空间中两直线的位置关系市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

数学必修数学必修2 2 空间中两直线位置关系赵赵 金金 才才第第1页页复习引入复习引入1、平面表示方法、平面表示方法2、平面画法、平面画法3、点线面之间位置关系及图形文、点线面之间位置关系及图形文 字符号语言转化字符号语言转化4、平面性质中三个公理及其、平面性质中三个公理及其 符号语言符号语言第第2页页问题问题1：在平面几何中，两直线位置在平面几何中，两直线位置关系怎样？关系怎样？讲授新课讲授新课abcd问题问题2：没有公共点直线一定平行吗？没有公共点直线一定平行吗？问题问题3：没有公共点两直线一定在同没有公共点两直线一定在同一平面内吗？一平面内吗？第第3页页生生活活数数学学地铁线条与柱子线条地铁线条与柱子线条水流线条与桥面线条水流线条与桥面线条第第4页页在正方体面在正方体面ABCD中，中，AB与与AD相交，相交，AB与与CD平行平行.AB和和CC位置关系是平行还是相位置关系是平行还是相交还是二者都不是？交还是二者都不是？二者都不是二者都不是第第5页页定义：定义：不一样在任何一个平面内两条直线不一样在任何一个平面内两条直线 叫做叫做异面直线异面直线.空间两条直线位置关系：空间两条直线位置关系：共面直线共面直线异面直线异面直线相交直线相交直线平行直线平行直线不一样在任何一个平面内，没有公共点。不一样在任何一个平面内，没有公共点。同一平面内，有且只有一个公共点同一平面内，有且只有一个公共点同一平面内，没有公共点；同一平面内，没有公共点；第第6页页异面直线画法：异面直线画法：为了表达不共面特点采取平面衬托法为了表达不共面特点采取平面衬托法第第7页页 两条异面直线指：两条异面直线指：A.空间中不相交两条直线；空间中不相交两条直线；B.某平面内一条直线和这平面外直线；某平面内一条直线和这平面外直线；C.分别在不一样平面内两条直线；分别在不一样平面内两条直线；D.不在同一平面内两条直线；不在同一平面内两条直线；E.不一样在任一平面内两条直线；不一样在任一平面内两条直线；F.分别在两个不一样平面内两条直线；分别在两个不一样平面内两条直线；H.空间没有公共点两条直线；空间没有公共点两条直线；I.既不相交，又不平行两条直线既不相交，又不平行两条直线.(E,I )练习练习1第第8页页A1B1C1D1CBDA练习练习2 如图所表示：正方体棱所在直线如图所表示：正方体棱所在直线中，与直线中，与直线A1B异面有哪些？异面有哪些？第第9页页练习练习3 下列图是一个正方体展开图，假如下列图是一个正方体展开图，假如将它还原成正方体，那么将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线有几对这四条线段所在直线是异面直线有几对？HGFEDCBA三对三对AB与与CDAB与与GHEF与与GH第第10页页a与与b是是相交相交直线直线a与与b是是平行平行直线直线a与与b是是异面异面直线直线abM答：答：不一定不一定：它们可能异面，可能相交，它们可能异面，可能相交，也可能平行。也可能平行。分别在两个平面内两条直线是否一定异面？分别在两个平面内两条直线是否一定异面？abab深化认识深化认识第第11页页异面直线判定定理异面直线判定定理连结平面内一点和平面外一点直线，和这个平面连结平面内一点和平面外一点直线，和这个平面内不经过此点直线是异面直线内不经过此点直线是异面直线知识延伸知识延伸证实：证实：点点点点直线直线直线直线异面异面怎样判断两条直线是异面直线？怎样判断两条直线是异面直线？第第12页页2.2.空间两平行直线空间两平行直线提出问题：在同一平面内，假如两条直线都与第提出问题：在同一平面内，假如两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线相互平行。在空三条直线平行，那么这两条直线相互平行。在空间中，是否有类似规律？间中，是否有类似规律？平行平行吗吗?中中,观观察察：如如图长图长方体方体与与那么那么DD AABB AA第第13页页公理公理4：平行于同一条直线两条直线相互平平行于同一条直线两条直线相互平行。行。公理公理4 4实质上是说实质上是说平行含有传递性平行含有传递性，在平面、空间，在平面、空间这个性质都适用。这个性质都适用。公理公理4 4作用：作用：判断空间两条直线平行依据。判断空间两条直线平行依据。abcbac符号表示：符号表示：设空间中三条直线分别为设空间中三条直线分别为a,b,c,若若想一想想一想:空间中空间中,假如两条直线都与第三条直假如两条直线都与第三条直线垂直线垂直,是否也有类似规律是否也有类似规律?第第14页页练习练习4：如图，点如图，点P、Q、R、S分别在正方体四条棱上，且是所在分别在正方体四条棱上，且是所在棱中点，则直线棱中点，则直线PQ与与RS是异面直线一个是是异面直线一个是 .第第15页页例题示范例题示范例例1：在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，E，F，G，H分分别是别是AB，BC，CD，DA中点。中点。求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形。是平行四边形。分析：分析：欲证欲证EFGH是一个平行四边形是一个平行四边形只需证只需证EHFG且且EHFGE，F，G，H分别是各边中点分别是各边中点连结连结BD,只只需证：需证：EH BD且且EH BDFG BD且且FG BDAB DEFGHC第第16页页例题示范例题示范例例1：在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，E，F，G，H分分别是别是AB，BC，CD，DA中点。中点。求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形。是平行四边形。AB DEFGHC EH是是ABD中位线中位线 EH BD且且EH=BD同理，同理，FG BD且且FG=BDEH FG且且EH=FGEFGH是一个平行四边形是一个平行四边形证实：证实：连结连结BD第第17页页变式一：变式一：在例在例2中，假如再加上条件中，假如再加上条件AC=BD，那，那么四边形么四边形EFGH是什么图形是什么图形?EHFGABCD分析：分析：在例题在例题2基础上我基础上我们只需要证实平行四边们只需要证实平行四边形两条邻边相等。形两条邻边相等。菱形菱形第第18页页3.3.等角定理等角定理提出问题提出问题:在平面上在平面上,我们轻易证实我们轻易证实“假如一个角假如一个角两边和另一个角两边分别平行，那么这两个角相两边和另一个角两边分别平行，那么这两个角相等或互补等或互补”。在空间中。在空间中,结论是否依然成立呢结论是否依然成立呢?观察思索：如图观察思索：如图,ADC,ADC与与ADCADC、ADCADC与与ABCABC两边分别对应平行，这两组角大小关系两边分别对应平行，这两组角大小关系怎样？怎样？第第19页页3.3.等角定理等角定理定理：定理：空间中假如两个角两边分别对应平行，那么空间中假如两个角两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。这两个角相等或互补。第第20页页3.3.等角定理等角定理定理：定理：空间中假如两个角两边分别对应平行，那么空间中假如两个角两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。这两个角相等或互补。定理推论定理推论:假如两条相交直线和另两条相交假如两条相交直线和另两条相交直线分别平行直线分别平行,那么这两条直线所成锐角那么这两条直线所成锐角(或或直角直角)相等相等.第第21页页夹角夹角在在平面内两直线相交成四个角，小于平面内两直线相交成四个角，小于90角角成为夹角。成为夹角。ab夹角刻画了一条直线对另一条直线倾斜程夹角刻画了一条直线对另一条直线倾斜程度，异面直线经过度，异面直线经过异面直线所称角异面直线所称角来刻画。来刻画。第第22页页OO异面直线所成角异面直线所成角 已知两条异面直线已知两条异面直线a,b,经过空间任一点经过空间任一点O作作直线直线a/a,b/b，我们把我们把a与与b所成锐角（或直角）所成锐角（或直角）叫做叫做异面直线异面直线a与与b所成角（或夹角）。所成角（或夹角）。为简便，为简便，O点常取点常取在某一直线上在某一直线上想一想想一想:a:a与与bb所成角大小所成角大小与点与点O O位置相关吗位置相关吗?第第23页页假如两条异面直线所成角是直角，那么就说这假如两条异面直线所成角是直角，那么就说这两两条直线相互垂直条直线相互垂直记作：记作：思想方法：思想方法：异面直线异面直线相交直线相交直线平移平移异面直线所成角异面直线所成角空间图形问题空间图形问题平面图形问题平面图形问题第第24页页 （1）在长方体）在长方体 ABCD-ABCD中，有没有两条中，有没有两条棱所在直线是相互垂直异面直线？棱所在直线是相互垂直异面直线？有，如有，如AB和和CC，AB和和DD。第第25页页垂直垂直 （2）假如两条平行直线中一条与某一条直线垂）假如两条平行直线中一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？垂直分为两种：垂直分为两种：相交直线垂直相交直线垂直异面直线垂直异面直线垂直第第26页页（3）垂直于同一条直线两条直线是否平行？）垂直于同一条直线两条直线是否平行？如图，若如图，若c，则，则c垂直于垂直于内全部直线，内全部直线，而而内任意两条直线关系可能是平行，也可能是内任意两条直线关系可能是平行，也可能是相交。相交。不一定不一定第第27页页例题示范例题示范例例2 2、如图，已知正方体、如图，已知正方体ABCDABCDABCDABCD中。中。（1 1）哪些棱所在直线与直线）哪些棱所在直线与直线BABA是异面直线？是异面直线？（2 2）直线）直线BABA和和CCCC夹角是多少？夹角是多少？（3 3）哪些棱所在直线与直线）哪些棱所在直线与直线AAAA垂直？垂直？解：（解：（1 1）由异面直线判定）由异面直线判定方法可知，与直线方法可知，与直线成异面直线有直线成异面直线有直线，第第28页页例题示范例题示范例例2 2、如图，已知正方体、如图，已知正方体ABCDABCDABCDABCD中。中。（1 1）哪些棱所在直线与直线）哪些棱所在直线与直线BABA是异面直线？是异面直线？（2 2）直线）直线BABA和和CCCC夹角是多少？夹角是多少？（3 3）哪些棱所在直线与直线）哪些棱所在直线与直线AAAA垂直？垂直？解：（解：（2 2）由）由 可知，可知，等于异面直线等于异面直线与与 夹角夹角,所以异面直线所以异面直线 与与 夹角为夹角为45450 0。(3)直线直线与直线与直线都垂直都垂直.第第29页页练习反馈：练习反馈：1.1.判断判断:（1 1）平行于同一直线两条直线平行）平行于同一直线两条直线平行.（）（2 2）垂直于同一直线两条直线平行）垂直于同一直线两条直线平行.（）（3 3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行直线平行.（）（4 4）与已知直线平行且距离等于定长直线只有）与已知直线平行且距离等于定长直线只有两条两条.（）（5 5）若一个角两边分别与另一个角两边平行，）若一个角两边分别与另一个角两边平行，那么这两个角相等（那么这两个角相等（）（6 6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（）第第30页页专题专题 异面直线所成角求法异面直线所成角求法第第31页页异面直线所成角求法异面直线所成角求法:典例剖析典例剖析例例1 1：如图正方体：如图正方体ACAC1 1，求异面直线求异面直线ABAB1 1和和CCCC1 1所成角大所成角大小小 求异面直线求异面直线ABAB1 1和和A A1 1D D所成角大所成角大小小 D1D1CB1A1ADD1BC1分析分析 1、做异面直线平行线、做异面直线平行线 2、说明哪个角就是所求角、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求、把角放到平面图形中求解解 解解:CC CC1 1/BB/BB1 1 ABAB1 1和和BBBB1 1所成锐角是异面直线所成锐角是异面直线ABAB1 1和和CCCC1 1所成角所成角 在在ABBABB1 1中，中，ABAB1 1和和BBBB1 1所成角是所成角是45450 0 异面直线异面直线ABAB1 1和和CCCC1 1所成角是所成角是45450 0。第第32页页异面直线所成角求法异面直线所成角求法:典例剖析典例剖析例例1 1：如图正方体：如图正方体ACAC1 1，求异面直线求异面直线ABAB1 1和和CCCC1 1所成角大所成角大小小 求异面直线求异面直线ABAB1 1和和A A1 1D D所成角大所成角大小小 D1D1CB1A1ADD1BC1分析分析 1、做异面直线平行线、做异面直线平行线 2、说明哪个角就是所求角、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求、把角放到平面图形中求解解 在四边形在四边形A A1 1B B1 1CDCD中，中，A A1 1B B1 1 CD CD A A1 1D/BD/B1 1C C ABAB1 1和和B B1 1C C所成锐角是异面直线所成锐角是异面直线ABAB1 1和和A A1 1D D所成角所成角 在在ABAB1 1C C中，中，ABAB1 1和和CCCC1 1所成角是所成角是60600 0 异面直线异面直线ABAB1 1和和A A1 1D D所成角是所成角是60600 0。第第33页页DB1A1D1C1ACBDB1A1D1C1ACBDB1A1D1C1ACB正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中中,P为为BB1中点中点,如图画出下面各题中指定异面直线如图画出下面各题中指定异面直线P异面直异面直线线所成角是所成角是锐锐角或直角，当三角形内角是角或直角，当三角形内角是钝钝角角时时，表示异面直表示异面直线线所成角是它补角所成角是它补角.第第34页页DB1A1D1C1ACB以第三幅图为例，设正方体棱长为以第三幅图为例，设正方体棱长为1，求异面直线夹角求异面直线夹角FE1EF1如图，补一个与原正方体全等并与原正方体有公共面正方体如图，补一个与原正方体全等并与原正方体有公共面正方体补形法补形法把空间图形补成熟悉或完整几何体，如正把空间图形补成熟悉或完整几何体，如正方体、长方体等，其目标在于易于发觉两方体、长方体等，其目标在于易于发觉两条异面直线关系。条异面直线关系。第第35页页练习练习 如图在正方体中，如图在正方体中，E E，F F分别为分别为 中点，求中点，求AEAE，BFBF所成角余弦值。所成角余弦值。EF第第36页页例例4.4.如图如图,三棱锥三棱锥ABCDABCD中中，AB=CDAB=CD且且ABAB与与CDCD所所成角为成角为3030，E E、F F分别为分别为BCBC、ADAD中点，求中点，求EFEF与与ABAB所成角大小。所成角大小。B DCAEFM求异面直线所成角步骤：求异面直线所成角步骤：作：作：证：证：求：求：第第37页页例例5 5、如图所表示，在正三棱柱、如图所表示，在正三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1中，中，D D是是ACAC中点，中点，AAAA1 1 ABAB，求异面直线，求异面直线ABAB1 1与与BDBD所所成角余弦值成角余弦值M第第38页页第第39页页第第40页页第第41页页第第42页页第第43页页AFEDCB 如图，在四面体如图，在四面体ABCDABCD中，中，E E，F F分分别是棱别是棱ADAD，BCBC上点上点,且且已知已知AB=CD=3AB=CD=3，,求异面直线求异面直线ABAB和和CDCD所成角所成角.M第第44页页