n中对对每个被标记的边做相应的扭转，最后对这些扭转的边做分裂变换就得到了纽结 K。注意对一个扭转的边做一个分裂变换会生成两个扭转的边，且两个边保持相同的扭转数。需要注意的是，为了得到 Montesinos 纽结的着色 Jones 多项式，我们需要消去由变换产生的标架()F K和由拧数产生的标架()writhe K。()1212000nmmmijknijkF Krrr=+?，()()()()1211112000111nmmmijkijknijkwrithe Krrr+=+?.所以最终的结果应该乘上因子()()()22F Kwrithe Kf n。我们看到，在4n 的情形中，运用纽结三价图计算着色 Jones 多项式需要通过更多的三角和分裂变换引入一类新的指标0i，这与3n=的情形有着本质不同，故这一算法的计算效率有待进一步研究。此外，我们注意到 S.Garoufalidis 等人7为了处理此类4n 的情形采用了聚变(fusion)和拆接(skein)理论的方法。基金项目基金项目 国家自然科学基金项目(12001255)。参考文献参考文献 1 Jones,V.F.(1985)A Polynomial Invariant for Knots via Von Neumann Algebras.Bulletin of the American Mathemat-ical Society,12,103-111.https:/doi.org/10.1090/S0273-0979-1985-15304-2 2 Witten,E.(1989)Quantumfield Theory and the Jones Polynomial.Communications in Mathematical Physics,121,351-399.https:/doi.org/10.1007/BF01217730 3 Reshetikhin,N.and Turaev,V.G.(1991)Invariants of 3-Manifolds via Link Polynomials and Quantum Groups.Inven-tiones Mathematicae,103,547-597.https:/doi.org/10.1007/BF01239527 4 Lee,C.R.S.and van der Veen,R.(2016)Slopes for Pretzel Knots.The New York Journal of Mathematics,22,1339-1364.5 Leng,X.,Yang,Z.and Liu,X.(2019)The Slope Conjectures for 3-String Montesinos Knots.The New York Journal of Mathematics,25,45-70.6 Thurston,D.P.(2002)The Algebra of Knotted 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