北京高考文科数学试题及答案完美版.doc

一般高等学校招生全国统一考试
数 学（文）（北京卷）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每题5分，共40分。在每题列出四个选项中，选出符合题目规定一项。
（1）若集合，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）下列函数中，定义域是且为增函数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（3）已知向量，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（4）执行如图所示程序框图，输出值为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（5）设、是实数，则“”是“”（ ）
(A) 充足而不必要条件 (B) 必要而不必要条件
(C) 充足必要条件 (D) 既不充足不必要条件
（6） 已知函数，在下列区间中，包括零点区间是（ ）
(A) (B) (C) (D)
（7）已知圆和两点，，
若圆上存在点，使得，则最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（8）加工爆米花时，爆开且不糊粒数比例称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（、、是常数），如图记录了三次试验数据.根据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
（A）分钟 （B）分钟
（C）分钟 （D）分钟
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每题5分，共30分。
（9）若，则
（10）设双曲线两个焦点为，，一种顶点式，则方程为 .
（11）某三棱锥三视图如图所示，则该三棱锥最长棱棱长为 .
（12）在中，，，，则 ； .
（13）若、满足，则最小值为 .
（14）顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完毕这项任务，每件颜料先由徒弟完毕粗加工，再由工艺师进行精加工完毕制作，两件工艺品都完毕后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
工序
时间
原料
粗加工
精加工

原料

原料

则最短交货期为 工作日.
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要文字阐明，演算环节。
（15）（本小题13分）
已知是等差数列，满足，，数列满足，， 且为
等比数列.
（Ⅰ）求数列和通项公式；
（Ⅱ）求数列前项和.

（16）（本小题13分）
函数部分图象如图所示.
（Ⅰ）写出最小正周期及图中、值；
（Ⅱ）求在区间上最大值和最小值.

（17）（本小题14分）
如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，
、分别为、中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求三棱锥体积.

（18）（本小题14分）
从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）数据，整顿得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号
分组
频数
1

6
2

8
3

17
4

22
5

25
6

12
7

6
8

2
9

2
合计
100

（Ⅰ）从该校随机选用一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时概率；
（Ⅱ）求频率分布直方图中a，b值；
（Ⅲ）假设同一组中每个数据可用该组区间中点值替代，试估计样本中100名学生该周课外阅读时间平均数在第几组（只需写出结论）

（19）（本小题14分）
已知椭圆C：.
（Ⅰ）求椭圆C离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度最小值.

（20）（本小题13分）已知函数.
（Ⅰ）求在区间上最大值；
（Ⅱ）若过点存在3条直线与曲线相切，求t取值范围；
（Ⅲ）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）

一般高等学校招生全国统一考试
数 学（文）（北京卷）答案及解析
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每题5分，共40分。在每题列出四个选项中，选出符合题目规定一项。
（1）若集合，，则（ ）
（A （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由于，因此选C.
【考点】本小题重要考察集合基本运算，属轻易题，纯熟集合基础知识是解答集合题目关键.
（2）下列函数中，定义域是且为增函数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】对于选项A，在R上是减函数；选项C定义域为；选项D，在上是减函数，故选B.
【考点】本小题重要考察函数单调性，属基础题，难度不大.
（3）已知向量，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】由于，因此，故选A.
【考点】本小题重要考察平面向量基本运算，属轻易题

（4）执行如图所示程序框图，输出值为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【解析】当k=0时，；当k=1时，；
当k=2时，；当k=3时，输出，故选C.
【考点】本小题重要考察程序框图基础知识，难度不大，程序框图是高考新增内容，是高考重点知识，纯熟本部分基础知识是解答关键.
（5）设、是实数，则“”是“”（ ）
(A) 充足而不必要条件 (B) 必要而不必要条件
(C) 充足必要条件 (D) 既不充足不必要条件
【答案】D
【解析】若，则，故不充足；
若，则，而，故不必要，故选D.
【考点】本小题重要考察不等式性质，纯熟不等式性质是解答好本类题目关键.
（6）已知函数，在下列区间中，包括零点区间是（ ） (A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】由于，因此由根存在性定理可知，选C.
【考点】本小题重要考察函数零点知识，对理解零点定义及根存在性定理是解答好本类题目关键.
（7）已知圆和两点，，
若圆上存在点，使得，则最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】由题意知，点P在以原点(0,0)为圆心，以m为半径圆上，又由于点P在已知圆上，因此只要两个圆有交点即可，因此，故选B.
【考点】本小题重要考察两圆位置关系，考察数形结合思想，考察分析问题与处理问题能力.
（8）加工爆米花时，爆开且不糊粒数比例称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（、、是常数），如图记录了三次试验数据.根据上述函数模型和试验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
（A）分钟 （B）分钟
（C）分钟 （D）分钟
【答案】B
【解析】由图形可知，三点都在函数图象上，
因此，解得.
因此，当=时，p取最大值，故选B.
【考点】本小题以实际应用为背景，重要考察二次函数解析式求解、二次函数最值等基础知识，考察同学们分析问题与处理问题能力.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每题5分，共30分。
（9）若，则 .
【答案】2
【解析】由题意知：，因此由复数相等定义知
【考点】本小题重要考察复数相等定义、复数运算，难度不大，复数是高考重点，年年必考，纯熟复数基础知识是解答好本类题目关键.
（10）设双曲线两个焦点为，，一种顶点式，则方程为 .
【答案】
【解析】由题意知：，因此，又由于双曲线焦点在x轴上，因此C方程为.
【考点】本小题驻澳考察双曲线方程求解、关系式，考察分析问题与处理问题能力.
（11）某三棱锥三视图如图所示，则该三棱锥最长棱棱长为 .
【答案】
【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面三棱锥，底面为边长为2等边三角形棱锥高为2，因此最长棱长为.
【考点】本小题重要考察立体几何三视图，考察同学们空间想象能力，考察分析问题与处理问题能力.
（12）在中，，，，则 ； .
【答案】2，
【解析】由余弦定理得：，故；由于，因此.
【考点】本小题重要考察解三角形知识，考察正弦定理，三角函数基本关系式等基础止水，属中低级题目.
（13）若、满足，则最小值为 .
【答案】1
【解析】画出不等式组表达平面区域，可知区域为三角形，平移直线可得，当直线通过两条直线与交点(0,1)时，z获得最小值1.
【考点】本小题重要考察在约束条件下简朴目函数最值问题，对画图与平移直线是解答此类问题关键.
（14）顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完毕这项任务，每件颜料先由徒弟完毕粗加工，再由工艺师进行精加工完毕制作，两件工艺品都完毕后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
工序
时间
原料
粗加工
精加工
原料

原料

则最短交货期为 工作日.
【答案】42
【解析】由于第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，因此最短交货期为天.
【考点】本小题以实际问题为背景，重要考察逻辑思维能力，考察分析问题与处理问题能力.
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要文字阐明，演算环节。
（15）（本小题13分）
已知是等差数列，满足，，数列满足，， 且为
等比数列.
（Ⅰ）求数列和通项公式；
（Ⅱ）求数列前项和.
（15）（共13分）
解：（Ⅰ） 设等差数列公差为，由题意得
因此．
设等比数列公比为，
由题意得，解得．
因此．
从而
（Ⅱ）由⑴知．
数列前项和为，数列前项和为．
因此，数列前项和为．
（16）（本小题13分）
函数部分图象如图所示.
（Ⅰ）写出最小正周期及图中、值；
（Ⅱ）求在区间上最大值和最小值.
（16）（共13分）
解：（Ⅰ） 最小正周期为
．

（Ⅱ） 由于，因此．
于是当，即时，获得最大值0；
当，即时，获得最小值．

（17）（本小题14分）
如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，
、分别为、中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求三棱锥体积.
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）在三棱柱中，底面．
因此．
又由于．
因此平面．
因此平面平面．
（Ⅱ）取中点，连结，．
由于，分别是，中点，
因此，且．
由于，且，
因此，且．
因此四边形为平行四边形．
因此．
又由于平面，平面，
因此平面．
（Ⅲ）由于，，，
因此．
因此三棱锥体积
．
（18）（本小题14分）
从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）数据，整顿得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号
分组
频数
1

6
2

8
3

17
4

22
5

25
6

12
7

6
8

2
9

2
合计
100

（Ⅰ）从该校随机选用一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时概率；
（Ⅱ）求频率分布直方图中a，b值；
（Ⅲ）假设同一组中每个数据可用该组区间中点值替代，试估计样本中100名学生该周课外阅读时间平均数在第几组（只需写出结论）
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时学生共有名，因此样本中学生课外阅读时间少于12小时频率是
．
从该校随机选用一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时概率为．
（Ⅱ）课外阅读时间落在组有17人，频率为，因此
．
课外阅读时间落在组有25人，频率为，
因此．
（Ⅲ）样本中100名学生课外阅读时间平均数在第4组．
（19）（本小题14分）
已知椭圆C：.
（Ⅰ）求椭圆C离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度最小值.
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）由题意，椭圆原则方程为．
因此，，从而．
因此，．故椭圆离心率．
（Ⅱ）设点，坐标分别为，，其中．
由于，
因此，
即，解得．
又，因此

．
由于，且当时等号成立，因此．
故线段长度最小值为．
（20）（本小题13分）已知函数.
（Ⅰ）求在区间上最大值；
（Ⅱ）若过点存在3条直线与曲线相切，求t取值范围；
（Ⅲ）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）
（20）（共13分）
解：（Ⅰ） 由得.
令，得或.
由于，，
因此 在区间上最大值为 .
（Ⅱ） 设过点直线与曲线相切于点
则且切线斜率为
因此切线方程为，
因此 .
整顿得.
设
则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不一样零点”.
.
与状况如下：

0

1

0

0

↗

↘

↗
因此，是极大值，是极小值．
当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，因此 至多有2个零点．
当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，因此 至多有2个零点．
当且，即时，由于，因此 分别在区间，和上恰有个零点.由于在区间和上单调，因此分别在区间和上恰有1个零点.
综上可知，当过点存在条直线与曲线相切时，取值范围是 .
（Ⅲ） 过点 存在条直线与曲线相切；
过点 存在条直线与曲线相切；
过点 存在条直线与曲线相切.：